2.3.2 多项式 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.掌握多项式的次数、项与项数以及整式的概念，明确多项式与单项式之间的关系.
2.会把一个多项式按某个字母升幂排列或降幂排列.
【学习过程】
复习回顾
1. 什么叫单项式？
2. 什么是单项式的系数和次数？完成下列表格：
3. 列代数式：
（1）若三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的周长是________；
（2）某班有男生x人，女生21人，这个班学生一共有______人；
（3）如图，阴影部分的面积为 .
任务一：多项式的有关概念
观察上面得到的式子，它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
多项式的定义：几个 的和叫做多项式.
其中，每个 叫做多项式的项， 的项叫做常数项.
说出多项式 的项.
多项式的项数：一个多项式含有几项，就叫做几项式.
多项式的次数：多项式中， 的次数，就是这个多项式的次数.
如：多项式 是 次 项式.
整式的定义： 与 统称整式.
练一练 下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
例1 指出下列多项式的项和次数：（1）；（2）.
例2 指出下列多项式是几次几项式：（1）；（2）.
【即时测评】
1.多项式x+y﹣z是单项式_____，_____，_____的和，它是_____次_____项式.
2.多项式3m3﹣2m﹣5+m2 的常数项是_____，一次项是_____，二次项的系数是_____.
3.填表：
评价任务一
得分：
任务二：多项式的升幂排列与降幂排列
对于多项式有多种排列方式，若按字母x的指数的大小顺序来排列，有两种方式：
升幂排列：把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多
项式按这个字母的升幂排列.即：.
降幂排列：把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.即：.
例3 把多项式按r的升幂排列.
例4 把多项式重新排列：
（1）按a的升幂排列； （2）按a的降幂排列.
【即时测评】
4. 将多项式 x3﹣5xy2﹣7y3+8x2y按要求重新排列：
（1）按x的升幂排列；
（2）按y 的升幂排列.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1.下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
3x，2x﹣1，，﹣ab，﹣5，，3m﹣4n+m2n．
2. 多项式2x2y﹣3xy﹣1的次数是 ，常数项是 ，二次项的系数是 ．
3. 多项式xm+（m+n）x2﹣3x+5是关于x的三次四项式，且二次项系数是﹣2，则nm= .
4.把多项式4x﹣5x3+7﹣3x2按字母 x 降幂排列为 ．
5.已知整式（a﹣1）x3﹣2x﹣（a+3）．
（1）若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项；
（2）若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项．
参考答案
即时测评
1. x y ﹣z 一 三
2.﹣5 ﹣2m 1
3.
4.解：（1）按 x 的升幂排列为：﹣7y3﹣5xy2+8x2y+x3；
（2）按 y 的升幂排列为：x3+8x2y﹣5xy2﹣7y3.
当堂训练
单项式：3x，﹣ab，﹣5；多项式：2x-1，，3m﹣4n+m2n；
整式：3x，﹣ab，﹣5，2x﹣1，，3m﹣4n+m2n.
2.3 ﹣1 ﹣3 3. ﹣125
4. ﹣5x3﹣3x2+4x+7
5. 解：（1）若它是关于x的一次式，则 a﹣1=0，
所以 a=1，常数项为﹣（a+3）=﹣4；
（2）若它是关于x的三次二项式，则a﹣1≠0，且a+3=0，
所以 a =﹣3，所以最高次项为﹣4x3．
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新课导入
1. 什么叫单项式？
2. 什么是单项式的系数和次数？完成下列表格：
回顾与思考
由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
新课导入
单项式 ﹣b 8a2b ﹣5
系数
次数
﹣1
1
8
3
5
﹣5
0
（1）若三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的周长是__________；
（2）某班有男生x人，女生21人，这个班学生一共有______人；
（3）如图，阴影部分的面积为 .
a+b+c
(x+21)
3. 列代数式：
a
2r
2ar ﹣πr2
新课导入
讲授新知
它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
单项式
单项式
+
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
a+b+c
x+21
讲授新知
2ar ﹣πr2
多项式的有关概念
2ar ﹣πr2
1.几个单项式的和叫做多项式；
2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，
不含字母的项叫做常数项
3.一个多项式含有几项，就叫做几项式.
4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数
多项式：
常数项
次数
讲授新知
多项式的有关概念
三次三项式
讲授新知
整式的概念
单项式与多项式统称整式.
练一练
下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
判断一个式子是单项式还是多项式，首先判断它是否是整式，若分母中含字母，则一定不是整式，也不可能是单项式或多项式．
单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算，整式中一般含加减运算的是多项式，不含加减运算的是单项式．
讲授新知
方法点拨
例1 指出下列多项式的项和次数：
（1）a3﹣a2b+ab2﹣b3； （2）3n4﹣2n2+1.
解：（1）多项式a3﹣a2b+ab2﹣b3的项有a3、﹣a2b、ab2、﹣b3，次数是3；
（2）多项式3n4-2n2+1的项有3n4、﹣2n2、1，次数是4.
范例应用
注意：（1）多项式的各项应包括它前面的符号；
（2）多项式没有系数，但每一项有系数，每一项的系数包括前面的符号；
（3）多项式的次数先确定各项(单项式)的次数，然后找次数最高的.
例2 指出下列多项式是几次几项式：
（1）x3﹣x+1;
（2）x3﹣2x2y2+3y2.
解：（1）x3﹣x+1是三次三项式;
（2）x3﹣2x2y2+3y2是四次三项式.
范例应用
1.多项式x+y﹣z是单项式 , ,_____的和，它是_____次_____项式.
2.多项式3m3﹣2m﹣5+m2 的常数项是_____，
一次项是_____，二次项的系数是_____.
x
y
﹣ z
一
三
﹣5
﹣2m
1
即时测评
即时测评
3.填表：
2x，﹣3
﹣3
2x
1
一次二项式
3x，2yz2，4
4
2yz2
3
三次三项式
﹣2x，5xy
0
5xy
2
二次二项式
问题 运用加法交换律，任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到哪些不同的排列方式？
x2+x+1
x2+1+x
x+x2+1
x +1+x2
1+x2+x
1+ x+x2
思考 你认为哪几种比较有规律？为什么？
按字母x的指数的大小顺序来排列.
观察与思考
讲授新知
问题 类比降幂排列定义，你知道什么是升幂排列吗？
升幂排列就是一个多项式按照某个字母的指数从小到大的顺序进行排列.
降幂排列——
升幂排列——
降幂排列：一个多项式按照某个字母的指数从大到小的顺序进行排列，叫做降幂排列.
升幂排列与降幂排列
讲授新知
例3 把多项式 按r的升幂排列.
解：按r的升幂排列为：
范例应用
例4 把多项式a3+b2﹣3a2b﹣3ab3重新排列：
（1）按a的升幂排列；
（2）按a的降幂排列.
解：（1）按a的升幂排列为：
b2﹣3ab3﹣3a2b+a3;
（2）按a的降幂排列为：
a3﹣3a2b﹣3ab3+b2.
思考 你能将这个多项式按b的升（或降）幂排列吗？
此时不考虑b的指数
范例应用
解：（1）按b的升幂排列为：
a3﹣3a2b+b2﹣3ab3;
（2）按b的降幂排列为：
﹣3ab3+b2 ﹣3a2b+a3.
1.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动 ；
2.含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列.
总结归纳
范例应用
4. 将多项式 x3﹣5xy2﹣7y3+8x2y按要求重新排列：
（1）按 x 的升幂排列；
（2）按 y 的升幂排列.
即时测评
解：（1）按 x 的升幂排列为：
﹣7y3﹣5xy2+8x2y+x3
（2）按 y 的升幂排列为：
x3+8x2y﹣5xy2﹣7y3
当堂训练
1. 下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
3x，2x-1， ，-ab，-5， -1，3m-4n+m2n．
2. 多项式2x2y﹣3xy﹣1的次数是 ，常数项是 ，二次项的系数是 ．
3. 多项式xm+（m+n）x2﹣3x+5是关于x的三次四项式，且二次项系数是﹣2，则nm= .
当堂训练
﹣125
3
﹣1
﹣3
4.把多项式4x﹣5x3+7﹣3x2按字母 x 降幂排列为 ．
当堂训练
5.已知整式（a﹣1）x3﹣2x﹣（a+3）．
（1）若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项；
（2）若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项．
﹣5x3﹣3x2+4x+7
解：（1）若它是关于 x 的一次式，则 a﹣1=0，
所以 a=1，常数项为﹣（a+3）=﹣4；
（2）若它是关于x的三次二项式，则a﹣1≠0，且a+3=0，
所以 a =﹣3，所以最高次项为﹣4x3．
课堂小结
次数:所有字母的指数的和.
系数：单项式中的数字因数.
（其中不含字母的项叫做常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数.
整式
项：式中的每个单项式叫多项式的项.
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题3.3 第 2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
