1.1 多项式的因式分解 教案 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册

第1章　　　 因式分解
1.1　多项式的因式分解
1.理解因式分解的概念和意义，认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形.
2.培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，提升学生逆向思维能力和综合运用能力.
3.培养学生接受矛盾的对立统一观点，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
重点：因式分解的概念.
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
想象一下，你有一根铁丝，需要用它来绕制三个直径不同的铁丝圆环，并且你知道每个圆环的直径.
问题：类似于多项式因式分解的过程——将一个复杂的多项式分解成几个简单的整式的乘积，你如何快速计算出所需铁丝的总长度呢？
探究点一　因式分解的概念
【例1】下列各式从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？
（1）（x＋1）（x－2）＝x2－x－2.
（2）x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2.
（3）3xy2－9xy＋6x＝3x（y－1）（y－2）.
（4）4x2＋12xy＋9y2＝（2x＋3y）2.
【解析】根据因式分解的概念求解即可.
【解】（1）（x＋1）（x－2）＝x2－x－2，是整式的乘法，不是因式分解.
（2）x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，最后结果不是几个多项式的乘积形式，不是因式分解.
（3）3xy2－9xy＋6x＝3x（y－1）（y－2），是因式分解.
（4）4x2＋12xy＋9y2＝（2x＋3y）2，是因式分解.
【方法总结】因式分解的三个注意事项：
（1）因式分解的对象必须是多项式.
（2）因式分解的结果必须是若干个多项式的乘积的形式.
（3）因式分解的结果中，每个因式都必须是整式.
探究点二　因式分解与整式乘法的关系
【例2】若多项式x2＋px－6可以因式分解为（x＋q）（x－2），则（p－q）2的值为　　　　.
【解析】（x＋q）（x－2）＝x2－2x＋qx－2q＝x2＋（－2＋q）x－2q，
所以解得
所以（p－q）2＝（1－3）2＝4.
【解】4
【方法总结】因式分解与整式乘法的联系与区别：
（1）联系：因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，因此因式分解的结果是否正确，可以用整式乘法来检验.
（2）区别：整式的乘法是几个整式相乘，其结果是和的形式；因式分解是将一个多项式化成几个多项式的积的形式，其结果是积的形式.因此整式的乘法是“积化和”，因式分解是“和化积”.
1.1　多项式的因式分解
1.因式分解的概念：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解.
2.因式分解与整式乘法的关系：
多项式若干个整式相乘
因式分解可以转化成多项式的乘法计算，特别是在解方程、求值、化简等问题中.通过因式分解，我们可以更深入地理解多项式的结构和性质.
　　本节课通过情景导入、例题讲解、课堂练习等环节，逐步引导学生掌握多项式的因式分解的概念以及理解因式分解与整式乘法的关系.从课堂反馈来看，大部分学生能够积极参与课堂活动，对所学知识有了一定的理解和掌握.存在的问题：部分学生对多项式的因式分解概念的理解还存在一定的困难，需要进一步加强练习和指导；有些学生混淆了因式分解与整式乘法，无法理解两者之间的联系与区别.