苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数7.1.1任意角教学课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
7.1角与弧度（第一课时）任意角
课标要求 素养要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.
2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示. 在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
新知探究
2019年7月15日，在韩国光州举行的游泳世锦赛男子双人10米跳台决赛中，中国组合曹缘、陈艾森以486.93分的成绩获得冠军；在第六轮比赛中，曹缘、陈艾森的动作是难度系数3.6的5 255B(向前翻腾两周半转体两周半躯体)，动作完美，获得最高分.
问题　(1)向前翻腾两周半所转的角是正角还是负角？
(2)向前翻腾两周半所转的角是多少度？
提示　(1)正角，因为是按照逆时针旋转的；(2)所转的角为900°.
1.角的分类
注意正角、负角的旋转方向
类型 定义 图示
正角 按________方向旋转所成的角
负角 按________方向旋转所成的角
零角 不旋转所成的角
逆时针
顺时针
2.角的加法
对于两个任意角α、β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作________；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为______角、角α的相反角为______，于是α－β＝α＋______.
3.象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是____________；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为________.
α＋β
－α
(－β)
第几象限角
轴线角
相反
4.终边相同角的表示
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝____________，k∈Z}.
k·360°＋α
基础自测
[判断题]
1.经过1小时，时针转过30°.( )
提示　因为是顺时针旋转，所以时针转过－30 °.
2.终边与始边重合的角是零角.( )
提示　终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.终边在y轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}.( )
4.若α为第四象限，则－α为第一象限角.( )
5.第三象限的角一定比第一象限的角大.( )
提示　例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.
×
×
√
√
×
[基础训练]
1.与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析　由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
答案　C
2.－378°是第________象限角.
解析　－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.
答案　四
[思考]
1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示　角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角.
2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示　终边相同的角相差360°的整数倍，它们不一定相等，但相等的角终边一定相同.
题型一　与任意角有关的概念辨析
【例1】　(1)下列说法中正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析　(1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
答案　(1)②⑤　(2)－40°
规律方法　判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【训练1】　写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解　在图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
在图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二　终边相同的角
【例2】　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)内的角.
解　与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°(2)由0°(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
规律方法　(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
【训练2】　写出终边落在x轴上的角的集合S.
解　S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z}＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
题型三　象限角和区间(域)角
【例3】　(1)－2 019°是第________象限角.
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
(1)解析　－2 019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2 019°为第二象限角.
答案　二
(2)解　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
【迁移1】　(变换条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解　在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
【迁移2】　(变换条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解　由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤
k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
规律方法　表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
【训练3】　(1)已知α是第二象限角，则180°－α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角
解析　(1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角.
(2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.答案(1)A　(2)C
一、课堂小结
1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养.
2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解.
3.会写终边相同的角、区域角.
二、课堂检测
1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
解析　②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.
答案　C
2.(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A.三角形的内角一定是第一、二象限角
B.钝角不一定是第二象限角
C.相差180°整数倍的角为终边相同的角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
解析　A错误，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错误，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错误，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角.
答案　ABC
3.把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________.
解析　－936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.
答案　144°＋(－3)×360°
4.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________.
解析　由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
答案　{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
5.如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.