4.1.1 对顶角 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.理解对顶角的概念，会识别对顶角.
2.探究并掌握对顶角的性质，能利用对顶角的性质进行简单的计算.
【学习过程】
任务一：对顶角及邻补角的概念
如图，两条直线AB和CD相交形成了四个角∠1、∠2、∠3和∠4，它们之间存在什么关系呢？
观察∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠1和∠4，它们有什么位置关系呢？
邻补角的定义：如果两个角既 又 ，那么这两个角互为邻补角.
2.观察∠1和∠3，∠2和∠4，它们有什么位置关系呢？
对顶角的定义：有 ，并且两边互为 ，这样的两个角叫做对顶角.
练一练
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
评价任务一
得分：
任务二：对顶角的性质
思考：（1）已知图中∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？你发现了什么？
你能说明具有这种关系的道理吗？
【归纳总结】对顶角的性质： .
例1 如图，直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°，求∠BED、∠AED、∠BEC的度数.
【即时测评】
1. 下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2. 如图，直线a，b，c交于点O，若∠1+∠2=70°，则∠3的度数为（ ）
A．35° B．70° C．100° D．110°
例2 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE＝30°，求∠AOC的度数．
【即时测评】
3. 如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE是∠BOD的平分线，已知∠AOD=110°，分别求
∠COB，∠AOC， ∠BOE，∠EOD的度数.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
2. 如图，AB、CD相交于O，∠EOB=90°，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠AOC与∠BOD是对顶角
B．∠AOC与∠COE互为余角
C．∠BOD与∠COE互为余角
D．∠COE与∠AOD互为补角
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD=110°，∠BOE=20°，则∠COE的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°，∠1=25°，则∠2的度数是_________.
5. 如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．
（1）若∠BOE=54°，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOE：∠BOC=2：5，求∠AOE的度数．
参考答案
即时测评
B 2. D
3. 解：因为∠AOD=110°，
所以∠COB=∠AOD=110°（对顶角相等），
所以∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣110°=70°.
所以∠DOB=∠AOC=70°（对顶角相等）.
又因为OE平分∠DOB，
所以∠BOE=∠EOD=35°.
当堂训练
D 2. D 3. B 4.50°
解：（1）因为∠COE=90°，所以∠DOE=90°.
因为∠BOE=54°，所以∠BOD=∠DOE﹣∠BOE=90°﹣54°=36°，
所以∠AOC=∠BOD=36°.
（2）设∠BOE=2x，∠BOC=5x，则∠COE=3x.
因为∠COE=90°，所以3x=90°，解得 x=30°，
所以∠BOE=2×30°=60°，
所以∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣60°=120°．
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新课导入
互余、互补的概念及性质.
复习回顾
新课导入
观察图片，说一说直线与直线的位置关系有几种情况？
情境引入
新课导入
讲授新知
问题1 如图，两条直线AB和CD相交形成了四个角∠1、∠2、∠3和∠4，它们之间存在什么关系呢？
邻补角的概念
讲授新知
A
B
C
D
O
1
2
3
4
∠1和∠2
∠2和∠3
∠3和∠4
∠1和∠4
互为补角
位置：相邻
邻补角：如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.
问题2 观察图中∠1和∠3，∠2和∠4，它们有什么位置关系呢？
对顶角的概念
讲授新知
A
B
C
D
O
1
2
3
4
有公共顶点
两边互为反向延长线
对顶角：像∠1和∠3这样，有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
∠2和∠4也是对顶角.
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
√
×
×
×
练一练
即学即练
【技巧归纳】1. 判断两个角是不是对顶角，要看它们的位置关系：有公共顶点，且两边互为反向延长线.
2. 对顶角是由两条相交直线构成的.
对顶角的性质
讲授新知
思考：（1）已知图中∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？你发现了什么？
（2）你能说明具有这种关系的道理吗？
∠2=180°﹣∠1=150°
∠3=180°﹣∠2=30°
∠4=180°﹣∠1=150°
发现：∠1=∠3 ∠2=∠4
由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，
根据同角的补角相等可得∠1＝∠3.
对顶角相等
讲授新知
想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？
对顶角相等
例1 如图，直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°，求∠BED、∠AED、∠BEC的度数.
解： 因为 ∠BED 与∠AEC是对顶角，
所以 ∠BED=∠AEC＝50°.
因为 ∠AED与∠AEC是邻补角，
所以 ∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣50°=130°，
范例应用
同理，∠BEC=∠AED=130°. (对顶角相等)
1. 下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2. 如图，直线a，b，c交于点O，若∠1+∠2=70°，则∠3的度数为（ ）
A．35° B．70°
C．100° D．110°
即时测评
B
D
例2 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE＝30°，求∠AOC的度数．
解：因为OE平分∠BOD，
∠DOE＝30°(已知)，
所以∠BOD＝2∠DOE＝60°.
又因为∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，
所以∠AOC＝60°(等量代换)．
范例应用
3. 如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE是∠BOD的平分线，已知∠AOD=110°，分别求∠COB，∠AOC， ∠BOE，∠EOD的度数.
即时测评
解：因为∠AOD=110°，
所以∠COB=∠AOD=110°（对顶角相等），
所以∠AOC=180°﹣∠AOD
=180°﹣110°=70°.
所以∠DOB=∠AOC=70°（对顶角相等）.
又因为OE平分∠DOB，
所以∠BOE=∠EOD=35°.
当堂训练
1. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
2. 如图，AB、CD相交于O，∠EOB=90°，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠AOC与∠BOD是对顶角
B．∠AOC与∠COE互为余角
C．∠BOD与∠COE互为余角
D．∠COE与∠AOD互为补角
D
当堂训练
D
3.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD=110°，∠BOE=20°，则∠COE的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°，∠1=25°，则∠2的度数是_________.
当堂训练
B
50°
5. 如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．
（1）若∠BOE=54°，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOE：∠BOC=2：5，求∠AOE的度数．
当堂训练
解：（1）因为∠COE=90°，所以∠DOE=90°.
因为∠BOE=54°，
所以∠BOD=∠DOE﹣∠BOE=90°﹣54°=36°，
所以∠AOC=∠BOD=36°.
（2）设∠BOE=2x，∠BOC=5x，则∠COE=3x.
因为∠COE=90°，所以3x=90°，解得 x=30°，
所以∠BOE=2×30°=60°，
所以∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣60°=120°．
课堂小结
课堂小结
对顶角
定义
具有相同的顶点，且两边互为反向延长线，这样的角叫做对顶角
性质
注意
1.相等的角不一定是对顶角；
2.有相同顶点的角不一定是对顶角；
3.两条直线相交才能形成对顶角
对顶角相等
邻补角：如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.
课后作业
基础题：1.课后练习 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
