3.6.2 角的比较和运算 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.了解角的两种比较方法，会用尺规作图作一个角等于已知角.
2.理解角的和、差及角平分线的意义，会计算角的和、差.
【学习过程】
复习回顾
1.线段比较大小的方法有哪些？
2.度分秒的互化：(1) 57.32°=_____ _____′_____″；(2)17°6′36″=_____°.
任务一：比较角的大小
问题：类比线段长短的比较方法，你认为该如何比较两个角的大小？
思考：（1）角的大小与什么有关？
（2）用一副三角板，你可以画出哪些特殊的角
（3）你会用量角器画一个角等于已知角吗？说出你的步骤.
用尺规作图作一个角等于已知角：
例1 如图，已知∠α和∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β.
【即时测评】
1. 如图，已知∠α和∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠α﹣∠β.
评价任务一
得分：
任务二：角的加减运算
我们知道，角的单位之间是60进制，如何进行角度的加减计算呢？类比整数的加减，尝试进行下列计算：(1)34°34′＋21°51′； (2)180°﹣52°31′.
例2 计算：
(1)153°39′＋25°40′38″； (2)90°﹣37°24′38″；
(3)25°53′28″×5; (4)15°20′÷6.
【总结】角的加、减法的运算时，先从低位开始计算，度与度加减、分与分加减、秒与秒加减，满60进一，不够减时向上一位借1当60.
【即时测评】
2. 计算：
(1)56°18′＋72°48′； (2)131°28′﹣51°32′ 15″；
(3)12°30′ 22″×2; (4)59°45′÷5.
评价任务二
得分：
任务三：角的和差及角平分线
思考：图中有几个角？它们之间有什么关系？如何表示它们的关系呢？
例3 （1）如图，已知∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝_______；
（2）已知∠AOC＝60°，∠AOB＝30°，则∠BOC＝_______.
【即时测评】
3.如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是( )
A.∠AOD＞∠BOC B.∠AOD＜∠BOC
C.∠AOD＝∠BOC D.无法确定
4. 如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=120°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
类比线段的中点的定义，你可以给出角平分线的定义吗？
角平分线的定义 图形 几何语言
从一个角的顶点出发的一条______，把这个角分成两个______的角，这条______叫做这个角的平分线. 因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝∠BOC＝______∠AOB，∠AOB＝______∠BOC＝______∠AOC
由角平分线我们同样可以得到角的相等关系和倍分关系.
例4 如图，已知点O为直线AB上一点，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数．
【即时测评】
5.在下面的四个等式中，不能表示“OC是∠AOB的平分线”的是（ ）
A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC=∠AOB
C.∠AOB=2∠BOC D.∠AOC+∠BOC=∠AOB
6. 如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB等于_________.
评价任务三
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．70° C．110° D．145°
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则
∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
3. 根据图形填空．
（1）∠AOD＝________＋∠AOC＝∠DOB＋________；
（2）∠AOD－∠COD＝________．
4.填空：
（1）27°16'+72°44'=_______；（2）16°50'+84°32'=_______；
（3）80°﹣45°20'=_______； （4）54°26'﹣35°33'=_______．
5.比较大小：74.45°________74°45′(填“>”“<”或“＝”)．
6. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOE=144°，∠COD=25°，求∠AOB和∠BOD的度数.
参考答案
即时测评
1.见课件作图过程.
2.解：（1）56°18′＋72°48′=128°66′=129°6′；
（2）131°28′﹣51°32′ 15″=130°87′ 60″﹣51°32′ 15″=79°55′ 45″；
（3）12°30′ 22″×2=24°60′ 44″=25°44″；
（4）59°45′÷5=55°285′÷5=11°57′.
3.C 4.D 5.D 6.100°
当堂训练
C 2. D 3. (1)∠DOC ∠AOB (2)∠AOC
4.(1)100° (2)101°22′ (3)34°40′ (4)18°53′
5. ＜
6.解：∵OD是∠COE的平分线，∠COD=25°，∴∠COE=2∠COD=50°.
∵∠AOE=144°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=144°﹣50°=94°.
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOB＝∠AOC＝47°，
∠BOD=∠COD+∠BOC=25°+47°=72°．
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新课导入
复习回顾
1.线段比较大小的方法有哪些？
2.度分秒的互化：
(1) 57.32°=_____ _____′_____″；
(2)17°6′ 36″ = _____°.
新课导入
度量法、叠合法
57 19 12
17.11
讲授新知
问题 类比线段长短的比较方法，你认为该如何比较两个角的大小？
结论：
角的大小比较：度量法、叠合法
比较角的大小
讲授新知
叠合法结论
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
1.若射线O'C与射线OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.
2.若射线O'C在∠AOB外部，那么∠DO'C___∠AOB.
3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.
=
>
<
O'
C
D
讲授新知
思考： 1.角的大小与什么有关？
（2）用一副三角板，你可以画出哪些特殊的角
角的大小与两边张开的程度有关
讲授新知
含45°、45°和90°角
含30°、60°和90°角
可以画出15°、30°、45°、60°、75°等角
讲授新知
（3）你会用量角器画一个角等于已知角吗？说出你的步骤.
类比用量角器画角的方法，你能用直尺和圆规画一个角等于已知角吗？先独立思考，再阅读课本理解作图方法和原理.
讲授新知
画一个角等于已知角
尺规作图
讲授新知
画一个角等于已知角
尺规作图
步骤：
第一步：作射线O'A'；
O′
A′
第二步：以点O为圆心、适当长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D；
A
O
B
第三步：以点O'为圆心、线段OC长为半径作弧，交射线O'A'于点C'；
C
C′
D
D′
第四步：以点C'为圆心、线段CD长为半径作弧，交前一条弧于点D'；
第五步：经过点D'作射线O'B'.
∠A'O'B'就是所要求作的角.
例1 如图，已知∠α和∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β.
范例应用
α
β
步骤：
第一步：作射线BA；
B
A
第二步：以射线BA为一边作∠ABD=∠α；
D
第三步：以射线BC为一边在∠ABD的外部作∠DBC=∠β；
则∠ABC就是所要求作的角.
C
1. 如图，已知∠α和∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠α﹣∠β.
即时测评
α
β
步骤：
第一步：作射线BD；
B
D
第二步：以射线BD为一边作∠DBA=∠α；
第三步：以射线BD为一边在∠ABD的内部作∠DBC=∠β；
A
C
则∠ABC就是所要求作的角.
（1）34°34′＋21°51′；
（2）180°﹣52°31′.
解：(1)34°34′＋21°51′
＝55°85′
＝56°25′.
(2)180°﹣52°31′
＝179°60′﹣52°31′
＝127°29′.
角的加减运算
我们知道，角的单位之间是60进制，如何进行角度的加减计算呢？类比整数的加减，尝试进行下列计算：
度与度加、分与分加
满60进1
不够减
借1当60
讲授新知
例2 计算：
(1)153°39′＋25°40′38″； (2)90°－37°24′38″；
(3)25°53′28″×5; (4)15°20′÷6.
解：(1)153°39′＋25°40′38″
＝178°79′38″＝179°19′38″.
(3)25°53′28″×5
＝25°×5＋53′×5＋28″×5
＝125°＋265′＋140″＝129°27′20″.
(2)90°－37°24′38″
＝89°59′60″－37°24′38″＝52°35′22″.
范例应用
总结：在进行度、分、秒的加、减、乘、除运算时，要注意三点：①度、分、秒均是60进制的；②加、减法的运算，可以本着“度与度加减、分与分加减、秒与秒加减，不够减的时候借位”的原则；③乘、除法运算可以按分配律来进行，不够除可以把余数化为低位的再除．
解： (4)15°20′÷6
＝12°200′÷6＝12°÷6＋200′÷6
＝2°＋198′÷6＋2′÷6
＝2°＋33′＋120″÷6
＝2°33′20″.
范例应用
即时测评
2. 计算：
(1)56°18′＋72°48′； (2)131°28′﹣51°32′ 15″；
(3)12°30′ 22″×2; (4)59°45′÷5.
解：（1）56°18′＋72°48′=128°66′=129°6′；
（2）131°28′﹣51°32′ 15″=130°87′ 60″﹣51°32′ 15″
=79°55′ 45″；
（3）12°30′ 22″×2=24°60′ 44″=25°44″；
（4）59°45′÷5=55°285′÷5=11°57′.
思考：图中有几个角？它们之间有什么关系？如何表示它们的关系呢？
范例应用
角的和差
图中有3个角，分别是∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们之间的关系是：
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作____________________
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作_____________________
∠AOB=∠AOC－∠BOC
∠AOC=∠AOB+∠BOC
范例应用
例3 （1）如图，已知∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝_______；
（2）已知∠AOC＝60°，∠AOB＝30°，则∠BOC＝___________.
75°
30°或90°
（1）
分类讨论
3.如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是( )
A.∠AOD＞∠BOC B.∠AOD＜∠BOC
C.∠AOD＝∠BOC D.无法确定
C
即时测评
4. 如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=120°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．45°
C．50° D．60°
D
类比线段中点的定义，你可以给出角平分线的定义吗？
角平分线
讲授新知
如图，点C 把线段AB分成相等的两条线段AC和BC，点C 叫做线段AB的中点.
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
角平分线的定义
几何语言
O
B
A
C
讲授新知
角平分线
由角平分线我们同样可以得到角的相等关系和倍分关系.
因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB
或∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC
例4 如图，已知点O为直线AB上一点，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数．
范例应用
解：因为点O为直线AB上一点，所以∠AOC＋∠BOC＝180°.
又因为OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC.
所以∠MOC＋∠CON＝ (∠AOC＋∠BOC)＝ ×180°＝90°.
又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON，所以∠MON＝90°.
5.在下面的四个等式中，不能表示“OC是∠AOB的
平分线”的是（ ）
A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC= ∠AOB
C.∠AOB=2∠BOC D.∠AOC+∠BOC=∠AOB
6. 如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB等于_________.
D
即时测评
100°
当堂训练
1. 如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠COB
=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．70° C．110° D．145°
2.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如
果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
C
当堂训练
D
当堂训练
3. 根据图形填空．
（1）∠AOD＝________＋∠AOC＝∠DOB＋________；
（2）∠AOD－∠COD＝________．
4.填空：
（1）27°16'+72°44'=_______．
（2）16°50'+84°32'=_______
（3）80°﹣45°20'=_______．
（4）54°26'﹣35°33'=_______．
5.比较大小：74.45°________74°45′(填“>”“<”或“＝”)．
100°
101°22′
34°40′
18°53′
∠DOC
∠AOB
∠AOC
＜
6. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∠AOE=144°，∠COD=25°，求∠AOB和∠BOD的度数.
即时测评
解：∵OD是∠COE的平分线，∠COD=25°，
∴∠COE=2∠COD=50°.
∵∠AOE=144°，
∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=144°﹣50°=94°.
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOB＝ ∠AOC＝47°，
∠BOD=∠COD+∠BOC=25°+47°=72°．
课堂小结
角的比较
比较角的大小
角的平分线
叠合法
度量法
角的平分线的性质
角的计算
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题第 1,3,5题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
