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图形的相似 单元达标测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08
2．地图上两地间的图上距离为厘米，比例尺是，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A． B． C．1 D．1.5
4．如果 ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．2
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B的坐标为，平分交于点C，反比例函数的图象经过点A，C．若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于E，F，连结EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ）
A．一定相似 B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似 D．无法判断
7．如图，在 ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，P是叶脉AB的黄金分割点（），则（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分別在边AD，CD上，AF，BE相交于点.若，则的值是（ ）.
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 ∽ ，若周长比为4：9，则 ．
12．如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接，给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）.
13．在直角坐标系中，已知，过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，则点D的坐标为 ．
14．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ．
15．如图，在矩形中，若，则的长为 ．
16．如图，在边长为 的正方形 中，点Q是边 的中点，点P是边 上的一点，连接 ， ，且 ，则线段 的长为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值.
18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G．
（1）求证：△AED∽△ABC．
（2）若AG平分∠BAC，求证： ．
19．如图，菱形边长为4，对角线交于点，点为上一点，，过作交于点，交于点，取中点，连接并延长交于点.
（1）求的长度；
（2）求.
20．如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证： ABD∽ DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长.
21．中，，，，点P以的速度由B向A运动，同一时刻点Q、R分别从C、A以的速度向B、C运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止．运动时间为．
（1）t为何值时，？
（2）t为何值时，点P在的中垂线上？
（3）是否存在t值，使得？若存在求出t值，
22．如图，四边形 中 ，点F在 上，连 与 的延长线交于点G．
（1）求证： ；
（2）当点F是 的中点时，过F作 交 于点E，若 ， ，求 的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高线，BE平分∠ABC交AC于点 E，交CD于点F．求证：
（1）△ABE∽△CBF；
（2） ．
24．如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M ．
（1）① 根据题意，补全图形；
② 比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．
（2）过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．
25．如图，在 中，点D在 边上， .
（1）求证： ；
（2）若 求 的长.
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图形的相似 单元达标测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08
【答案】B
2．地图上两地间的图上距离为厘米，比例尺是，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】B
3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A． B． C．1 D．1.5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB= ，BC=2，
∴AC=
∴AO=
∵EO⊥AC，
∴∠AOE=∠ADC=90°，
又∵∠EAO=∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴
∴
解得AE=1.5.
故答案为：D.
【分析】证明△AEO∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
4．如果 ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴3a﹣3b= a，
∴2a=3b，即a= b，
∴ = = ．
故答案为：B．
【分析】根据可以得到3a﹣3b= a，化简可得a= b，最后代入计算即可。
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B的坐标为，平分交于点C，反比例函数的图象经过点A，C．若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于E，F，连结EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ）
A．一定相似 B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似 D．无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC，
∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°
∵点O为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC=AB=OB，∠ECO=∠B=45°
∵∠COE+∠COF=90°，∠COF+∠FOB=90°，
∴∠COE=∠FOB
在△COE和△BOF中
∴△COE≌△BOF（ASA）
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠B=45°，
∵∠EOF=∠ACB=90°
∴△OEF∽△ABC，
故答案为：A.
【分析】连接OC，根据等腰直角三角形的性质，可得到∠B=45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得OC=OB，∠ECO=∠B，再利用同角的余角相等，可得到∠COE=∠FOB，然后利用ASA证明△COE≌△BOF，根据全等三角形的对应边相等，可知OE=OF，即可证得△OEF是等腰直角三角形，两个等腰直角三角形一定相似，即可得到结论。
7．如图，在 ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵DGBC，
∴ ，故A选项不符合题意；
∵DGBC，
∴ ，故B选项不符合题意；
∵EHAB，
∴ ，故C选项符合题意；
∵EHAB，
∴ ，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例逐项判定即可。
8．如图，P是叶脉AB的黄金分割点（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ P是叶脉AB的黄金分割点（），
∴，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割点求出即可作答。
9．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分別在边AD，CD上，AF，BE相交于点.若，则的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长BE交CD的延长线于点M，
∵AE=3DE，
∴设DE=a，则AE=3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CM，AD=AB=CD=4a，DF=2a，
∴△ABE∽△DME，
∴，
∴DM=a，
∴FM=DF+DM=，
∵AB∥CM，
∴△ABG∽△FMG，
∴.
故答案为：C.
【分析】延长BE交CD的延长线于点M，设DE=a，则AE=3a，由正方形的性质得AB∥CM，AD=AB=CD=4a，DF=2a，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△DME，由相似三角形对应边成比例可得，从而可表示出DM、FM的长，最后再根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ABG∽△FMG，由相似三角形对应边成比例可得答案.
10．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 ∽ ，若周长比为4：9，则 ．
【答案】4：9
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ ．
故答案为：4：9．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
12．如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接，给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）.
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：
由折叠性质，得，BG=FG，BN=FN
∴BF⊥MN
∵∠BIH=∠MIG，
∴∠HBI=∠GMI
∵∠MHN=∠BCF=90°
∴
故①结论符合题意；
假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3；
假设F与D重合时，MN取得最大值，
∵
∴
∵MH=3，BC=4，
∴
∵点F在线段上（不与两端点重合）
∴折痕的长度的取值范围为
故②结论符合题意；
∵四边形为正方形
∴MH=HC=3
∴BH=1
∵
∴
令，则，
∴
∴
∴，（不符合题意，舍去）
∴，即N为的中点
故③结论符合题意；
④∵，AB=CD=3
∴DF=1，CF=2
∴
∴BG=GF=
∵
∴
∴HN=
∵△FGN∽△MHN
∴GN=
∴
∴
∴BH=BC-HN-NC=4--=1
∵∠EMO=∠CNF，∠MEO=∠NCF=90°
∴△MEO∽△NCF
∴
∴EO=
∴折叠后重叠部分的面积为：
故④结论符合题意；
故答案为：①②③④.
【分析】根据折叠的性质可证明即可判断①正确；假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3；假设F与D重合时，MN取得最大值，由可得，根据勾股定理求出，，由点F在线段上（不与两端点重合），折痕的长度的取值范围为；可判定②正确；根据四边形为正方形和可得，令，则，，，解之可得，即N为的中点，可判定③正确；
④根据勾股定理可得BG=GF=，根据、△FGN∽△MHN、△MEO∽△NCF可求出ME、FN、EO，折叠后重叠部分的面积为，可判定④正确。
13．在直角坐标系中，已知，过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，则点D的坐标为 ．
【答案】或或或
14．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：作如下图：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，求出AE的长，再利用线段的和差求出CE的长即可。
15．如图，在矩形中，若，则的长为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：在矩形中， ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再利用勾股定理求出BC的长，最后将数据代入求出AE的长即可.
16．如图，在边长为 的正方形 中，点Q是边 的中点，点P是边 上的一点，连接 ， ，且 ，则线段 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长PQ、AD，交于M，作PN⊥AD，垂足为N，
则四边形 为矩形，
PN=4，
点Q是边 的中点，正方形
，
∴△MPN∽△MQD，且相似比为2：1，
设AN=x，则DN=4-x，
∵△MPN∽△MQD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵∠APQ=∠PAD，
∴MA=MP=8-x，
在Rt△MBP中， ，
即（8-2x）2+42=（8-x）2
解得x=4或 ，
∵P在BC上，
∴x=4（舍），
∴x= ，
∴MP= ，
∴PQ= ，
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再根据相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ .
又∵ .
∴ .
（2）解：∵四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ ， .
∴ ， .
又∵点 是 中点，
∴ .
由（1）知 ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，可得到∠PCQ=∠RDQ，再根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可得到BC=AD=CE，AC∥DE，利用平行线分线段成比例定理可求出PC与RE的比值，利用线段中点的定义可证得DR=RE，再利用相似三角形的对应边成比例可证得QR=2PQ，再证明BP=3PQ，然后求出BP：PQ：QR的比值.
18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G．
（1）求证：△AED∽△ABC．
（2）若AG平分∠BAC，求证： ．
【答案】（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，
∴△AED∽△ABC
（2）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠CAG，
∵△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠ACG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，即可证出△AED∽△ABC；
（2）运用双角对应相等法，证明△ADF∽△ACG即可。
19．如图，菱形边长为4，对角线交于点，点为上一点，，过作交于点，交于点，取中点，连接并延长交于点.
（1）求的长度；
（2）求.
【答案】（1）解：连接FO并延长交AB于点P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=DA=DC=4，AC⊥BD，OD=OB，CD∥AB，
∴∠FDO=∠PBO，∠DFO=∠BPO，
在△FDO和△PBO中
∴△FDO≌△PBO（AAS），
∴DF=BP
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠DAC，∠DFE=∠DCA，
∵∠DAC=∠DCA，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=BP=4-3=1，
∴DG⊥EF，EG=FG，
∵点H是OE的中点，
∴GH是△EFO的中位线，
∴GH∥FO，
，
∴，
∴
∴，
∴
（2）解：设GM交AC于点Q，
∵AP=AB-BP=4-1=3，
∴AE=AP，
在△AOE和△AOP中
∴△AOE≌△AOP（SAS）
∴OE=OP，
设OE=OP=x，
∵QM∥OP，
∴△AQM∽△AOP，
∴，
∴，
∵∠OGE=90°，EG=OH，
∴GH=HE=HO=OE=m，
∵∠HEG=∠HOQ，EH=OH，∠EHG=∠OHQ，
∴△EHG≌△OHQ（ASA），
∴QH=GH=m，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接FO并延长交AB于点P，利用菱形的性质可证得AB=DA=DC=4，AC⊥BD，OD=OB，CD∥AB，可推出∠FDO=∠PBO，∠DFO=∠BPO，利用AAS证明△FDO≌△PBO，利用全等三角形的性质可证得DF=BP；再证明∠DEF=∠DFE，利用等角对等边可证得DE=DF=1，利用三角形的中位线定理可得到GH∥FO，利用平行线分线段成比例定理可得比例线段，即可求出MP的长，根据AM=AB-BP-MP，代入计算求出AM的长.
（2）设GM交AC于点Q，易证AE=AP，利用SAS证明△AOE≌△AOP，利用全等三角形的性质理智的OE=OP，设OE=OP=x，利用QM∥OP，可得到△AQM∽△AOP，利用相似三角形的性质可表示出QM、HE的长，再利用ASA证明△EHG≌△OHQ，利用全等三角形的性质可表示出QH的长，从而可表示出HM的长，然后求出HE与HM的比值.
20．如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证： ABD∽ DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＋∠DAF＝90°，
∴∠ABD＝∠DAF，
又∵∠BAD＝∠ADF，
∴ ABD∽ DAF
（2）解：∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，
∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG，
∴CG＝2AD，
∵AD//BC，
∴ ADF∽ GCF，
∴ ，
又∵CD＝8，
∴CF＝ ，DF＝ ，
∵ ABD∽ DAF，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴BG＝3AD＝ ，
在Rt ABG中， ，
∴AG的长为16.
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠ADF＝90°，进而可得∠ADB＋∠ABD＝90°，由AF⊥BD可得∠ADB＋∠DAF＝90°，进而可得∠ABD＝∠DAF，由此可证得 ABD∽ DAF；（2）根据BG＝3AD，AD＝BC可得CG＝2AD，由 ADF∽ GCF可得 ，再结合CD＝AB＝8可得CF＝ ，DF＝ ，由（1）得 ，由此可求得AD＝ ，进而可求得BG＝3AD＝ ，再利用勾股定理即可求得AG的长.
21．中，，，，点P以的速度由B向A运动，同一时刻点Q、R分别从C、A以的速度向B、C运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止．运动时间为．
（1）t为何值时，？
（2）t为何值时，点P在的中垂线上？
（3）是否存在t值，使得？若存在求出t值，
【答案】（1）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
由题意可知，，
∴．
∵，
∴，即，
解得：；
（2）解：如图，点P在的中垂线上，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）解：如图，过点P作，
∵，
∴．
由（2）可知，
∴，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：，
∴t的值为2或3．
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，AD⊥AB，利用勾股定理求出AD=BD=6cm，即得AB=12cm，由题意得，，，由PR∥BC，根据平行线分线段成比例可得，代入数据求出t值即可；
（2）由点P在的中垂线上，可得，，，从而得出BQ=10-2t，BE=QE=5-t，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（3）过点P作，由题意可知，由（2）可知，利用相似三角形的性质可得， 即得，根据建立方程并求解即可．
22．如图，四边形 中 ，点F在 上，连 与 的延长线交于点G．
（1）求证： ；
（2）当点F是 的中点时，过F作 交 于点E，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：由（1） ，
又 是 的中点， ，
∴ ，
， ，
，F为 中点，
为 中点，
是 的中位线，
．
，
．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则DF=FG，则EF是中位线，即可解题．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高线，BE平分∠ABC交AC于点 E，交CD于点F．求证：
（1）△ABE∽△CBF；
（2） ．
【答案】（1）证明： BE平分∠ABC，
∠ACB＝90°，CD是高线，
△ABE∽△CBF；
（2）证明： △ABE∽△CBF；
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠CBE=∠ABE，根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠AEB=∠CFB，结合邻补角的性质可得∠CEF=∠CFE，推出CE=CF，然后由相似三角形对应边成比例进行证明.
24．如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M ．
（1）① 根据题意，补全图形；
② 比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．
（2）过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①如图，
②∵∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠BCM=∠ACE+∠DCM=90°，
∵点G与点E对称，
∴∠ACE=∠ACG，
∴∠BCF=BCM；
（2）解：如图，过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，连接DN，
∵CN⊥BN，点D为BC的中点，
∴DN=CD=BD，
∵CE⊥AD，
∴CE=NE，
∵∠BCF=BCM，BN⊥CN，BM⊥CM，
∴BN=BM，
∵BC=BC，
∴△BCN≌△BCM（HL），
∴CM=CN=2EN，
由轴对称得AG=AE，∠CAG=∠CAE，
∵∠ACG+∠BCM=∠ACG+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCM，
∵∠AEC=∠BMC，
∴△AEC∽△CMB，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】（1）①根据要求作出图象即可；
②根据∠ACG+∠BCM=∠ACE+∠DCM=90°，再结合∠ACE=∠ACG，即可得到∠BCF=BCM；
（2）过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，连接DN，先证出△AEC∽△CMB，再利用相似三角形的性质可得，即， 再化简可得。
25．如图，在 中，点D在 边上， .
（1）求证： ；
（2）若 求 的长.
【答案】（1）证明：
∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ，即 ，
解得：AC=6.
【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似即证结论；
（2）利用（1）结论， 由△ABC∽△ACD可得 ，代入相应数据即可求出AC的长.
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