苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数7.4三角函数应用教学课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
7.4　三角函数应用
课标要求 素养要求
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.
新知探究
温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
江心屿
问题　(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？
(2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
提示　(1)水深随时间的变化呈周期变化.
(2)若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线.
时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24
水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5
简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示______，y表示相对于__________的偏离；
①A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为______；
时间
平衡位置
振幅
周期
频率
相位
初相
基础自测
[判断题]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)x∈R的最大值为A.( )
提示　当A>0时，ymax＝A；当A<0时，ymax＝－A.
2.函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.( )
提示　初相为－φ.
×
×
√
[基础训练]
答案　2.5
答案　3πx－π
答案　1
1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
提示　三角函数模型.
2.在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相，振幅、周期分别为多少？
[思考]
③小球来回摆动一次需要多少时间？
列表：
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米.
③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
【训练1】　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.
题型二　三角函数模型在生活中的应用
【例2】　如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
(1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
解　(1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式，
由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，
由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，
即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.
规律方法　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
一、课堂小结
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.
2.三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
二、课堂检测
答案　A
答案　B
答案　50
5.如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解　(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
解得A＝100，b＝800.
又当t＝6时，y＝900，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
(2)当t＝2时，
即当年3月1日动物种群数量约是750.