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全等三角形 单元达标测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知：如图， ，添加下列一个条件仍不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F
3． 如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB=AD，∠BAO=∠DAO，由此可以得出的全等三角形是（ ）
A．≌ B．≌
C．≌ D．≌
5．已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
7．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（ ）
A．A B．B C．b﹣a D． （b﹣a）
8．如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在不等边 中， ，垂足为M， ，垂足为N，且 ，点Q在AC上， ，下列结论：
， ， 平分 ， 平分 ， ≌ ，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，已知是的角平分线上的一点，请添加一个条件： ，使得．
12．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 ．
13． 如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ．
14．如图，△ABC与△BDE的顶点A、B、D在同一直线上，，，，延长分别交、于点F、G．若，，则 ．
15．如图是两个全等三角形，则 的大小是 .
16．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图：AE=CF， ∠ A=∠ C， AD=CB，
求证：
（1）△ADF≌ △CBE；
（2）BE∥DF.
18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于D， AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
19．如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使，量得点到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离，求楼高．
20．如图，在和中，边，相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠1＝∠2，AE＝AC.
（1）在不添加任何字母的情况下，请再补充一个条件，使得△ABC≌△ADE，你补充的条件是 （至少写出两个可行的条件）；
（2）请你从所给条件中选一个，使△ABC≌△ADE，并证明.
22．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．
（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．
（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．
23．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
24．如图，AC∥BD，连接，交于点O，若O为中点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，若的长是偶数，则长为 ．
25．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
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全等三角形 单元达标测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知：如图， ，添加下列一个条件仍不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、当添加AC=BD时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
B、当添加∠CAB=∠DBA时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
C、当添加∠C=∠D时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D、当添加BC=AD时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由于题干中已经具有∠ABC=∠BAD，AB=BA两个条件，根据三角形全等的判定方法添加的第三个条件可是夹相等这对角的另一条边对应相等，或任意一对角对应相等，据此一一判断得出答案.
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F
【答案】C
【解析】【解答】解：A、在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故A不符合题意；
B、在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故B不符合题意；
C、在△ABC与△DEF中，BC=EF，AB=DE，∠A=∠D
∴不能判断△ABC≌△DEF，故C符合题意；
D、在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
3． 如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．如图，AB=AD，∠BAO=∠DAO，由此可以得出的全等三角形是（ ）
A．≌ B．≌
C．≌ D．≌
【答案】B
5．已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，
故答案为：C．
【分析】先利用“SAS”证明△ABE≌△ACD，再利用全等的性质可得∠C＝∠B，最后利用三角形的外角的性质可得∠BDC＝∠A+∠C＝85°。
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DC=DE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB=6cm.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用AAS证明△ACD≌△AED，得出AE=AC，DC=DE，然后通过转化得出△DEB的周长等于AB长，即可解答.
7．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（ ）
A．A B．B C．b﹣a D． （b﹣a）
【答案】D
【解析】【解答】解：在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD=a
∴圆形容器的壁厚为（EF-CD）=（b-a）
故答案为：D
【分析】利用SAS证明△AOB≌△COD，利用全等三角形的性质可求出CD；再求出圆形容器的壁厚.
8．如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
9．如图，在不等边 中， ，垂足为M， ，垂足为N，且 ，点Q在AC上， ，下列结论：
， ， 平分 ， 平分 ， ≌ ，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠AMP＝∠ANP＝90°，
在Rt△APM和Rt△APN中， ，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴AN＝AM，∠PAM＝∠PAN，∠APM＝∠APN，
∵PQ＝QA，
∴∠PAN＝∠APQ，
∴∠PAM＝∠APQ，
∴QP∥AM，故①②③④符合题意；
条件不足，无法证明△BMP≌△CNP，故⑤不符合题意．
综上所述，正确的有4个，
故答案为：B．
【分析】利用“HL”证明△APM和△APN全等，根据全等三角形的性质可得：AN＝AM，∠PAM＝∠PAN，∠APM＝∠APN，再根据等边对等角可得∠PAN＝∠APQ，从而得到∠PAM＝∠APQ，然后根据内错角相等，两直线平行可得QP∥AM，故①②③④符合题意；而条件不足，无法证明△BMP≌△CNP，故⑤不符合题意．
10．如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵是角平分线 .
∴.
又∵于点.
∴.
∴.
∴BF=EF，AB=AE.故①正确.
又∵.
∴AE=CE.
∵.
∴∠G=∠AFE=90°.
∴.
∴AF=CG，故②正确.
在中，， .
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD，故③正确.
∠AEB=∠ADB=60°，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 只需证； ② 只需证； ③ 只需证∠DAC=∠ACD； ④ 求出其角度即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，已知是的角平分线上的一点，请添加一个条件： ，使得．
【答案】（答案不唯一）
12．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∵△ABC≌△ADE，∠B=25°，
∴∠D=∠B=25°，
∵∠E=98°，
∴∠EAD=180°-∠D-∠E=180°-25°-98°=57°
∵∠EAB=20°
∴∠BAD=∠EAB+∠EAD=20°+57°=77°；
故答案为：77°.
【分析】利用全等三角形对应角相等和三角形内角和为180°求解∠EAD，最后再求出∠BAD。
13． 如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ．
【答案】3或7
14．如图，△ABC与△BDE的顶点A、B、D在同一直线上，，，，延长分别交、于点F、G．若，，则 ．
【答案】
15．如图是两个全等三角形，则 的大小是 .
【答案】88°
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=38°，∠C=54°，
∴∠A=180°-54°-38°=88°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠A=88°，
故答案为：88°.
【分析】首先由内角和定理求出∠A的度数，然后根据全等三角形的性质进行解答.
16．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为 .
【答案】（ ， ）
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F.
∵AB⊥OB，
∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，
∴四边形EOBF是矩形，
∵P（2，2），
∴直线OP是一三象限的角平分线，
∴OE＝PE＝BF＝2，OB=BA，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，
∴∠ECP＝∠DPF，
在△CPE和△PDF中，
，
∴△CPE≌△PDF（AAS），
∴DF＝PE＝2，
∴BD＝BF+DF＝4，
∵BD＝4AD，
∴AD＝1，AB＝OB＝5，
∴CE＝PF＝3，
∴D（5，4），C（0，5），
易求直线CD的解析式为y＝﹣ x+5，
∵直线OA的解析式为：y=x，
∴x=﹣ x+5，
解得x=，
∴点Q的坐标为（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.
【分析】过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F，利用角角边定理证明△CPE≌△PDF，得出DF＝PE＝2，根据线段之间的关系求得C、D两点的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，结合直线OA的解析式联立即可求出Q点坐标.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图：AE=CF， ∠ A=∠ C， AD=CB，
求证：
（1）△ADF≌ △CBE；
（2）BE∥DF.
【答案】（1）证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS）
（2）证明：∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠BEC，
∵∠AFD+∠CFD=180°，∠BEC+∠AEB=180°，
∴∠CFD=∠AEB，
∴BE∥DF
【解析】【分析】（1）由已知AE=CF可推出AF=CE，利用SAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证得∠AFD=∠BEC，利用等角的补角相等，可推出∠CFD=∠AEB；然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于D， AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝ ×（180°－40°）＝70°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ×70°＝35°．
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°．
∴∠AFE＝∠BAF＋∠ABD＝90°＋35°＝125°
（2）解：∵ BD⊥AC，BE平分∠ABC，
∴ ∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD，
∴ 在△BDA和△BDC中，
∴△BDA≌△BDC（ASA）．
∴AB＝BC．
又AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC为等边三角形．
∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°．
∴在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，AF＝ BF＝4．
∵∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝30°．
在Rt△ADF中，DF＝ AF＝2．
【解析】【分析】（1）有角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
（2）先利用“ASA”证明△BDA≌△BDC得出△ABC为等边三角形．即可解决问题。
19．如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使，量得点到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离，求楼高．
【答案】解：由题意得，，
∴，
∴
．
在和中，
，
，
．
，，
，
答：楼高是．
【解析】【分析】根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出DP=AB，根据 求解即可．
20．如图，在和中，边，相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠F，
∵∠B=55°，∠F=100°，即∠ACB=100°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=25°，
∵AB∥DE，
∴∠CHE=∠A=25°．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据BE=CF以及线段的和差关系可得BC=EF，由已知条件可知AB=DE，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ACB=∠F=100°，利用内角和定理可得∠A的度数，由平行线的性质可得∠CHE=∠A，据此解答.
21．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠1＝∠2，AE＝AC.
（1）在不添加任何字母的情况下，请再补充一个条件，使得△ABC≌△ADE，你补充的条件是 （至少写出两个可行的条件）；
（2）请你从所给条件中选一个，使△ABC≌△ADE，并证明.
【答案】（1）∠B=∠ADE；BC=DE
（2）解：证明当∠B=∠ADE时，△ABC≌△ADE，理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠E+∠AOE=∠C+COD，
∵∠AOE=∠COD，
∴∠E=∠C，
在△BAC和△DAE中
∵ ..
∴△ABC≌△ADE（AAS）.
【解析】【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠E+∠AOE=∠C+COD，
∵∠AOE=∠COD，
∴∠E=∠C，
又∵AE=AC，
∴当∠B=∠ADE时，△ABC≌△ADE（AAS）；
当BC=DE时，△ABC≌△ADE（SAS）；
故答案为：∠B=∠ADE；BC=DE；
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进一步得出答案即可；（2）从（1）中选取一个条件，根据全等三角形判定定理进一步证明即可.
22．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．
（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．
（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．
【答案】（1）解：补全示意图如图所示，
（2）解：∵DE⊥EF，BD⊥AC，
∴∠DEF＝∠ADB＝90°．
∵△ABD与△DEF全等，
∴AB＝DF，
又∵AD＝FE，
∴∠ABD＝∠FDE，
∴BD＝DE．
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．
∴∠FDE＝60°．
∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，
∵∠AFD＝40°，
∴∠BDF＝20°．
∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠BED＝ （180°﹣∠BDE）＝50°．
在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．
【解析】【分析】（1）根据垂直画出图形即可得出结论；（2）先根据两三角形全等，判断出AB＝DF，进而判断出BD＝DE，再求出∠FDE＝60°，进而利用三角形的外角的性质求出∠BDE＝80°，进而求出∠DBE＝∠BED＝50°，即可得出结论．
23．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）证明：
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）①利用“一线三等角”证明即可；
②根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用“一线三等角”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
24．如图，AC∥BD，连接，交于点O，若O为中点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，若的长是偶数，则长为 ．
【答案】（1）证明：∵AC∥BD，∴∠1=∠2，∵O是BC的中点，∴CO=BO，∴在△AOC和△DOB中，，∴△AOC≌△DOB（ASA）．
（2）4
【解析】【解答】解：（2）由（1）知△AOC≌△DOB，∴BD=AC=4，又AB=2，∴2＜AD＜6（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），∵AD的长是偶数，∴AD=4．
【分析】（1）利用全等三角形的判定证明即可；
（2）先求出BD=AC=4，再利用三角形的三边关系计算求解即可。
25．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
【答案】（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACD和△BCD中 ，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC＝BC；
（2）解：由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，
∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如图所示：
∵∠ACD＝∠BCD，
∴DO＝DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中 ，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO＝EN．
在△DOC和△DNC中，
∴△DOC≌△DNC（AAS），
∴OC＝NC；
∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．
【解析】【分析】（1）由题意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC＝BC；（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的长．
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