人教新课标A数学必修一 3.1函数与方程质量检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A数学必修一 3.1函数与方程质量检测 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 452.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-07-29 10:14:13 | ||
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文档简介
3.1函数与方程
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，则的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
2．关于x的方程，在上有解,则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是函数的两个零点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．方程至少有一个负实根的重要条件是（ ）
A． B． C． D．或
5．函数是定义在上的奇函数，当时，则方程在上的所有实根之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．已知函数，且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
7．设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．已知函数，则函数的所有零点之和是（ ）
A． B． C． D．
9．设的零点为，函数的零点为，若，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的零点依次为，则从大到小的顺序为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数有两个零点，，则的取值范围是
14．已知函数，若有四个零点，则实数的取值范围是______.
15．已知函数是上的奇函数，对恒有，且当时，，则①___________.②函数的零点个数是___________.
16．设定义域为的函数，若关于的方程
有个不同的实数解，则的值为______.
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解方程．
18．（本小题满分12分）关于x的二次方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
19．已知函数
(Ⅰ)若函数无零点，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若函数在有且仅有一个零点，求实数的取值范围．
20．已知函数，，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2.
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.
21．已知函数，是常数．
（1）若，方程 有两解，求的值．
（2）是否存在常数，使对任意恒成立？若存在，求常数的取值范围；若不存在，简要说明理由．
22．已知，.
（1）若方程有三个解，试求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使函数的定义域与值域均为？若存在，求出所有的区间，若不存在，说明理由.
3.1函数与方程
参考答案及解析
1．B【解析】因为即所以的零点所在区间为，故选B.
2．C【解析】当时，要使有解，的值域必须为，即，解不等式可得或，故选C.
3．C【解析】因为函数在和是上单调递增，由题意知，，又，故选C
4．B 【解析】当时，得到符合题意.当时，如果有一个负根，则如果方程有两个负根，则综上故选B.
5．C【解析】由题意可知，当时，由奇函数性质可知，的所有实根之和为，当时，,由得，当当时，,方程无解,所以在区间，方程的所有实根之和为．
6．B【解析】设，则当时，有，表示单位圆位于轴上方的部分; 由可得，表示过点，斜率为的直线.作出的图象，如下图所示.要使函数有两个不同的零点，则的图象与直线总有两个交点.由图象可知，切线与函数图象有且只有两个交点，当切线绕点按逆时针方向旋转到的过程中与函数图象有三个交点，从已知旋转到与轴重合时，直线与函数图象总有两个交点.所以的取值范围是或，由直线与圆相切可知,由斜率公式可得，所以或，故选B.
7．B【解析】方程的解等价于的零点.由于在上连续且单调递增，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B．
8．B【解析】由题意得，因此，即，两者之和为，选B.
9．B【解析】由题意得，函数，可知，，因为的零点为，所以，又的零点，所以，所以不成立．的零点，所以，所以，满足题意；的零点，所以，所以不成立；的零点，所以，所以不成立，故选B．
10．A【解析】因为恒大于，∴的零点；由，得，∴由的零点；由，得，∴的零点，∴，故选A．
考点：函数零点的概念及应用．
11．B
【解析】函数的图象如图所示，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴的取值范围是．故选B．
12．D【解析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k过点（2，1）之间即可．
∵函数，∴函数的图象如下图所示：
∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（-1，0）点，
若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点，
当y=kx+k过（2，1）点时，，
当y=kx+k过（3，1）点时，，
故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是，
故选D.
13．2【解析】设，作出函数的图象，由图象可知，当时，函数图象有两个交点，当时，函数图象有个交点，当时，函数图象有个交点，当时，函数图象有两个交点，当，函数图象无交点．要使原方程有个不同的实数根，则要求对应方程中的两个根或，且，即，解得
当时，它有三个根，∴，∴或（舍去），∴．故选A．
14．【解析】由题意得，半圆
和直线有两个交点，又直线过定点，如图：
当直线在位置时，斜率．
当直线和半圆相切时，由半径 解得，故实数的取值范围是
又，则由，两边平方，整理得代入上式，结合，可得的取值范围是
15．【解析】由题意得，函数，所以，作出的图象，要使得与有四个不同的交点，所以.
16．① ，②【解析】
因为恒有，且是上的奇函数，所以有，即函数的最小正周期为,所以有；函数的零点即方程的根，也即函数图象的交点，根据函数的图象可知交点个数为个.
17．【解析】因为所以
增根未舍扣2分
18．【解析】解法一 设，，
①若在区间上有一解，∵，则应有，
又∵，∴．
②若在区间上有两解，则
，∴，∴，∴．
由①②可知的取值范围是．
方法二 显然不是方程的解，
时，方程可变形为，又∵在上单调递减，上单调递增，
∴在的取值范围是，∴，∴，
故的取值范围是．
19．【解析】(Ⅰ) 函数无零点，即=0，也就是无解，无解或x=0,1是其根。
所以 ，或m－2=0，或－1+1+m－2=0，
即或 ； ……6分
(Ⅱ) 函数在有且仅有一个零点，所以或，或有一根为2，另一根在（－2,2）解得，或 …… 12分
20．【解析】（1）由，即，，
得，∵不等式的整数解为，∴，解得，
又∵不等式仅有一个整数解，∴；
（2）函数的图象恒在函数的上方，故，
∴对任意恒成立，设，
则，则在区间上是减函数，
在区间上是增函数，∴当时，取得最小值，
故，∴实数的取值范围是，
（或者因为，故）.
21．【解析】（1）时，，其图象如下图，当=时，直线与函数的图象有两个交点，即方程 有两解；
（2）即（＊）
时，（＊）等价于，对任意恒成立．
时，（＊）等价于，即，，等号当且仅当时成立，，在单调递增，，所以．
时，（＊）等价于，即或，
，等号当且仅当即时成立，所以，在时的取值范围为，所以恒成立的的解集为空集．
所以，常数的取值范围为
22．【解析】（1）若方程有三个解，
当时，方程成立，
即当是方程的一个根，
当时，等价为方程有两个不同的根，即，
设，
则，
作出函数的图象如图：
则当时，有两个不同的交点，
即此时有两个非零的根，有三个解，
综上.
（2）作出函数的图象如图：
则函数的值域为，
若使函数的定义域与值域均为，
则，且至少有两个根.
当时，即，
得或，
当时，即，
得或，
所以，区间可以为，
由图形可知，不成立，
故存在，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件.
，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件.
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，则的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
2．关于x的方程，在上有解,则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是函数的两个零点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．方程至少有一个负实根的重要条件是（ ）
A． B． C． D．或
5．函数是定义在上的奇函数，当时，则方程在上的所有实根之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．已知函数，且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
7．设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．已知函数，则函数的所有零点之和是（ ）
A． B． C． D．
9．设的零点为，函数的零点为，若，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的零点依次为，则从大到小的顺序为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数有两个零点，，则的取值范围是
14．已知函数，若有四个零点，则实数的取值范围是______.
15．已知函数是上的奇函数，对恒有，且当时，，则①___________.②函数的零点个数是___________.
16．设定义域为的函数，若关于的方程
有个不同的实数解，则的值为______.
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解方程．
18．（本小题满分12分）关于x的二次方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
19．已知函数
(Ⅰ)若函数无零点，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若函数在有且仅有一个零点，求实数的取值范围．
20．已知函数，，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2.
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.
21．已知函数，是常数．
（1）若，方程 有两解，求的值．
（2）是否存在常数，使对任意恒成立？若存在，求常数的取值范围；若不存在，简要说明理由．
22．已知，.
（1）若方程有三个解，试求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使函数的定义域与值域均为？若存在，求出所有的区间，若不存在，说明理由.
3.1函数与方程
参考答案及解析
1．B【解析】因为即所以的零点所在区间为，故选B.
2．C【解析】当时，要使有解，的值域必须为，即，解不等式可得或，故选C.
3．C【解析】因为函数在和是上单调递增，由题意知，，又，故选C
4．B 【解析】当时，得到符合题意.当时，如果有一个负根，则如果方程有两个负根，则综上故选B.
5．C【解析】由题意可知，当时，由奇函数性质可知，的所有实根之和为，当时，,由得，当当时，,方程无解,所以在区间，方程的所有实根之和为．
6．B【解析】设，则当时，有，表示单位圆位于轴上方的部分; 由可得，表示过点，斜率为的直线.作出的图象，如下图所示.要使函数有两个不同的零点，则的图象与直线总有两个交点.由图象可知，切线与函数图象有且只有两个交点，当切线绕点按逆时针方向旋转到的过程中与函数图象有三个交点，从已知旋转到与轴重合时，直线与函数图象总有两个交点.所以的取值范围是或，由直线与圆相切可知,由斜率公式可得，所以或，故选B.
7．B【解析】方程的解等价于的零点.由于在上连续且单调递增，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B．
8．B【解析】由题意得，因此，即，两者之和为，选B.
9．B【解析】由题意得，函数，可知，，因为的零点为，所以，又的零点，所以，所以不成立．的零点，所以，所以，满足题意；的零点，所以，所以不成立；的零点，所以，所以不成立，故选B．
10．A【解析】因为恒大于，∴的零点；由，得，∴由的零点；由，得，∴的零点，∴，故选A．
考点：函数零点的概念及应用．
11．B
【解析】函数的图象如图所示，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴的取值范围是．故选B．
12．D【解析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k过点（2，1）之间即可．
∵函数，∴函数的图象如下图所示：
∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（-1，0）点，
若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点，
当y=kx+k过（2，1）点时，，
当y=kx+k过（3，1）点时，，
故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是，
故选D.
13．2【解析】设，作出函数的图象，由图象可知，当时，函数图象有两个交点，当时，函数图象有个交点，当时，函数图象有个交点，当时，函数图象有两个交点，当，函数图象无交点．要使原方程有个不同的实数根，则要求对应方程中的两个根或，且，即，解得
当时，它有三个根，∴，∴或（舍去），∴．故选A．
14．【解析】由题意得，半圆
和直线有两个交点，又直线过定点，如图：
当直线在位置时，斜率．
当直线和半圆相切时，由半径 解得，故实数的取值范围是
又，则由，两边平方，整理得代入上式，结合，可得的取值范围是
15．【解析】由题意得，函数，所以，作出的图象，要使得与有四个不同的交点，所以.
16．① ，②【解析】
因为恒有，且是上的奇函数，所以有，即函数的最小正周期为,所以有；函数的零点即方程的根，也即函数图象的交点，根据函数的图象可知交点个数为个.
17．【解析】因为所以
增根未舍扣2分
18．【解析】解法一 设，，
①若在区间上有一解，∵，则应有，
又∵，∴．
②若在区间上有两解，则
，∴，∴，∴．
由①②可知的取值范围是．
方法二 显然不是方程的解，
时，方程可变形为，又∵在上单调递减，上单调递增，
∴在的取值范围是，∴，∴，
故的取值范围是．
19．【解析】(Ⅰ) 函数无零点，即=0，也就是无解，无解或x=0,1是其根。
所以 ，或m－2=0，或－1+1+m－2=0，
即或 ； ……6分
(Ⅱ) 函数在有且仅有一个零点，所以或，或有一根为2，另一根在（－2,2）解得，或 …… 12分
20．【解析】（1）由，即，，
得，∵不等式的整数解为，∴，解得，
又∵不等式仅有一个整数解，∴；
（2）函数的图象恒在函数的上方，故，
∴对任意恒成立，设，
则，则在区间上是减函数，
在区间上是增函数，∴当时，取得最小值，
故，∴实数的取值范围是，
（或者因为，故）.
21．【解析】（1）时，，其图象如下图，当=时，直线与函数的图象有两个交点，即方程 有两解；
（2）即（＊）
时，（＊）等价于，对任意恒成立．
时，（＊）等价于，即，，等号当且仅当时成立，，在单调递增，，所以．
时，（＊）等价于，即或，
，等号当且仅当即时成立，所以，在时的取值范围为，所以恒成立的的解集为空集．
所以，常数的取值范围为
22．【解析】（1）若方程有三个解，
当时，方程成立，
即当是方程的一个根，
当时，等价为方程有两个不同的根，即，
设，
则，
作出函数的图象如图：
则当时，有两个不同的交点，
即此时有两个非零的根，有三个解，
综上.
（2）作出函数的图象如图：
则函数的值域为，
若使函数的定义域与值域均为，
则，且至少有两个根.
当时，即，
得或，
当时，即，
得或，
所以，区间可以为，
由图形可知，不成立，
故存在，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件.
，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件.