湖南省益阳市沅江市新湾中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·沅江开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：方程左边不是整式，故不是一元二次方程；
B：方程左右两侧有两个未知数，故不是一元二次方程；
C：满足一元二次方程的定义，故是一元二次方程；
D：方程左侧含有两个未知数，故不是一元二次方程.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：含有1个未知数，且未知数的次数为2的整式方程，进行逐一判断即可.
2．（2024九上·沅江开学考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知，且k≠0，
即，
解得：且，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，一元二次方程的根的判别式大于等于零，同时还要保证二次项系数不为零，然后解不等式即可.
3．（2024九上·沅江开学考）如图，在一块长为米，宽为米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分即图中阴影部分改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求的值根据题意，下列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：把小路平移，如图所示，
设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意得：
故答案为：D.
【分析】根据题意表示出种草部分的长为，宽为，列出一元二次方程即可得解．
4．（2024九上·沅江开学考）抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意知抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∵、，
∴A点距离对称轴较近，
∴，
故答案为：C.
【分析】抛物线的开口向下，对称轴为y轴，根据二次函数性质可知，距离对称轴越近，函数值越大，据此可进行判断.
5．（2024九上·沅江开学考）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：
；；方程有两个相等的实数根；抛物线与轴的另一个交点是；当时，有其中正确个数是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=-2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4，0)
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线与×轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1，3)，B点(4，0)
∴当1故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题的知识对结论进行逐一判断，
①由抛物线的顶点坐标为(1，3)，知抛物线的对称轴为x=1，然后利用对称轴公式进行变形即可；
②根据开口方向确定a的正负，与y轴交点的位置确定c的正负，对称轴公式确定b的正负，进而判断abc的正负性；
③结合顶点坐标和一元二次方程与二次函数的关系，可知当x=1时y=3，从而确定一元二次方程根的情况；
④根据抛物线的对称性，与x轴的两个交点关于对称轴对称，可以确定与x轴的另一个交点坐标；
⑤结合图象，可知当16．（2024九上·沅江开学考）某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意，以点B为坐标原点，垂直平分AC的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：
∴，，
设截面抛物线的解析式为：．
将代入，得．
解得：．
∴．
将代入，得．
解得．
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】以点B为坐标原点，垂直平分AC的直线为y轴，建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出点E和点F的坐标，即可得到液面的宽．
7．（2024九上·沅江开学考）已知是方程的根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵是方程的根，
∴a2=2(a+1)，
∴原式=，
故答案为：B.
【分析】首先将代数式 化为最简分式，然后根据是方程的根，得到a2-2a-2=0，整体代入即可.
8．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数，当时，有最小值和最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：对于二次函数y=ax2-4ax+5(a>0)，根据对称轴公式，
这里b=-4a，a=a，则对称轴x=2，
∵a>0，
∴二次函数图象开口向上，在对称轴x=2处取得最小值，
当x=2时，y=a×22-4a×2+5=-4a+5，这是函数的最小值，
当x=0时，y=a×02-4a×0+5=5，
∵函数在对称轴x=2处取得最小值-4a+5，当0≤x≤m时，y的最大值为5(x=0时取得)，最小
值为-4a+5(x=2时取得)，
∴m的取值范围应该是2≤m≤4，
这样才能保证在0≤x≤m这个区间内，函数能取到最小值4a+5和最大值5，
故答案为：D.
【分析】对于二次函数 ，其对称轴为，在本题中先求出对称轴，再根据二次函数的性质确定y取最值时x的取值范围，从而确定m的取值范围。
9．（2024九上·沅江开学考）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：若，异号，则方程一定有实数根；若，则方程一定有实数根；若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：判断说法①：已知a，c异号，那么ac<0，则-4ac>0，
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，判别式△=b2-4ac，
∵任何数的平方b2≥0，又-4ac>0，
∴△=b2-4ac>0，
当△>0时，方程ax2+bx+c=0一定有两个不同的实数根，
∴说法①正确；
判断说法②：当b=a+c时，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
其判别式△=b2-4ac=(a+c)2-4ac，
将(a+c)2-4ac展开得a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2，
根据完全平方公式(a-c)2=a2-2ac+c2，所以△=(a-c)2，
∵任何数的平方都大于等于0，即(a-c)2≥0，也就是△≥0，
∴当△≥0时，方程ax2+bx+c=0一定有实数根，所以说法②正确；
判断说法③：若a=1，b=2，c=3，对于方程x2+2x+3=0，
其判别式△=22-4×1×3=4-12=-8<0。
这表明方程x2+2x+3=0没有实数根，而根与系数的关系是建立在方程有实数根的基础上的，
∴此时不能用根与系数的关系得出x1+x2=一2，x1x2=3，说法③错误。
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数关系对结论进行逐一判断即可，
①根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，即可判断△的正负性，进而判断方程根的情况；
② 根据 ，将△=b2-4ac变形，即可确定正负，进而判断方程根的情况；
③利用根与系数关系的前提是方程有两个实数根，即△大于等于0，据此进行判断.
10．（2024九上·沅江开学考）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：对于结论①：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根。
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，判别式△=b2-4ac，当方程有两个不同实数根时，
△>0，即b2-4ac>0，移项可得4ac∴结论①正确；
结论②：∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，
根据抛物线的对称性，知与x轴的另一个交点坐标为(3，0)
所以方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，结论②正确；
结论③：二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴公式为，
∵对称轴为直线x=1，所以，
∴b=-2a，2a+b=0，所以结论③正确；
结论④：由前面的分析可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1，0）和(3，0)，且抛物线开口向下，
∴当y>0时，图象在x轴上方，此时c的取值范围是-1结论⑤：∵抛物线对称轴为直线x=1，且开口向下，
∴当x>1时，y随的增大而减小；当0∴结论⑤错误.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象与性质对每个结论进行判断，
①根据图象可知抛物线与x轴有两个交点，故一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，进而 Δ>0，即可得到b2与4ac的大小关系；
②根据二次函数的对称性，对称轴为直线x=1，与x轴一个交点坐标为(-1，0)，则可知另一个交点坐标为(3，0)，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根即可确定；
③由图象知抛物线对称轴为x=1，根据对称轴公式，即可得到a和b的关系；
④由②知抛物线与x轴的两个交点坐标，因开口向下，所以结合图象可以确定x的取值范围；
⑤根据对称轴为x=1，结合图象进行判断即可.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（2024九上·沅江开学考）方程的一次项系数是 ．
【答案】-8
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的标准形式是ax2+bx十c=0(a≠0)，在这个方程中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，
在方程3x2-8x+1=0中，一次项是-8x，根据一次项系数的定义，x一次项前面的数字就是一次项系数，
所以一次项系数是-8，
故答案为：-8.
【分析】对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，b就是一次项系数，我们只需要在给定的方程3x2一8x+1=0中找到x一次项前面的系数即可.
12．（2024九上·沅江开学考）如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：直接具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为
【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵小球落地时高度h=0，已知h=24t一4t2，
∴我们得到方程0=24t一4t2，
解得t1=0，t2=6，
这里t=0表示小球刚被击打出去的时刻，而t=6表示小球落地的时刻，
∴小球从飞出到落地所用的时间就是落地时刻减去刚飞出时刻，即6-0=6(s)。
故答案为：6.
【分析】小球飞行高度h与飞行时间t的关系为二次函数 ，小球落地时高度h=0，我们通过求解h=0时t的值，再根据实际情况确定小球从飞出到落地所用的时间.
13．（2024九上·沅江开学考）如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 ．
【答案】3米
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为，
因为矩形长为33米宽为20米， 草坪的面积为510平方，
所以列方程可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故道路的宽为3米．
故答案为：3米．
【分析】设道路的宽为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2024九上·沅江开学考）抛物线的顶点坐标 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：对照抛物线的顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k），
在本题中抛物线的解析式为：，
得：h=3，k=6，
所以顶点坐标为：，
故答案为：.
【分析】 抛物线，根据顶点式的特点，找出顶点即可.
15．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数图象的顶点在轴上方，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解： 二次函数，
∴顶点坐标为(-1，a-1)，
∵图象在x轴上方，
∴顶点纵坐标大于零，即a-1>0，
解得：a>1，
故答案为：a>1.
【分析】将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，根据题意知图象在x轴上方，即是顶点纵坐标大于零，解之可得a的取值范围.
16．（2024九上·沅江开学考）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：对于抛物线与轴交于点，令x=0，y=3，
所以点C的坐标为(0，3)，
∵，若是以为底的等腰三角形，
∴点P在CD的垂直平分线上，即y=2，
当y=2时，-x2-2x+3=2，
解得，
∴点P的坐标为：或，
故答案为：或.
【分析】首先令x=0，求出点C的坐标，然后根据是以为底的等腰三角形，所以点P在垂直平分CD的直线上，因为点C，D均在y轴上，可以求出过点P的直线解析式，联立解析式即可求出点P坐标.
17．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数的部分图象如图所示，则 ．
【答案】-6
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数图象可知，对称轴为x=-1，与y轴交点为（0，3），
∴，
解得：b=-2，c=3，
∴bc=-2×3=-6，
故答案为：-6.
【分析】首先，根据二次函数图象的对称轴公式求出 b 的值，再将已知点代入函数解析式求出 c 的值，最后计算 bc 的值.
18．（2024九上·沅江开学考）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移个单位，向上平移个单位得到点为的顶点，作直线点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形设、、的图象为当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ．
【答案】或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：对于抛物线C1：y=x2，绕原点O顺时针旋转180°后，根据抛物线旋转的性质，x与y的符号都变为原来的相反数，所以C2的解析式为y=-x2，
将C2先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到C3的解析式为y=-(x-4)2+2，
对于抛物线y=-(x-4)2+2，顶点A的坐标为(4，2)，
情况一：当B与原点重合时
已知点Q(0，m)向上平移2个单位长度得到点B，此时B与原点重合，即m+2=0，解得m=-2，此时矩形不存在；
情况二：当点Q在C3与y轴的交点上时
对于C3：y=-(x-4)2+2，当x=0时，y=-(0-4)2+2=-16+2=-14，
即Q(0，-14)，此时矩形BQDC与图象G有三个公共点，
所以当m=-14时满足条件；
情况三：当m<-14时
通过分析图形可知，此时矩形BQDC与图象G有四个公共点，不符合题目要求；
情况四：当-14结合图形可以看出，此时矩形BQDC与图象G只有两个公共点，不符合题意；
情况五：当点D在C3上时
求直线OA的解析式：设直线OA的函数解析式为y=kx，把点A(4，2)的坐标代入y=kx，得：，
所以直线OA的函数解析式为，
因为点Q(0，)向上平移2个单位得到点B，所以CD=QB=2，
设，把点D坐标代入C3：y=-(x-4)2+2，
可得：，
解得，（舍去），
把代入，
可得即点Q的纵坐标为，
所以当时，矩形BQDC与图象G有四个公共点；当时，矩形BQDC与图象GC有三个公共点；
情况六：当-1通过对图形的分析可知，此时矩形BQDC与图象G有五个公共点；
情况七：当0≤m<2时
结合图形可得，此时矩形BQDC与图象G有四个公共点；
情况八：当m=2时
观察图形可知，此时矩形BQDC与图象G有三个公共点；
情况九：当m>2时
分析图形可知，比时矩形BQDC与图象G有两个公共点，
故答案为：或或.
【分析】本题需要先求出抛物线C2、C3的解析式以及顶点A的坐标，进而得到直线OA的解析式。然后根据点Q的位置变化，分多种情况讨论矩形BQDC与图象G的公共点个数，从而确定满足有三个公共点时m的取值范围。
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
19．（2024九上·沅江开学考）丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
【答案】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或舍去，
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，舍去，
所以铅球的落点与丁丁的距离为
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】通过已知的抛物线过出手点的坐标代入抛物线的解析式，求出k的值，再令抛物线的纵坐标为 0，求出横坐标，横坐标的值即为铅球落点与丁丁的距离（横坐标为正）.
四、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（2024九上·沅江开学考）解方程：x2 -8x+7=0．
【答案】解：x2- 8x+7= 0
(x-1)(x-7)=0
x-1=0或x-7=0，
解得：x1=1，x2=7．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
21．（2024九上·沅江开学考）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：设AB=x米，由题意可得： ，
∴ ，
解得： ，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时， ，
∴ ，
答：边AB的长为15米；
（2）解：由（1）可得： ，
化简得： ，
∴ ，
∴羊圈的总面积不能为500平方米．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意可得x(80-4x)=300，求出x的值，然后根据墙的最大可用长度为30米对x的值进行取舍；
（2）由（1）可得x(80-4x)=500，求解即可判断.
22．（2024九上·沅江开学考）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
【答案】解：设丝绸条带的宽度为，由题意得：
，
整理得：，
解得：， （不合题意，舍去），
答：丝绸条带的宽度为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设丝绸条带的宽度为，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可．
23．（2024九上·沅江开学考）已知关于x的一元二次方程x2+2x- k=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围：
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根，
【答案】（1）解：∵ 一元二次方程x2+2x- k=0有两个实数根，
∴ ≥0，
∴，
∴4+4k≥0，
∴k≥-1.
（2）解：∵ 方程有一个根为2，
∴把2代入 x2+2x- k=0 得，
4+4- k=0，
解得，k=8，
∴原方程为x2+2x- 8=0，
∴，
∴，
∴ 方程的另一根为-4.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程有两个实数根，得 ≥0，从而得关于k的不等式，解不等式即可得解.
（2）把2代入方程求出k的值，再把k的值代入方程得x2+2x- 8=0，利用因式分解法解方程，即可求解.
24．（2024九上·沅江开学考）如图，抛物线的图象与轴的交点为和，与轴交点为，与直线交点为和，且．
（1）求抛物线的解析式和值；
（2）在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折得一个“”形状的新图象如图，若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时的取值范围．
【答案】（1），
，
，点在的负半轴上，
，
把，分别代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得：
（2）存在．
在中，令，得，
解得：，，
，
如图，设直线与轴交于点，
则，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，如图，过点作轴于点，
，，
，
，即是等腰直角三角形，
，
，即是的中点，
，
点的横坐标为，
当时，，
；
当时，则，
，
；
综上所述，在直线上存在点使得是等腰直角三角形，点的坐标为或
（3），
抛物线的顶点为，沿轴翻折后的解析式为，
把代入，得，
解得：，
联立抛物线与直线得：，
整理得：，
当时，，
当直线与该新图象恰好有四个公共点时，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的对称变换；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）根据点D的坐标，得到OD的长，根据OA=OD，得到点A的坐标，然后将A，D的坐标代入抛物线解析式，得到a，c的值，进而得到抛物线解析式，把点A坐标代入直线解析式得到b的值；
（2）先求抛物线y1与x轴的另一个交点B，根据直线与y轴交点，得到∠BAC为45°，然后根据 是等腰直角三角形，分两种情况讨论，得到点P的坐标；
（3）先得到抛物线y1在x轴上方部分翻折后的图像，结合图象分析，直线y3与新图象有四个公共点时，得到n的取值范围.
25．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数．
（1）填表：
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象；
（3）由图象可知，当时，的取值范围是 直接写出结果
【答案】（1）3；0；-1；0；3
（2）画出函数的图象如下：
（3）或
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1） 已知二次函数，
当x=0时，y=3；
当x=1时，y=0；
当x=2时，y=-1；
当x=3时，y=0；
当x=4时，y=3；
故答案为：3，0，-1，0，3.
【分析】（1）根据二次函数解析式，当x=0，1，2，3，4时，分别得到函数值即可；
（2）根据表格里面的数据，得到二次函数上的5个点，然后在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线连接即可；
（3）观察图象，y>0时，图象位于x轴上方，进而可得x的取值范围.
26．（2024九上·沅江开学考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点的坐标及的面积．
【答案】（1）二次函数的图象与轴交于，两点，
，
此二次函数的解析式为
（2），
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可利用交点式设出函数解析式，进而得出解析式；
（2）将二次函数解析式化为顶点式可得到顶点坐标，再根据A、B两点坐标求出AB的长度，然后根据顶点坐标求出中AB边上的高，从而求出面积.
1 / 1湖南省益阳市沅江市新湾中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·沅江开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·沅江开学考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（2024九上·沅江开学考）如图，在一块长为米，宽为米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分即图中阴影部分改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求的值根据题意，下列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
4．（2024九上·沅江开学考）抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（ ）
A． B． C． D．无法判断
5．（2024九上·沅江开学考）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：
；；方程有两个相等的实数根；抛物线与轴的另一个交点是；当时，有其中正确个数是
A． B． C． D．
6．（2024九上·沅江开学考）某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·沅江开学考）已知是方程的根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数，当时，有最小值和最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·沅江开学考）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：若，异号，则方程一定有实数根；若，则方程一定有实数根；若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2024九上·沅江开学考）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（2024九上·沅江开学考）方程的一次项系数是 ．
12．（2024九上·沅江开学考）如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：直接具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为
13．（2024九上·沅江开学考）如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 ．
14．（2024九上·沅江开学考）抛物线的顶点坐标 ．
15．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数图象的顶点在轴上方，则实数的取值范围是 ．
16．（2024九上·沅江开学考）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
17．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数的部分图象如图所示，则 ．
18．（2024九上·沅江开学考）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移个单位，向上平移个单位得到点为的顶点，作直线点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形设、、的图象为当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
19．（2024九上·沅江开学考）丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
四、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（2024九上·沅江开学考）解方程：x2 -8x+7=0．
21．（2024九上·沅江开学考）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由．
22．（2024九上·沅江开学考）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
23．（2024九上·沅江开学考）已知关于x的一元二次方程x2+2x- k=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围：
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根，
24．（2024九上·沅江开学考）如图，抛物线的图象与轴的交点为和，与轴交点为，与直线交点为和，且．
（1）求抛物线的解析式和值；
（2）在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折得一个“”形状的新图象如图，若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时的取值范围．
25．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数．
（1）填表：
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象；
（3）由图象可知，当时，的取值范围是 直接写出结果
26．（2024九上·沅江开学考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点的坐标及的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：方程左边不是整式，故不是一元二次方程；
B：方程左右两侧有两个未知数，故不是一元二次方程；
C：满足一元二次方程的定义，故是一元二次方程；
D：方程左侧含有两个未知数，故不是一元二次方程.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：含有1个未知数，且未知数的次数为2的整式方程，进行逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知，且k≠0，
即，
解得：且，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，一元二次方程的根的判别式大于等于零，同时还要保证二次项系数不为零，然后解不等式即可.
3．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：把小路平移，如图所示，
设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意得：
故答案为：D.
【分析】根据题意表示出种草部分的长为，宽为，列出一元二次方程即可得解．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意知抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∵、，
∴A点距离对称轴较近，
∴，
故答案为：C.
【分析】抛物线的开口向下，对称轴为y轴，根据二次函数性质可知，距离对称轴越近，函数值越大，据此可进行判断.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=-2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4，0)
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线与×轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1，3)，B点(4，0)
∴当1故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题的知识对结论进行逐一判断，
①由抛物线的顶点坐标为(1，3)，知抛物线的对称轴为x=1，然后利用对称轴公式进行变形即可；
②根据开口方向确定a的正负，与y轴交点的位置确定c的正负，对称轴公式确定b的正负，进而判断abc的正负性；
③结合顶点坐标和一元二次方程与二次函数的关系，可知当x=1时y=3，从而确定一元二次方程根的情况；
④根据抛物线的对称性，与x轴的两个交点关于对称轴对称，可以确定与x轴的另一个交点坐标；
⑤结合图象，可知当16．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意，以点B为坐标原点，垂直平分AC的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：
∴，，
设截面抛物线的解析式为：．
将代入，得．
解得：．
∴．
将代入，得．
解得．
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】以点B为坐标原点，垂直平分AC的直线为y轴，建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出点E和点F的坐标，即可得到液面的宽．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵是方程的根，
∴a2=2(a+1)，
∴原式=，
故答案为：B.
【分析】首先将代数式 化为最简分式，然后根据是方程的根，得到a2-2a-2=0，整体代入即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：对于二次函数y=ax2-4ax+5(a>0)，根据对称轴公式，
这里b=-4a，a=a，则对称轴x=2，
∵a>0，
∴二次函数图象开口向上，在对称轴x=2处取得最小值，
当x=2时，y=a×22-4a×2+5=-4a+5，这是函数的最小值，
当x=0时，y=a×02-4a×0+5=5，
∵函数在对称轴x=2处取得最小值-4a+5，当0≤x≤m时，y的最大值为5(x=0时取得)，最小
值为-4a+5(x=2时取得)，
∴m的取值范围应该是2≤m≤4，
这样才能保证在0≤x≤m这个区间内，函数能取到最小值4a+5和最大值5，
故答案为：D.
【分析】对于二次函数 ，其对称轴为，在本题中先求出对称轴，再根据二次函数的性质确定y取最值时x的取值范围，从而确定m的取值范围。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：判断说法①：已知a，c异号，那么ac<0，则-4ac>0，
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，判别式△=b2-4ac，
∵任何数的平方b2≥0，又-4ac>0，
∴△=b2-4ac>0，
当△>0时，方程ax2+bx+c=0一定有两个不同的实数根，
∴说法①正确；
判断说法②：当b=a+c时，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
其判别式△=b2-4ac=(a+c)2-4ac，
将(a+c)2-4ac展开得a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2，
根据完全平方公式(a-c)2=a2-2ac+c2，所以△=(a-c)2，
∵任何数的平方都大于等于0，即(a-c)2≥0，也就是△≥0，
∴当△≥0时，方程ax2+bx+c=0一定有实数根，所以说法②正确；
判断说法③：若a=1，b=2，c=3，对于方程x2+2x+3=0，
其判别式△=22-4×1×3=4-12=-8<0。
这表明方程x2+2x+3=0没有实数根，而根与系数的关系是建立在方程有实数根的基础上的，
∴此时不能用根与系数的关系得出x1+x2=一2，x1x2=3，说法③错误。
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数关系对结论进行逐一判断即可，
①根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，即可判断△的正负性，进而判断方程根的情况；
② 根据 ，将△=b2-4ac变形，即可确定正负，进而判断方程根的情况；
③利用根与系数关系的前提是方程有两个实数根，即△大于等于0，据此进行判断.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：对于结论①：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根。
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，判别式△=b2-4ac，当方程有两个不同实数根时，
△>0，即b2-4ac>0，移项可得4ac∴结论①正确；
结论②：∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，
根据抛物线的对称性，知与x轴的另一个交点坐标为(3，0)
所以方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，结论②正确；
结论③：二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴公式为，
∵对称轴为直线x=1，所以，
∴b=-2a，2a+b=0，所以结论③正确；
结论④：由前面的分析可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1，0）和(3，0)，且抛物线开口向下，
∴当y>0时，图象在x轴上方，此时c的取值范围是-1结论⑤：∵抛物线对称轴为直线x=1，且开口向下，
∴当x>1时，y随的增大而减小；当0∴结论⑤错误.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象与性质对每个结论进行判断，
①根据图象可知抛物线与x轴有两个交点，故一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，进而 Δ>0，即可得到b2与4ac的大小关系；
②根据二次函数的对称性，对称轴为直线x=1，与x轴一个交点坐标为(-1，0)，则可知另一个交点坐标为(3，0)，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根即可确定；
③由图象知抛物线对称轴为x=1，根据对称轴公式，即可得到a和b的关系；
④由②知抛物线与x轴的两个交点坐标，因开口向下，所以结合图象可以确定x的取值范围；
⑤根据对称轴为x=1，结合图象进行判断即可.
11．【答案】-8
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的标准形式是ax2+bx十c=0(a≠0)，在这个方程中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，
在方程3x2-8x+1=0中，一次项是-8x，根据一次项系数的定义，x一次项前面的数字就是一次项系数，
所以一次项系数是-8，
故答案为：-8.
【分析】对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，b就是一次项系数，我们只需要在给定的方程3x2一8x+1=0中找到x一次项前面的系数即可.
12．【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵小球落地时高度h=0，已知h=24t一4t2，
∴我们得到方程0=24t一4t2，
解得t1=0，t2=6，
这里t=0表示小球刚被击打出去的时刻，而t=6表示小球落地的时刻，
∴小球从飞出到落地所用的时间就是落地时刻减去刚飞出时刻，即6-0=6(s)。
故答案为：6.
【分析】小球飞行高度h与飞行时间t的关系为二次函数 ，小球落地时高度h=0，我们通过求解h=0时t的值，再根据实际情况确定小球从飞出到落地所用的时间.
13．【答案】3米
【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为，
因为矩形长为33米宽为20米， 草坪的面积为510平方，
所以列方程可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故道路的宽为3米．
故答案为：3米．
【分析】设道路的宽为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：对照抛物线的顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k），
在本题中抛物线的解析式为：，
得：h=3，k=6，
所以顶点坐标为：，
故答案为：.
【分析】 抛物线，根据顶点式的特点，找出顶点即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解： 二次函数，
∴顶点坐标为(-1，a-1)，
∵图象在x轴上方，
∴顶点纵坐标大于零，即a-1>0，
解得：a>1，
故答案为：a>1.
【分析】将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，根据题意知图象在x轴上方，即是顶点纵坐标大于零，解之可得a的取值范围.
16．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：对于抛物线与轴交于点，令x=0，y=3，
所以点C的坐标为(0，3)，
∵，若是以为底的等腰三角形，
∴点P在CD的垂直平分线上，即y=2，
当y=2时，-x2-2x+3=2，
解得，
∴点P的坐标为：或，
故答案为：或.
【分析】首先令x=0，求出点C的坐标，然后根据是以为底的等腰三角形，所以点P在垂直平分CD的直线上，因为点C，D均在y轴上，可以求出过点P的直线解析式，联立解析式即可求出点P坐标.
17．【答案】-6
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数图象可知，对称轴为x=-1，与y轴交点为（0，3），
∴，
解得：b=-2，c=3，
∴bc=-2×3=-6，
故答案为：-6.
【分析】首先，根据二次函数图象的对称轴公式求出 b 的值，再将已知点代入函数解析式求出 c 的值，最后计算 bc 的值.
18．【答案】或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：对于抛物线C1：y=x2，绕原点O顺时针旋转180°后，根据抛物线旋转的性质，x与y的符号都变为原来的相反数，所以C2的解析式为y=-x2，
将C2先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到C3的解析式为y=-(x-4)2+2，
对于抛物线y=-(x-4)2+2，顶点A的坐标为(4，2)，
情况一：当B与原点重合时
已知点Q(0，m)向上平移2个单位长度得到点B，此时B与原点重合，即m+2=0，解得m=-2，此时矩形不存在；
情况二：当点Q在C3与y轴的交点上时
对于C3：y=-(x-4)2+2，当x=0时，y=-(0-4)2+2=-16+2=-14，
即Q(0，-14)，此时矩形BQDC与图象G有三个公共点，
所以当m=-14时满足条件；
情况三：当m<-14时
通过分析图形可知，此时矩形BQDC与图象G有四个公共点，不符合题目要求；
情况四：当-14结合图形可以看出，此时矩形BQDC与图象G只有两个公共点，不符合题意；
情况五：当点D在C3上时
求直线OA的解析式：设直线OA的函数解析式为y=kx，把点A(4，2)的坐标代入y=kx，得：，
所以直线OA的函数解析式为，
因为点Q(0，)向上平移2个单位得到点B，所以CD=QB=2，
设，把点D坐标代入C3：y=-(x-4)2+2，
可得：，
解得，（舍去），
把代入，
可得即点Q的纵坐标为，
所以当时，矩形BQDC与图象G有四个公共点；当时，矩形BQDC与图象GC有三个公共点；
情况六：当-1通过对图形的分析可知，此时矩形BQDC与图象G有五个公共点；
情况七：当0≤m<2时
结合图形可得，此时矩形BQDC与图象G有四个公共点；
情况八：当m=2时
观察图形可知，此时矩形BQDC与图象G有三个公共点；
情况九：当m>2时
分析图形可知，比时矩形BQDC与图象G有两个公共点，
故答案为：或或.
【分析】本题需要先求出抛物线C2、C3的解析式以及顶点A的坐标，进而得到直线OA的解析式。然后根据点Q的位置变化，分多种情况讨论矩形BQDC与图象G的公共点个数，从而确定满足有三个公共点时m的取值范围。
19．【答案】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或舍去，
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，舍去，
所以铅球的落点与丁丁的距离为
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】通过已知的抛物线过出手点的坐标代入抛物线的解析式，求出k的值，再令抛物线的纵坐标为 0，求出横坐标，横坐标的值即为铅球落点与丁丁的距离（横坐标为正）.
20．【答案】解：x2- 8x+7= 0
(x-1)(x-7)=0
x-1=0或x-7=0，
解得：x1=1，x2=7．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设AB=x米，由题意可得： ，
∴ ，
解得： ，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时， ，
∴ ，
答：边AB的长为15米；
（2）解：由（1）可得： ，
化简得： ，
∴ ，
∴羊圈的总面积不能为500平方米．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意可得x(80-4x)=300，求出x的值，然后根据墙的最大可用长度为30米对x的值进行取舍；
（2）由（1）可得x(80-4x)=500，求解即可判断.
22．【答案】解：设丝绸条带的宽度为，由题意得：
，
整理得：，
解得：， （不合题意，舍去），
答：丝绸条带的宽度为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设丝绸条带的宽度为，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可．
23．【答案】（1）解：∵ 一元二次方程x2+2x- k=0有两个实数根，
∴ ≥0，
∴，
∴4+4k≥0，
∴k≥-1.
（2）解：∵ 方程有一个根为2，
∴把2代入 x2+2x- k=0 得，
4+4- k=0，
解得，k=8，
∴原方程为x2+2x- 8=0，
∴，
∴，
∴ 方程的另一根为-4.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程有两个实数根，得 ≥0，从而得关于k的不等式，解不等式即可得解.
（2）把2代入方程求出k的值，再把k的值代入方程得x2+2x- 8=0，利用因式分解法解方程，即可求解.
24．【答案】（1），
，
，点在的负半轴上，
，
把，分别代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得：
（2）存在．
在中，令，得，
解得：，，
，
如图，设直线与轴交于点，
则，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，如图，过点作轴于点，
，，
，
，即是等腰直角三角形，
，
，即是的中点，
，
点的横坐标为，
当时，，
；
当时，则，
，
；
综上所述，在直线上存在点使得是等腰直角三角形，点的坐标为或
（3），
抛物线的顶点为，沿轴翻折后的解析式为，
把代入，得，
解得：，
联立抛物线与直线得：，
整理得：，
当时，，
当直线与该新图象恰好有四个公共点时，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的对称变换；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）根据点D的坐标，得到OD的长，根据OA=OD，得到点A的坐标，然后将A，D的坐标代入抛物线解析式，得到a，c的值，进而得到抛物线解析式，把点A坐标代入直线解析式得到b的值；
（2）先求抛物线y1与x轴的另一个交点B，根据直线与y轴交点，得到∠BAC为45°，然后根据 是等腰直角三角形，分两种情况讨论，得到点P的坐标；
（3）先得到抛物线y1在x轴上方部分翻折后的图像，结合图象分析，直线y3与新图象有四个公共点时，得到n的取值范围.
25．【答案】（1）3；0；-1；0；3
（2）画出函数的图象如下：
（3）或
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1） 已知二次函数，
当x=0时，y=3；
当x=1时，y=0；
当x=2时，y=-1；
当x=3时，y=0；
当x=4时，y=3；
故答案为：3，0，-1，0，3.
【分析】（1）根据二次函数解析式，当x=0，1，2，3，4时，分别得到函数值即可；
（2）根据表格里面的数据，得到二次函数上的5个点，然后在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线连接即可；
（3）观察图象，y>0时，图象位于x轴上方，进而可得x的取值范围.
26．【答案】（1）二次函数的图象与轴交于，两点，
，
此二次函数的解析式为
（2），
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可利用交点式设出函数解析式，进而得出解析式；
（2）将二次函数解析式化为顶点式可得到顶点坐标，再根据A、B两点坐标求出AB的长度，然后根据顶点坐标求出中AB边上的高，从而求出面积.
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