苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数7.2.3三角函数的诱导公式（第一课时诱导公式一、二、三、四）教学课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
7.2.3 三角函数的诱导公式（第一课时）诱导公式一、二、三、四
课标要求 素养要求
1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
问题　(1)你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，
－α有什么样的对称关系？
(2)根据上述的对称性，sin(π＋α)、sin(π－α)、sin(－α)与sin α有什么关系呢？
提示　(1)π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称.
(2)根据对称性可知sin(π＋α)＝－sin α；sin(π－α)＝sin α；sin(－α)＝－sin α.
1.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数值相等.
sin(α＋2kπ)＝______ (k∈Z)，
cos(α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)，
tan(α＋2kπ)＝tan α(k∈Z).
sin α
2.诱导公式二
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于______对称
公式 sin(－α)＝_________，cos(－α)＝______________，tan(－α)＝________________
x轴
－sin α
cos α
－tan α
3.诱导公式三
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于______
对称
公式 sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝_________，tan(π－α)＝________
y轴
sin α
－cos α
－tan α
4.诱导公式四
终边关系 图示
角π＋α与角α的终边关于______
对称
公式 sin(π＋α)＝_______，cos(π＋α)＝_________，tan(π＋α)＝_______
原点
－sin α
－cos α
tan α
基础自测
[判断题]
1.诱导公式中角α是任意角.( )
提示　正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α－π)＝sin α.( )
提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.
×
×
√
4.sin(180°－200°)＝－sin 200°.( )
提示　sin(180°－200°)＝sin 200°.
5.若α，β满足α＋β＝π，则sin α＝sin β.( )
×
√
[基础训练]
1.下列式子中正确的是(　　)
A.sin(π－α)＝－sin α B.cos(π＋α)＝cos α
C.cos α＝sin α D.sin(2π＋α)＝sin α
解析　对于A，sin(π－α)＝sin α，故A错误；对于B，cos(π＋α)＝－cos α，故B错误；对于C，sin α不一定等于cos α，故C错误.
答案　D
2.化简cos(3π－α)＝(　　)
A.cos α B.－cos α
C.sin α D.－sin α
解析　cos (3π－α)＝cos [2π＋(π－α)]＝cos (π－α)＝－cos α.
答案　B
3.计算：sin 210°＝(　　)
答案　D
4.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上.
(1)sin (1＋π)＝________.
(2)cos 210°＝________.
解析　(1)sin(1＋π)＝－sin 1.
(2)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°.
[思考]
1.由公式二、三你能推导公式四吗？
提示　由公式二、三能推导公式四.如：
sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sin α.
2.公式一、二、三、四有什么共同点吗？有什么统一记忆方法吗？
提示　公式一、二、三、四的函数名称均没有改变.
简记为：“函数名不变、符号看象限”.
题型一　利用诱导公式求三角函数值
【例1】　(1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________；
规律方法　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
解　(1)法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
题型二　利用诱导公式化简求值问题
【例2】　化简下列各式：
规律方法　三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
【训练2】　化简下列各式：
(2)原式＝－sin α·cos α＋sin(－α)(－cos α)＋
sin α(－cos α)(－tan α)
＝－sin α·cos α＋sin α·cos α＋sin α·cos α·tan α
题型三　给值(或式)求值问题
【迁移1】　(变换条件)将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
规律方法　解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
一、课堂小结
1.通过本节课的学习，重点提升逻辑推理、数学运算素养.
2.利用诱导公式化简(计算)的步骤：
负化正―→大化小―→化成锐角再查表
3.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便.
答案　C
答案　B
3.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________.
4.函数f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)是________函数(填“奇”“偶”).
解析　∵f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)
＝x＋(－sin x)·(－cos x)
＝x＋sin x·cos x，
∴f(－x)＝－x＋sin(－x)cos(－x)＝－x－sin x·cos x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
答案　奇