苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数7.2.2同角三角函数关系教学课件(共41张PPT)

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7.2.2　同角三角函数关系
7.2.2　同角三角函数关系
课标要求 素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
蝴蝶效应
问题　既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
1.同角三角函数关系
cos2α
2.同角三角函数关系的变形
1－cos2α
1－sin2α
cos αtan α
基础自测
[判断题]
1.sin2α＋cos2β＝1.( )
提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
×
√
×
×
[基础训练]
1.下列四个结论中可能成立的是(　　)
解析　根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
答案　B
答案　B
答案　1
[思考]
1.同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
2.同角三角函数的基本关系式中，“同角”的含义是什么？
提示　“同角”两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如：sin23α＋cos23α＝1；sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1都成立.
3.若已知sin α±cos α＝m，你能求出sin α·cos α吗？
提示　若sin α＋cos α＝m，
则sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝m2，
若sin α－cos α＝m，则sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝m2，
题型一　利用同角关系式求值
又sin2α＋cos2α＝1，②
又α是第三象限角，
【迁移2】　(变换结论)在例1的条件下，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
规律方法　(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
(2)当α是第三象限角时，则
由上知θ为第二象限角，
所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ
规律方法　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【训练2】　在△ABC中，sin A＋cos A＝ .
(1)求sin Acos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值.
题型三　利用同角三角函数关系式化简
【例3】　化简：
规律方法　三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
题型四　利用同角三角关系式证明
所以等式成立.
所以等式成立.
规律方法　证明三角恒等式的思路
(1)从一边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则；
(2)证明左右两边等于同一个式子；
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1；
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
∴原等式成立.
一、课堂小结
答案　B
答案　B
答案　－1