苏教版高中数学必修第一册第8章函数应用8.2函数与数学模型（第1课时几个函数模型的比较）教学课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
8.2函数与数学模型（第一课时）
几个函数模型的比较
课标要求 素养要求
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 通过本节的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
新知探究
理财的方式有很多，如储蓄、债券、股票、保险、外汇、基金、P2P等，因为不同的理财方式有不同的特点，要选择自己合适的理财方式，一定要了解理财产品的收益与风险情况，根据我们所学习的数学知识，并结合自己的经济实力和需求进行选择，最好是多掌握一些理财知识和科学的理财技巧.如果你需要理财的话，你选择理财方式的依据是风险低，相同时间内收益最大化.
问题　函数与我们的日常生活联系密切，不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，我们怎样选择函数模型去拟合呢？
提示　不同的函数，变化趋势不同，我们根据实际问题选择拟合效果较好的函数.
比较三种函数模型的性质，填写下表：
　　　　函数
性质　　　　 y＝ax
(a>1) y＝logax
(a>1) y＝xα
(α>0)
在(0，＋∞)上的增减性 _________ ____________ ___________
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值而不同
增长速度 ax的增长_______xα的增长，xα的增长_______logax的增长
增长后果 当x足够大时，有_____________ (a>1)
增函数
增函数
增函数
快于
快于
ax>xα>logax
基础自测
[判断题]
1.当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.( )
2.一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合又能很好地推演和预测.( )
4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).( )
提示　当x趋于无穷大时ax>x2(a>1)恒成立.
√
√
√
×
[基础训练]
1.已知函数为y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　　)
A.y减少1个单位 B.y增加1个单位
C.y减少2个单位 D.y增加2个单位
解析　结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确.
答案　C
3.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)
A.y＝log2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
解析　逐个检验可得答案为B.
答案　B
[思考]
对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，哪个函数的增长速度最快？
提示　在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式，当x足够大时，总有ax>xn>logax(a>1).
题型一　函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A.y＝2 019x B.y＝x2 019
C.y＝log2 019x D.y＝2 019x
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
解析　(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案　(1)A　(2)y2
规律方法　指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
【训练1】　函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较f(3)，g(3)，f(2 021)，g(2 021)的大小.
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝3x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(3)＝8，g(3)＝9，∴f(3)又f(4)>g(4)，∴3从图象上可以看出，当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 021)>g(2 021).
又g(2 021)>g(3)，∴f(2 021)>g(2 021)>g(3)>f(3).
题型二　函数模型的选取
【例2】　科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
解　(1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3 000，9 000]为增函数，
①对于函数f(x)＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f(3 000)＝98<100，不符合要求；
②对于函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；
③对于函数f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，
显然f(x)为增函数，且当x＝3 000时，f(3 000)>100log2020＋50＝150≥100；又因为f(x)≤f(9 000)
＝100log209 000＋50<100log20160 000＋50＝450；
(2)由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000，
所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.
规律方法　不同的函数增长模型的特点
对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
【训练2】　某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
如果我们分别将2016，2017，2018，2019年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
年份 2016 2017 2018
产量(万) 8 18 30
解　建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
由(1)(2)可得f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.
一、课堂小结
1.通过对函数增长模型的选取，提升数学建模、数据分析素养.
2.四类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
3.函数模型的应用
(1)可推演原则：建立模型一定要有意义，既能作理论分析又能计算、推理且能得出正确结论.
(2)反映性原则：建立模型应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
二、课堂检测
1.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　)
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
解析　通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，变量y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，变量 y1随x的变化符合此规律.故选C.
答案　C
2.下列函数中增长速度越来越慢的是(　　)
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x6 D.y＝6x
解析　D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意.
答案　B
3.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看更为有前途的生意是________(填序号).
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
解析　增长速度最快的函数为y＝10×1.05x，故选①.
答案　①
4.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型.
解析　将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型.
答案　甲
5.某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示 ).
观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求.