苏教版高中数学必修第一册第8章函数应用8.2函数与数学模型（第2课时函数的实际应用）教学课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
8.2函数与数学模型（第二课时）
函数的实际应用
课标要求 素养要求
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题. 通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
新知探究
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y关于存期x的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
问题　五期后的本利和是多少？
提示　解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
1.常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
2.解决实际问题的一般程序：
实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题
基础自测
[判断题]
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( )
提示　两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
2.函数模型中，要求的定义域只需使函数式有意义.( )
提示　函数模型中定义域必须满足实际意义.
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.( )
提示　拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.
4.利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.( )
×
×
×
√
[基础训练]
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)
A.分段函数　　　　 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数
答案　A
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
答案　A
3.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).
答案　2043
[思考]
在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？
提示　当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解　(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
规律方法　1.利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
2.应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
【训练1】　在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
解　(1)由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*.
P(x)＝R(x)－C(x)＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，当x＝1时，MP(x)的最大值为2 440(元).
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.
求a和m的值.
(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.
(1)已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
声音大小 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路
强度I(瓦/平方米) 1×10－11 1×10－10 1×10－3
强弱等级L(分贝) 10 m 90
规律方法　指数型、对数型函数问题的类型及解法
(1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.
(2)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
故今后最多还能砍伐15年.
一、课堂小结
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养；通过建立函数模型解决实际问题，提升数据分析素养.
2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
二、课堂检测
1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中拟合效果最好的是(　　)
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
解析　将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.
答案　D
2.已知国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A.5.00元 B.6.00元
C.7.00元 D.8.00元
答案　C
运送距离x(km) 0≤500 500< x≤
1 000 1 0001 500 1 500≤2 000 …
邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 …
3.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级.则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
答案　100
4.有一位商人从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费(单位：元)由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元.
解析　由于f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，则当m＝5.5时，[m]＝6，
即有f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案　4.24
解　设可获得总利润为R(x)万元，
∵R(x)在[0，210]上是增函数，
∴当x＝210时，
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.