人教新课标A数学必修一 3.2函数模型及其应用质量检测

3.2函数模型及其应用
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2·1·c·n·j·y
1．某食品的保鲜时间（单位：时间）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时
2．某人年月日到银行存入一年期定期存款元，若年利率，按复利计算,到期自动转存，那么到年月日可取回款为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B．
C． D．
3．甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。现有下列四种说法：
①前三年该产品产量增长速度越来越快；
②前三年该产品产量增长速度越来越慢；
③第三年后该产品停止生产；
④第三年后该产品年产量保持不变。
其中说法正确的是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
4．某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件元，年销售量为万件，从第二年开始，商场对种产品征收销售额的的管理费（即销售元要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的管理费不少于万元，则的最大值是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
5．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为（ ）【版权所有：21教育】
A．3000元 B．3800元 C．3818元 D．5600元
6．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）21*cnjy*com
（A）甲比乙先出发
（B）乙比甲跑的路程多
（C）甲、乙两人的速度相同
（D）甲比乙先到达终点
7．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）
A. B.
C. D.
8．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）【出处：21教育名师】
A．75，25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
9．将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为 21世纪教育网版权所有
A．每个70元 B．每个85元 C．每个80元 D．每个75元
10．某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0．4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0．5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0．7883元．下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有
参考数据：0．4883元/度2880度=1406．30元，
0．5383元/度(4800-2880)度+1406．30元=2439．84元．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
11．如下图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，是该沙漏中沙面下降的高度，则与下漏时间（分）的函数关系用图象表示应该是（ ）
12．如图所示，长和高都为40m的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位m）的取值范围（ ）
A．[10，30] B．[12，25] C．[15，20] D．[20，30]
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算，今有一弹簧原长90，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），则外力克服弹簧弹力所做的功为 （结果用小数表示）.
14．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为元，每桶水的进价是元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.【来源：21cnj*y.co*m】
请根据以上数据分析，这个经营部定价在 元/桶才能获得最大利润.
15．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为，则通过3块玻璃板后的强度变为________________．
16．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．21教育名师原创作品
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气的含药量（毫克）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米空气的含药量降到0．25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到进教室？
18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和万元.www.21-cn-jy.com
（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
19．我国加入后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量的关系近似的满足：，（其中为关税的税率，且，为市场价格，为正正常数），当时的市场供应量曲线如图：
（1）根据图象求的值；
（2）若市场需求量为，它近似满足，当时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值.www-2-1-cnjy-com
20．某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交元的管理费，预计当每件商品的售价为元时，一年的销售量为万件.
（1）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求出的最大值.
21．生产某种商品件，所需费用为元，而售出件种商品时，每件的价格为元，这里是常数）.
（1）写出出售这种商品所获得的利润元与售出这种商品的件数件的函数关系式；
（2）如果生产出来的这种商品都能卖完，那么当生产该商品件时，所获得利润最大，并且这时种商品的价格是元，求的值.21·cn·jy·com
22．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，设小正三角形的边长为，记.
（1）把表示成的函数，写出定义域；
（2）当为何值时，取最小值，并求的最小值.
3.2函数模型及其应用
参考答案及解析
1．C【解析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．2-1-c-n-j-y
y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．
当x=0时，eb=192，当x=22时e22k+b=48，
，
当x=33时，，
故选：C
2．B【解析】年月日本息和为；年月日本息和为；年月日本息和为；按此规律可知到年月日可取回款为，故选B.　　21*cnjy*com
3．D【解析】设产量与时间的关系为f（x），由图可知f（3）-f（2）＜f（2）-f（1），∴前三年该产品产量增长速度越来越慢．故①错误，②正确．由图可知从第四年开始产品产量不发生变化且f（4）≠0，故③错误，④正确
4．D【解析】由已知有，第二年的年销售收入为万元，商场对该商品征收的管理费记为，则，所以，化简得，所以，故得最大值为，选D.
5．B【解析】假设个人稿费为元，所缴纳税费为元，由已知条件可知的函数，且满足共纳税元，所以有，故本题的正确选项为B.
6．D【解析】由图，甲和乙所走的路程相同又同时出发，
但甲用时间少，即甲的速度比乙快．
7．D【解析】根据函数的图像知，选项D中函数的函数值随着自变量的变化增加的比较快，不符合题意.故选D.
8．D【解析】
已知，均为正常数，从函数的角度思考，函数过点，，显然，把两点坐标代入函数的解析式可得，即；故选D．
9．A【解析】设售价应定为元，则销售量就减少个可获得利润，
当时，取得最大值9000，所以为了赚得最大利润，售价应定为每个70元．
10．B．【解析】①错，当用电量为超过2880度至4800度之间时，不是所有的单价都是0．5383元，只是超出2800的部分单价为0．5383，不超过2800的部分单价还是0．4883元。②③都正确．
11．B【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B．
12．A【解析】设内接矩形的高为，面积为．
， ，
，即，解得．故A正确．
13．【解析】由题目条件知把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内）需要的力，从而外力克服弹簧弹力所做的功为，故答案填.21cnjy.com
14．.【解析】设每桶水的价格为元，公司日利润元，则：,∵，∴当时函数有最大值，因此，每桶水的价格为元，公司日利润最大．
15．0．729a【解析】光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，即强度变为原来的0．9，则通过3块玻璃板后强度变为21教育网
16．①④【解析】∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．
∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，
∴，
当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；
②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；
③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，
故正确的结论的序号为：①④，
故答案为：①④．
17．【解析】（1）从图中可以看出线段的端点分别为当时，因为室内每立方米空气的含药量（毫克）与时间（小时）成正比.设图象过点则
点也在上，故，当时，；
故
（2）显然，设，
得
，
故从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到进教室。
18．【解析】（1）设两类产品收益与投资的函数分别为，，由已知得，，所以，.
（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为（）万元.
依题意得：，令，则.所以当，即万元时，收益最大，万.
19．【解析】（1）由图象知函数图象过，∴，
得，解得；
（2）当时，，即，
化简得：，
令，∴，
设，，对称轴为，
∴，所以，当时，取到最大值，
即，解得，即税率的最小值为.
答：税率的最小值为.
20．【解析】（1）由题得该连锁分店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为
；
（2）
令，得
①当，即时，，在上单调递减，
故
②当，即时，上单调递增；在上单调递减
故
21．【解析】（1）由已知，售出这种商品件时，所需费用为元，
售出收入得为元，，
即.
（2）由已知当件时，所得利润最大，且每件商品售出的价格为元，
,解得.
22．【解析】（1）设剪成的小正三角形的边长为，
则.
（2）令，
则
故当时，的最小值是.