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三角形中的边角关系、命题与证明 单元同步测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题中，真命题为（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．下列命题是真命题的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．两个有理数的积可能为无理数 D．两个无理数的积仍为无理数
3．下列长度的三根木棒首尾相接，能够做成三角形框架的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等
D．各边相等的圆外切多边形是正多边形
5．若△ABC三个角的大小满足条件∠A：∠B：∠C＝1：3：4，则∠C的大小为（ ）
A．22.5° B．45° C．67.5° D．90°
6．张师傅打算从长为8，7，4，3的四根钢筋条中选用三根首尾顺次连接制作三角形，则他的选法有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
7． 如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
8．下列各组线段不能组成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
9．某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
10．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，C、D两点落到、处已知，且，则的度数为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，从地面上点处射向平面镜上点的光线经过反射后的光线是，根据光的反射原理可知，，若，，则的度数是 ．
12．如图所示，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF= ．
13．如图，已知 ， ，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADC=2∠CDE，∠AED=60°，则∠CDE= ．
14．三角形的两条边长分别为4和，若第三条边长为整数，则第三条边长的最大值为 ．
15．如图，中，平分，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，点在点E左侧，若，，则 ．
16．如图，已知，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点，设，则
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，
（1）若AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠C=74°，∠B=46°，求∠DAE的度数.
（2）若AE是△ABC的中线，BC=4，△ABE的面积为4，EC=3DE，求△ABC面积和△ADE的面积.
18．
（1）如图①、②，AB∥CD，你能说明∠A、∠E、∠C的关系吗？（请在图形下的横线上写出其关系并选一个进行说明）
（2）如图③若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=80 ，则∠BFD= .
19．如图，点 分别是 轴上位于原点两侧的两点，点 在第一象限，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ， .
（1）求 ；
（2）求点 的坐标及 的值；
（3）若 ，求直线 的函数表达式.
20．一个长方形台球桌面如图1所示，已知台球在与台球桌边缘碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反弹线路与桌边的夹角，即图1中的.
（1）台球经过如图2所示的两次碰撞后，第二次的反弹线路为.若开始时的撞击线路为，求证：；
（2）台球桌因为长期使用，导致桌角松动变形如图3，在台球经过两次撞击之后，开始时的撞击线路EF所在直线与第二次的反弹线路所在直线相交于点M，若，求的度数.
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，4)，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴的正半轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝ S△OCD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，点F在线段AB上，点E、G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠A＝50°，求∠D的度数
23．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与y轴相交于点C（0，6），与直线OA相交于点A且点A纵坐标为2，动点P沿路线OAC运动.
（1）求直线BC的解析式.
（2）求的面积.
（3）当的面积是的面积的时，求出这时点P的坐标.
25．某市木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．
（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
（2）在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？
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三角形中的边角关系、命题与证明 单元同步测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题中，真命题为（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
2．下列命题是真命题的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．两个有理数的积可能为无理数 D．两个无理数的积仍为无理数
【答案】B
3．下列长度的三根木棒首尾相接，能够做成三角形框架的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由三角形的三边关系可知，如果三边中两较小边的和大于第三边，则三边可以构成三角形，否则不能构成三角形，所以有；
A.∵2+5=7，∴A不符合题意；
B.∵3+5>7，∴B符合题意；
C.∵3+6=9，∴C不符合题意；
D.∵4+8<13，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边的关系，逐项判断。两个短边之和大于最长边即可。
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等
D．各边相等的圆外切多边形是正多边形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、边数是偶数的正多边形都是中心对称图形，边数是奇数的正多边形不是中心对称图形，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，符合题意；
C、边数大于3的正多边形的对角线长不都相等，可以以正八边形为例得出对角线长不都相等，不符合题意；
D、各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形，例如，圆外切菱形边数正多边形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
5．若△ABC三个角的大小满足条件∠A：∠B：∠C＝1：3：4，则∠C的大小为（ ）
A．22.5° B．45° C．67.5° D．90°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：3：4，
∴∠B＝3∠A，∠C＝4∠A.
∵∠A+∠B+∠C＝180，
∴∠A+3∠A+4∠A＝180.
∴∠A＝22.5.
∴∠C＝4∠A＝4×22.5＝90.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得∠B＝3∠A，∠C＝4∠A，结合内角和定理可得∠A的度数，据此可得∠C的度数.
6．张师傅打算从长为8，7，4，3的四根钢筋条中选用三根首尾顺次连接制作三角形，则他的选法有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】C
【解析】【解答】解：其中的任意三条组合有①8，7，4；②8，7，3；③7，4，3；④ ，8，3四种情况，
根据三角形的三边关系，可知只有①②两种能组成三角形，
故有2种不同的选法．
故答案为：C．
【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
7． 如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】C
【解析】【解答】解：
如图，AB//DE，∠D=30°，∠B=45°，
∴∠BED=∠B=45°，
∴∠BCD=∠BED-∠D=15°，
∴∠1=90°-15°=75°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得到∠BED=∠B=45°，再根据外角的性质即可得到答案.
8．下列各组线段不能组成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9．某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠BCD=110°，
∴∠CDB+∠CBD=180°-110°=70°，
∵∠ABC=20°，∠ADC=30°，
∴∠ADB+∠ABD=∠CDB+∠CBD+∠ABC+∠ADC =120°，
∴∠A=180°-（∠ADB+∠ABD）=60°，
故答案为：B．
【分析】连接BD，先求出∠ADB+∠ABD=∠CDB+∠CBD+∠ABC+∠ADC =120°，再利用三角形的内角和求出∠A的度数即可。
10．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，C、D两点落到、处已知，且，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，从地面上点处射向平面镜上点的光线经过反射后的光线是，根据光的反射原理可知，，若，，则的度数是 ．
【答案】
12．如图所示，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF= ．
【答案】87°
【解析】【解答】在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣67°﹣74°=39°，
在△ADE中，∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=180°﹣39°﹣48°=93°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE=180°﹣93°=87°．
【分析】由已知根据三角形的内角和定理可以求出△ABC中∠A的度数，同理可求出△ADE中∠ADE的度数，再由∠ADE+∠BDF=180°求出∠BDF即可。
13．如图，已知 ， ，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADC=2∠CDE，∠AED=60°，则∠CDE= ．
【答案】15°
【解析】【解答】解：设∠CDE=x°，则∠ADC=2x°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
设∠BAE=∠DAE=a°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴a+a+2x=180，
解得：a=90-x，
∵在△AED中，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∴60+2x+x+90-x=180，
解得：x=15，
即∠CDE=15°，
故答案为：15°．
【分析】设∠CDE=x°，则∠ADC=2x°，∠BAE=∠DAE=a°，根据平行线的性质得出∠BAD+∠ADC=180°，求出a=90-x，根据三角形内角和定理求出60+2x+x+90-x=180，求出x即可．
14．三角形的两条边长分别为4和，若第三条边长为整数，则第三条边长的最大值为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
∵三角形的两条边长分别为4和，
∴，
∵，
∴，，
∵第三条边长为整数，
∴第三条边长的最大值为8，
故答案为：8.
【分析】利用三角形的三边关系求出，再求出，，最后求解即可。
15．如图，中，平分，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，点在点E左侧，若，，则 ．
【答案】70
16．如图，已知，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点，设，则
【答案】
【解析】【解答】如图，过点E作EG∥AB，记∠BEP为∠1，∠CEP为∠2，∠ECF为∠3，∠DCF为∠4
∵EG∥AB，
∴EG∥AB∥CD
∴∠ABE=∠BEG=80°，∠CEG+∠ECD=180°
∵EP平分∠BEC，CF平分∠ECD
∴，
设∠1=∠2=x，则∠CEG=∠BEG-（∠1+∠2）=80°-2x
∴∠ECD=180°-∠CEG=180°-(80°-2x)=100°+2x
∴∠3=∠4=50°+x
∴∠ECP=180°-∠3=130°-x
∴∠P=180°-∠2-∠ECP=180°-x-(130°-x)=50°
故答案为：50°.
【分析】本题考查拐点模型，需要在拐点处添加平行线，利用平行线的性质进一步解题，计算过程中可以设元利用代数式进行计算得到答案.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，
（1）若AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠C=74°，∠B=46°，求∠DAE的度数.
（2）若AE是△ABC的中线，BC=4，△ABE的面积为4，EC=3DE，求△ABC面积和△ADE的面积.
【答案】（1）解：∵∠B=46°，∠C=74°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=30°，
∵∠AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=44°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=44°-30°=14°；
（2）解：∵AE是△ABC的中线，
∴BE=EC，
∵S△ABE= ， S△AEC= ，
∴S△ABE=S△AEC=4，
∴S△ABC=8，
∵EC=3DE，
∴DE= EC，
∴S△ADE= S△AEC= .
【解析】【分析】（1）根据角平分线和高的性质，结合三角形内角和定理求解；（2）根据三角形的中线性质，结合三角形的面积公式求解.
18．
（1）如图①、②，AB∥CD，你能说明∠A、∠E、∠C的关系吗？（请在图形下的横线上写出其关系并选一个进行说明）
（2）如图③若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=80 ，则∠BFD= .
【答案】（1）解：①过点E作EF//AB，如图，
∵AB∥CD，
∴EF//CD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF
∴∠AEC=∠A+∠C；
②如图，
∵AB//CD
∴∠A=∠AFC，
又∵∠AFC=∠C+∠E，
∴∠A=∠C+∠E；
（2）40°
【解析】【解答】解：（2）如图，过点E作EP∥AB，过F作FM∥AB，
∴AB∥CD∥EP∥FM，
∴∠ABE=∠BEP，∠CDE=∠DEP，∠ABF=∠BFM，∠CDF=∠DFM，
∴∠ABE+∠CDE=∠BED=80°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF= （∠ABE+∠CDE）=40°，
即∠BFD=40°.
【分析】（1）过点E作EF//AB，则EF//CD，根据平行线的性质可求出结论；根据三角形外角的性质和平行线的性质进行求解即可；（2）利用两直线平行，内错角相等和角平分线定义进行解题即可.
19．如图，点 分别是 轴上位于原点两侧的两点，点 在第一象限，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ， .
（1）求 ；
（2）求点 的坐标及 的值；
（3）若 ，求直线 的函数表达式.
【答案】（1）解：作PE⊥y轴于E，
∵P的横坐标是2，则PE=2.
∴
（2）解：∴
∴ ，即
∴OA=4，
∴A的坐标是( 4，0).
设直线AP的解析式是y=kx+b，则
，
解得：
则直线的解析式是
当x=2时，y=3，即p=3
（3）解：∵
∴OB=OA=4，则B的坐标是(4，0)，
设直线BD的解析式是y=mx+n，则
解得
则BD的解析式是：
【解析】【分析】（1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解；（2）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值；（3）根据S△AOP=S△BOP，可以得到OB=OA，则A的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得BD的解析式．
20．一个长方形台球桌面如图1所示，已知台球在与台球桌边缘碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反弹线路与桌边的夹角，即图1中的.
（1）台球经过如图2所示的两次碰撞后，第二次的反弹线路为.若开始时的撞击线路为，求证：；
（2）台球桌因为长期使用，导致桌角松动变形如图3，在台球经过两次撞击之后，开始时的撞击线路EF所在直线与第二次的反弹线路所在直线相交于点M，若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵台球经过两次碰撞后反弹线路为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，.
【解析】【分析】（1） 由题意可得∠AFE=∠BFG，∠FGB=∠HGC，根据余角以及平角的概念可得∠EFG=180°-(∠FGB+∠HGC)，则∠EFG+∠FGH=180°-(∠AFE+∠BFG)+180°-(∠FGB+∠HGC)=360°-(∠AFE+∠BFG+∠FGB+∠HGC)=180°，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2） 由内角和定理可得∠EFG+∠FGH=160°，则∠AFE+∠BFG+∠FGB+∠HGC=200°，由题意可得∠AFE=∠BFG，∠FGB=∠HGC，则∠BFG+∠FGB=100°，接下来利用内角和定理进行计算.
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，4)，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴的正半轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝ S△OCD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+b
将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b
得： ，解得： ，
故直线AB的表达式为：y＝﹣ x+4；
（2）∵AB=
由折叠可得：AC＝AB＝5，故点C（8，0），
设点D的坐标为：（0，m），而CD＝BC，
即4﹣m＝ ，解得：m＝﹣6，
故点D（0，﹣6）；
（3）设点P（0，n），
∵ S△OCD＝ ＝ ×6×8＝6，
∴S△ABP＝ BP×xA＝ |4﹣n|×3＝6，
解得：n＝8或0，
又∵点P在y轴的正半轴，
∴n=8，
故P（0，8）．
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
（2）由题意得：AD＝AB＝5，故点D（8，0），设点C的坐标为：（0，m），而CD＝BC，即4﹣m＝ ，再解答即可；
（3）设点P（0，n）， S△OCD＝ ＝ ×6×8＝6，S△ABP＝ BP×xA＝ |4﹣m|×3＝6，即可求解．
22．如图，点F在线段AB上，点E、G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠A＝50°，求∠D的度数
【答案】（1）解：如图：
.
（2）解： 于点H
，
BC平分∠ABD
.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠2=∠3，由∠1=∠2可得∠1=∠3，根据平行线的判定即证结论；
（2）根据平行线的性质可求出∠A=∠3=50°，利用直角三角形的性质求出∠C=40°，由角平分线的定义可得∠ABC=∠DBC，从而得出∠DBC=∠C，根据三角形的内角和可得∠D=180°-∠CBD-∠C，据此计算即可.
23．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）解：把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y=kx+b得 ，
解得 ．所以一次函数解析式为y= x+ ；
（2）解：把x=0代入y= x+ 得y= ，
所以D点坐标为（0， ），
所以△AOB的面积=S△AOD+S△BOD= ×y= x+ ；
×2+ ×y= x+ ×1= ．
【解析】【分析】（1）求经过已知两点坐标的直线解析式，一般是按待定系数法步骤求得；（2）△AOB的面积=S△AOD+S△BOD，因为点D 是在y轴上，据其坐标特点可求出DO的长，又因为已知A、B点的坐标则可分别求三角形S△AOD与S△BOD的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与y轴相交于点C（0，6），与直线OA相交于点A且点A纵坐标为2，动点P沿路线OAC运动.
（1）求直线BC的解析式.
（2）求的面积.
（3）当的面积是的面积的时，求出这时点P的坐标.
【答案】（1）解：设直线BC的解析式是，根据题意得：
解得
则直线的解析式是：；
（2）解：在中，令，解得：
则；
（3）解：设的解析式是，则，
解得：，
则直线的解析式是：，
∵当的面积是的面积的时，∴P的横坐标是，
在中，当时，，则P的坐标是；
在中，则，则P的坐标是
∴的坐标是：.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）先求出点A的横坐标，再利用三角形的面积公式求出的面积；
（3）先求出直线OA的解析式，求出点P的横坐标，再将点P的横坐标分别代入和求出点P的坐标即可。
25．某市木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．
（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
（2）在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？
【答案】（1）解：设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5-2＜x＜5+2，
解得2＜x＜8，
x=3，4，5，6，7．共5种选择，
故规格为3 m，4 m，5 m，6 m，7m的四种木棒可供小明的爷爷选择．
（2）解：当第三根木棒长为3 m时，最省钱．
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-2＜x＜5+2，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案。
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