2.5 第1课时 分式方程及其解法 教案 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册

2.5　可化为一元一次方程的分式方程
第1课时　分式方程及其解法
1.了解分式方程的概念.
2.掌握解分式方程的基本步骤.
3.了解分式方程的解进行检验的原理.
重点：解分式方程的步骤及分式方程的解的检验.
难点：确定最简公分母，理解分式方程无解产生的原因及检验方法.
问题呈现：为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树.后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的，结果提前4天完成任务.设原计划每天种x棵树，试用含x的等式表示问题中的等量关系.引导学生思考如何列方程.
学生讨论：分组讨论如何设未知数、建立等量关系（时间差）.
方程展示：根据学生回答，板书分式方程－＝4.
概念引入：指出此类方程的分母中含有未知数，称为分式方程.
探究点一　分式方程的概念
【例1】在方程x＋＝2，＝，－＝4，x－2＝0，＝，＝，4x－5＝0，－＝x（a，b为非0常数）中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？
【解析】利用整式方程与分式方程的区别解答.
【解】方程x＋＝2，＝，－＝4，＝是分式方程.方程x－2＝0，＝，4x－5＝0，－＝x（a，b为非0常数）是整式方程.
【方法总结】要判断一个方程是否为分式方程，关键是看分母中是否含有未知数.
探究点二　解分式方程
类型一　直接解分式方程
【例2】解方程：＋＝0.
【解析】分式方程两边同乘最简公分母x（x－3），将分式方程转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验一元一次方程的解是否满足原方程左边的值为0，最后确定分式方程的解.
【解】去分母，得5x＋4（x－3）＝0，
解得x＝.
检验：将x＝代入原分式方程，得左边＝＋＝0＝右边.
故x＝－3是原分式方程的解.
【方法总结】解分式方程的四步法：（1）去分母（乘最简公分母）.（2）解一元一次方程.（3）检验解是否使最简公分母为0，使方程两边相等.（4）确定方程的解.
类型二　根据分式方程的解的情况求字母的范围
【例3】关于x的方程＝－1的解是正数，则a的取值范围是　　　　　　.
【解析】根据解分式方程的步骤可得，分式方程的解为x＝.因为方程的解是正数，所以x＞0且x≠2，即＞0且≠2，解得a＞－1且a≠－.
【解】a＞－1且a≠－
【方法总结】先求出分式方程的解，再根据条件和隐含条件求出a的取值范围.
探究点三　分式方程无解
【例4】解方程：＝.
【解析】分式方程两边同乘最简公分母（x＋2）（x－2），将分式方程转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验一元一次方程的解是否满足最简公分母（x＋2）（x－2）≠0，最后确定分式方程的解.
【解】去分母，得x＋2＝4，
解得x＝2.
检验：把x＝2代入原方程，方程两边的分式的分母都为0，这样的分式没有意义，则x＝2不是原分式方程的解.故原分式方程无解.
第1课时　分式方程及其解法
1.概念：分母中含有未知数的方程.
2.解法步骤：（1）去分母（乘最简公分母）；（2）解一元一次方程；（3）检验（将一元一次方程的解代入分母或最简公分母中）；（4）确定解.
3.方程无解：使分母为0的解，需舍去.
本节课学习了分式方程的概念及其解法，需熟练掌握解分式方程的步骤.其中，检验是解分式方程的必要环节，避免出现方程中分母为0的情况.
　　本节课通过实例讲解和课堂练习，帮助学生掌握了分式方程的解法.同时应关注学生对分式方程的解进行检验的原理的理解，必要时用具体数值演示分式方程无解的原因.教学过程中，发现部分学生在检验解的过程中，容易忽略方程的解使最简公分母为0的问题，需要强化“检验”环节的训练，避免学生忽略此步骤.教师可以结合更多生活实例，提升学生建模能力.