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一次方程与方程组 单元精选测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程变形正确的是 ( )
A．若5x-6=7，则5x=7-6 B．若-3x=5，则
C．若5x-3=4x，则5x-4x=3 D．若 则x=2
2．方程的解是（ ）.
A． B． C． D．
3．用代入法解方程组 下面的变形正确的是( )
A． B． C． D．
4．已知x＝3是关于x的方程 的解，则 的值是（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．﹣1
5．用铝片做听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，设用张铝片制作瓶身，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．若方程ax-3y= - 2x+6是二元一次方程，则常数a必须满足（ ）
A．a≠2 B．a≠ - 2 C．a=2 D．a=0
7．《九章算术》卷第八有一道题，原文是“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？”译文是“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”设每头牛值金 两，每头羊值金 两，则依据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．小明从家出发前往少年宫参加团体活动，若他每小时走15千米，则可在活动开始前20分钟到达；如果每小时走12千米，则要迟到10分钟．设从家到少年宫的路程是x千米，出发时距离活动开始还有y小时，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
9．若关于x的方程|x+1|+|x-1|= a有实根．则实数a的取值范围是（ ）．
A．a≥0 B．a>0 C．a≥1 D．a≥2
10．规定”△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)．如果对任意实数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
A．(0，1) B．(1，0) C．(﹣1，0) D．(0，﹣1)
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某班46名同学去公园划船，一共乘坐10艘船.已知每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好全部坐满.设大船有条，可列方程 .
12．如图，10块相同的长方形卡片拼成一个大长方形，设长方形卡片的长和宽分别为x和y，则依题意，列方程组 ．
13．某中学举行象棋比赛活动，通过抽签，甲、乙两名同学进行对弈，已知甲在6盘结束后，以净胜乙2分的成绩取胜，比赛的积分规则是：每盘比赛胜者得2分，负者得0分，和棋各得1分，则甲同学的总积分为 ．
14．若关于x的方程 的解是x=3，那么k的值是 ．
15．若方程 与方程 同解，则 .
16．春节来临之际，公司老总为了感谢职工这一年来的付出，他用一张1万元支票给公司几名保洁人员每人购买一件单价590元的A种节日礼盒，又给一线的十几名技术员工每人购买一件单价670元的B种节日礼盒，找回了几张100元和几张10元（10元的不超过9张）的钞票．事后公司老总再仔细算了一下，如把购买A种节日礼盒和B种节日礼盒的数量互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反．问该公司保洁人员与一线的技术员工的人数之比是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．现政府大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动车出行，某商场销售的一款电动车每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利 .
（1）求这款电动车每台的进价？ 利润率
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款电动车100台，问盈利多少元？
18．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
19．物流公司用A型车和B型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
20．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
21．解方程组：
（1）
（2）
22．周末，小明等同学随家长一同去某景点游玩，景点门票价格如下表：
成人：每张80元学生：每张按成人票5折优惠团体票（16人以上、含16人）：每张按成人票6折优惠
下面是购买门票时，小明与爸爸的对话（如图），
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）正要购票时，小明发现另外10名同学及7名家长也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的总费用．
23．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 (要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
24．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？
25．在“节能减排，做环保小卫士”的活动中，小王对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据：
耗电量 使用寿命 价格
一盏普通灯 度/时 2000小时 3元/盏
一盏节能灯 度/时 4000小时 31元/盏
已知这两种灯的照明效果一样，电价为每度 元． （注：费用=灯的售价+电费）
请你解决以下问题：
（1）在普通灯的使用寿命内，设照明时间为 小时，请用含x的式子分别表示用一盏普通灯的费用和用一盏节能灯的费用；
（2）在普通灯的使用寿命内，照明多少小时，使用这两种灯的费用相等？
（3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由．
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一次方程与方程组 单元精选测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程变形正确的是 ( )
A．若5x-6=7，则5x=7-6 B．若-3x=5，则
C．若5x-3=4x，则5x-4x=3 D．若 则x=2
【答案】C
【解析】【解答】解：A：5x-6=7，
移项得：5x=7+6
∴A是错误的
B：-3x=5，
系数化为“1"得：x=
∴B是错误的
C：5x-3=4x
移项得：5x-4x=3
D：
系数化为“1"，得：x=.
∴D是错误的
∴故答案为：C
【分析】A：运用移项需要变号可知A不符合题意；
B：运用系数化为“1"可知B不符合题意；
C：运用移项需要变号可知C符合题意；
D：运用系数化为“1"可知D不符合题题.
2．方程的解是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
移项得，，
合并同类项得，，
故答案为：A.
【分析】根据解一元一次方程的解题步骤“移项、合并同类项”求出方程的解，即可得出答案.
3．用代入法解方程组 下面的变形正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：将x=2y+1代入2y-3x=1得2y-3(2y+1)=1，去括号得2y-6y-3=1.
故答案为：A.
【分析】将x=2y+1代入2y-3x=1并去括号即可.
4．已知x＝3是关于x的方程 的解，则 的值是（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x＝3是关于x的方程 的解，
∴6m=3n-3，即：n-2m=1，
∴ =2，
故答案为：A．
【分析】先求出n-2m=1，再计算求解即可。
5．用铝片做听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，设用张铝片制作瓶身，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
6．若方程ax-3y= - 2x+6是二元一次方程，则常数a必须满足（ ）
A．a≠2 B．a≠ - 2 C．a=2 D．a=0
【答案】B
【解析】【解答】解：方程ax-3y= - 2x+6变形为
因为方程为二元一次方程，则
故答案为：B
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
7．《九章算术》卷第八有一道题，原文是“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？”译文是“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”设每头牛值金 两，每头羊值金 两，则依据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】设每头牛值金 两，每头羊值金 两，则依据题意得
.
故答案为：C.
【分析】根据牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，各列一个方程组成方程组求解即可.
8．小明从家出发前往少年宫参加团体活动，若他每小时走15千米，则可在活动开始前20分钟到达；如果每小时走12千米，则要迟到10分钟．设从家到少年宫的路程是x千米，出发时距离活动开始还有y小时，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
9．若关于x的方程|x+1|+|x-1|= a有实根．则实数a的取值范围是（ ）．
A．a≥0 B．a>0 C．a≥1 D．a≥2
【答案】D
【解析】【解答】解：当x＜ 1时，
原式去绝对值得： x 1 x＋1＝a，
解得x＝ a．
∴ a＜ 1．
∴a＞2．
当 1≤x≤1时，
原式去绝对值得：x＋1 x＋1＝a，
解得：a＝2．
当x＞1时，
原式去绝对值得：x＋1＋x 1＝a，
解得x＝ a．
∴ a＞1．
∴a＞2．
综上所述：a≥2．
故答案为：D．
【分析】根据绝对值性质，将|x+1|+|x-1|= a去掉绝对值，需要分为x＜ 1、 1≤x≤1、x＞1三种情况讨论，然后根据求得的值解不等式，从而求得a的取值范围．
10．规定”△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)．如果对任意实数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
A．(0，1) B．(1，0) C．(﹣1，0) D．(0，﹣1)
【答案】B
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某班46名同学去公园划船，一共乘坐10艘船.已知每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好全部坐满.设大船有条，可列方程 .
【答案】6x+4（10-x）=46
【解析】【解答】解： 设大船有x条，
由题意列方程：6x+4(10-x)=46.
故答案为：6x+4(10-x)=46.
【分析】 设大船有x条，根据相等关系“x条大船坐的人数+（10-x)条小船坐的人数=总人数46”可列方程.
12．如图，10块相同的长方形卡片拼成一个大长方形，设长方形卡片的长和宽分别为x和y，则依题意，列方程组 ．
【答案】
【解析】【解答】解：通过题图可知，长方形的长加上2倍的长方形的宽为75，即；而长方形的长等于3倍的长方形的宽，即x=3y. 联立方程，有.
故答案为：.
【分析】根据条件，结合图形得出的等量关系，列方程组即可.
13．某中学举行象棋比赛活动，通过抽签，甲、乙两名同学进行对弈，已知甲在6盘结束后，以净胜乙2分的成绩取胜，比赛的积分规则是：每盘比赛胜者得2分，负者得0分，和棋各得1分，则甲同学的总积分为 ．
【答案】
【解析】【解答】设甲乙两名同学对弈的刘局比赛中，甲胜x场，负y场，则乙胜y场，负x场，且甲乙平局均为(6-x-y)场.
根据题意可列方程：，
整理得：，
故甲同学的总积分为：.
【分析】根据甲乙对弈情况可设其胜负平的场数，由"甲以净胜乙2分的成绩取胜"作等量关系将式子表达并整理，进而找寻问题"甲同学的总积分"与该式子的联系从而得出答案.
14．若关于x的方程 的解是x=3，那么k的值是 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：关于x 的方程2x-k+4=0的解是x=3，∴6-k+4=0，解得：k=10．故答案为10．
【分析】把x=3代入方程计算即可求出k的值。
15．若方程 与方程 同解，则 .
【答案】2
【解析】【解答】解：3﹣2x=1
解得：x=1，
把x=1代入方程x﹣3b=﹣5得：
1﹣3b=﹣5，
解得：b=2．
故答案为：2．
【分析】分别解出方程的解，再列等式求解即可。
16．春节来临之际，公司老总为了感谢职工这一年来的付出，他用一张1万元支票给公司几名保洁人员每人购买一件单价590元的A种节日礼盒，又给一线的十几名技术员工每人购买一件单价670元的B种节日礼盒，找回了几张100元和几张10元（10元的不超过9张）的钞票．事后公司老总再仔细算了一下，如把购买A种节日礼盒和B种节日礼盒的数量互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反．问该公司保洁人员与一线的技术员工的人数之比是 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．现政府大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动车出行，某商场销售的一款电动车每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利 .
（1）求这款电动车每台的进价？ 利润率
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款电动车100台，问盈利多少元？
【答案】（1）解：设这款电动车每台的进价为x元，
根据题意得： ，
解得： .
答：这款电动车每台的进价为2400元
（2）解： 元 .
答：该商场共盈利21600元.
【解析】【分析】（1）设这款电动车每台的进价为x元，根据售价 进价 利润，利润=进价×利率即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润 单台利润 销售数量，即可得出结论.
18．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
19．物流公司用A型车和B型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
【答案】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得：
，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）解：依题意得：3a+4b=80，
∴b==20-．
∵a，b均为正整数，
∴解得：或或或或或，
∵a∴共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；
方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；
方案1所需租金为100×4+120×17=2440（元）；
方案2所需租金为100×8+120×14=2480（元）；
∵2480>2440，
∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，
答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程组即可；
（2）先求出 3a+4b=80， 再求出 b==20-，最后计算求解即可。
20．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【解析】【分析】（1）篮球、足球的单价各是x元、y元，然后根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，根据“ 购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半 ”列出关于m的不等式组，解不等式组得m的取值范围，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.
21．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：由 得到 ，
将 代入 得 ，解得 ，
将 代入 得 ，
所以原方程组的解为：
；
（2）解：对 等式两边同乘12，去分母得 ，
对 去括号得 ，
对 等式两边同乘2得 ，
减去 得 ，解得 ，
将 代入 得 ，
所以原方程组的解为：
.
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程组，然后利用加减消元法解方程组即可.
22．周末，小明等同学随家长一同去某景点游玩，景点门票价格如下表：
成人：每张80元学生：每张按成人票5折优惠团体票（16人以上、含16人）：每张按成人票6折优惠
下面是购买门票时，小明与爸爸的对话（如图），
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）正要购票时，小明发现另外10名同学及7名家长也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的总费用．
【答案】（1）小明他们一共去了6个成人，4个学生
（2）13名家长和3名学生购买团体票，11名学生买学生票最优惠，总费用为1208元
23．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 (要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
【答案】（1）解：设每块小长方形地砖的长为xm，宽为ym，由题意得：
，
解得： ，
∴长是1.5m，宽是0.5m.
（2）解：∵正方形的面积为7平方米，
∴正方形的边长是 米，
∵ <3，
∴他不能剪出符合要求的桌布.
【解析】【分析】（1）设每块小长方形地砖的长为xm，宽为ym，列方程组求解即可；（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
24．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？
【答案】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件，
依题意可知：
解得：
，
故购进甲种商品150件，购进乙种商品90件．
（2）解：（元）
故该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元．
（3）解：设以五折售出的乙商品有y件．
根据题意得：
解得：
故以五折售出的乙商品有70件．
【解析】【分析】（1）先求出，再解方程组即可；
（2）求出 （元） 即可作答；
（3）先求出 ，再解方程即可。
25．在“节能减排，做环保小卫士”的活动中，小王对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据：
耗电量 使用寿命 价格
一盏普通灯 度/时 2000小时 3元/盏
一盏节能灯 度/时 4000小时 31元/盏
已知这两种灯的照明效果一样，电价为每度 元． （注：费用=灯的售价+电费）
请你解决以下问题：
（1）在普通灯的使用寿命内，设照明时间为 小时，请用含x的式子分别表示用一盏普通灯的费用和用一盏节能灯的费用；
（2）在普通灯的使用寿命内，照明多少小时，使用这两种灯的费用相等？
（3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由．
【答案】（1）解：普通灯：0.1x×0.5+3= ；
节能灯：0.02x×0.5+31=
（2）解：由题意得
，
解得 ，
∴照明700小时，使用两灯的费用相等
（3）解：普通灯： ，
节能灯： ，
，
使用节能灯更省钱．
【解析】【分析】（1）根据“费用=灯的售价+电费”列代数式即可；
（2）根据“两种灯的费用相等”列方程求解即可；
（3）根据（1）中所列代数式求出费用比较即可即可．
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