1.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 教案 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 1.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 教案 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 82.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-12 21:52:23 | ||
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文档简介
第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
1.了解完全平方公式的几何解释，并能运用完全平方公式进行因式分解.
2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，培养符号意识，体会“特殊—一般—特殊”的认识规律.
重点：掌握完全平方公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用完全平方公式进行因式分解.
难点：运用完全平方公式进行因式分解.
老师拿着一套由若干个不同形状的硬纸板组成的拼图走进教室.拼图中有两个边长分别为a和b的正方形，还有两个长为a、宽为b的长方形.老师将这些硬纸板展示给同学们，并提出一个问题：“大家想一想，如果把这些纸板拼在一起，能拼成一个什么样的规则图形呢？”
探究点一 用完全平方公式进行因式分解
类型一 判断能否用完全平方公式分解因式
【例1】下列多项式是不是完全平方式？如果是，请进行因式分解；如果不是，请说明理由.
（1）x2－2x＋1.
（2）1＋16a2.
（3）4x2＋4x－1.
（4）9（x＋y）2－12（x＋y）＋4.
【解析】根据完全平方式的结构特点进行判断，如果是，按照完全平方公式进行因式分解.关键是确定公式中的a，b.
【解】（1）x2－2x＋1是完全平方式.
x2－2x＋1＝（x－1）2.
（2）1＋16a2不是完全平方式.因为完全平方式是一个三项式，而1＋16a2是二项式，不符合要求.
（3）4x2＋4x－1不是完全平方式.因为完全平方式的两个平方项前面的符号相同.题目中两个平方项4x2与－1符号相反，不符合要求.
（4）9（x＋y）2－12（x＋y）＋4是完全平方式.
9（x＋y）2－12（x＋y）＋4＝[3（x＋y）]2－2×3（x＋y）·2＋22＝[3（x＋y）－2]2＝（3x＋3y－2）2.
【方法总结】运用完全平方公式时，必须弄清哪一项相当于公式中的a2，哪一项相当于公式中的b2，哪一项相当于公式中的2ab，并根据2ab的符号来确定运用哪一个完全平方公式.
类型二 用完全平方公式分解因式
【例2】用完全平方公式分解因式：
（1）x2－x＋.
（2）（m＋n）2－6（m＋n）＋9.
【解析】根据完全平方公式的特点分解因式即可.
【解】（1）原式＝（x－）2.
（2）原式＝（m＋n－3）2.
探究点二 完全平方公式的应用
【例3】计算：
（1）342＋34×32＋162.
（2）38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
【解析】利用完全平方公式转化为（a±b）2的形式后计算即可.
【解】（1）原式＝（34＋16）2＝2500.
（2）原式＝（38.9－48.9）2＝100.
【方法总结】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.
【例4】请阅读以下材料，并完成相应的任务.
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1，3，6，10，….由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用（n≥1）表示.
任务：请根据以上材料，试说明以下结论的正确性.
（1）任意一个三角形数乘8再加1是一个整数的平方.
（2）连续两个三角形数的和是一个整数的平方.
【解析】（1）先将第n个三角形数乘8再加1，再利用完全平方公式整理即可得出答案.（2）分别用n表示出第n，（n＋1）个三角形数，进一步相加整理即可得出答案.
【解】（1）由题意知，第n个三角形数为，所以×8＋1＝4n2＋4n＋1＝（2n＋1）2，
所以任意一个三角形数乘8再加1是一个整数的平方.
（2）因为第n个三角形数为，第（n＋1）个三角形数为，
所以＋＝（n2＋n＋n2＋3n＋2）＝n2＋2n＋1＝（n＋1）2，
所以连续两个三角形数的和是一个整数的平方.
第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
1.利用完全平方公式进行因式分解：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2.
2.文字叙述：两个数（或式）的平方和加上（或减去）这两个数（或式）的积的2倍，等于这两个数（或式）的和（或差）的平方.
3.完全平方公式的应用.
通过本节课的学习，学生掌握了利用完全平方公式进行因式分解的方法，包括识别完全平方式、确定a和b、验证中间项以及正确写出因式分解的结果.同时，学生通过典型错误和实际应用加深了对完全平方公式的理解.
本节课聚焦于“利用完全平方公式进行因式分解”的核心内容，通过系统的理论讲授、生动的例题示范以及丰富的实践活动，学生们不仅深刻理解了完全平方公式的本质，还熟练掌握了运用该公式进行因式分解的技巧.虽然理论讲解清晰，但在将理论转化为实践的过程中，部分学生仍稍显生疏.未来教学中，应增加更多互动环节，如即时练习、小组竞赛等，以促进学生理论与实践的快速融合.差异化教学需加强：学生之间存在一定的基础和接受能力差异，部分学生在理解复杂公式时遇到困难.未来应设计更多层次分明的练习题，为不同层次的学生提供个性化的学习路径.
1.了解完全平方公式的几何解释，并能运用完全平方公式进行因式分解.
2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，培养符号意识，体会“特殊—一般—特殊”的认识规律.
重点：掌握完全平方公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用完全平方公式进行因式分解.
难点：运用完全平方公式进行因式分解.
老师拿着一套由若干个不同形状的硬纸板组成的拼图走进教室.拼图中有两个边长分别为a和b的正方形，还有两个长为a、宽为b的长方形.老师将这些硬纸板展示给同学们，并提出一个问题：“大家想一想，如果把这些纸板拼在一起，能拼成一个什么样的规则图形呢？”
探究点一 用完全平方公式进行因式分解
类型一 判断能否用完全平方公式分解因式
【例1】下列多项式是不是完全平方式？如果是，请进行因式分解；如果不是，请说明理由.
（1）x2－2x＋1.
（2）1＋16a2.
（3）4x2＋4x－1.
（4）9（x＋y）2－12（x＋y）＋4.
【解析】根据完全平方式的结构特点进行判断，如果是，按照完全平方公式进行因式分解.关键是确定公式中的a，b.
【解】（1）x2－2x＋1是完全平方式.
x2－2x＋1＝（x－1）2.
（2）1＋16a2不是完全平方式.因为完全平方式是一个三项式，而1＋16a2是二项式，不符合要求.
（3）4x2＋4x－1不是完全平方式.因为完全平方式的两个平方项前面的符号相同.题目中两个平方项4x2与－1符号相反，不符合要求.
（4）9（x＋y）2－12（x＋y）＋4是完全平方式.
9（x＋y）2－12（x＋y）＋4＝[3（x＋y）]2－2×3（x＋y）·2＋22＝[3（x＋y）－2]2＝（3x＋3y－2）2.
【方法总结】运用完全平方公式时，必须弄清哪一项相当于公式中的a2，哪一项相当于公式中的b2，哪一项相当于公式中的2ab，并根据2ab的符号来确定运用哪一个完全平方公式.
类型二 用完全平方公式分解因式
【例2】用完全平方公式分解因式：
（1）x2－x＋.
（2）（m＋n）2－6（m＋n）＋9.
【解析】根据完全平方公式的特点分解因式即可.
【解】（1）原式＝（x－）2.
（2）原式＝（m＋n－3）2.
探究点二 完全平方公式的应用
【例3】计算：
（1）342＋34×32＋162.
（2）38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
【解析】利用完全平方公式转化为（a±b）2的形式后计算即可.
【解】（1）原式＝（34＋16）2＝2500.
（2）原式＝（38.9－48.9）2＝100.
【方法总结】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.
【例4】请阅读以下材料，并完成相应的任务.
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1，3，6，10，….由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用（n≥1）表示.
任务：请根据以上材料，试说明以下结论的正确性.
（1）任意一个三角形数乘8再加1是一个整数的平方.
（2）连续两个三角形数的和是一个整数的平方.
【解析】（1）先将第n个三角形数乘8再加1，再利用完全平方公式整理即可得出答案.（2）分别用n表示出第n，（n＋1）个三角形数，进一步相加整理即可得出答案.
【解】（1）由题意知，第n个三角形数为，所以×8＋1＝4n2＋4n＋1＝（2n＋1）2，
所以任意一个三角形数乘8再加1是一个整数的平方.
（2）因为第n个三角形数为，第（n＋1）个三角形数为，
所以＋＝（n2＋n＋n2＋3n＋2）＝n2＋2n＋1＝（n＋1）2，
所以连续两个三角形数的和是一个整数的平方.
第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
1.利用完全平方公式进行因式分解：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2.
2.文字叙述：两个数（或式）的平方和加上（或减去）这两个数（或式）的积的2倍，等于这两个数（或式）的和（或差）的平方.
3.完全平方公式的应用.
通过本节课的学习，学生掌握了利用完全平方公式进行因式分解的方法，包括识别完全平方式、确定a和b、验证中间项以及正确写出因式分解的结果.同时，学生通过典型错误和实际应用加深了对完全平方公式的理解.
本节课聚焦于“利用完全平方公式进行因式分解”的核心内容，通过系统的理论讲授、生动的例题示范以及丰富的实践活动，学生们不仅深刻理解了完全平方公式的本质，还熟练掌握了运用该公式进行因式分解的技巧.虽然理论讲解清晰，但在将理论转化为实践的过程中，部分学生仍稍显生疏.未来教学中，应增加更多互动环节，如即时练习、小组竞赛等，以促进学生理论与实践的快速融合.差异化教学需加强：学生之间存在一定的基础和接受能力差异，部分学生在理解复杂公式时遇到困难.未来应设计更多层次分明的练习题，为不同层次的学生提供个性化的学习路径.
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