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一元一次方程 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．当的取值不同时，整式（其中是常数）的值也不同，具体情况如表所示：
0 1
4 2 0
则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．运用等式性质进行变形，正确的是（ ）
A．由得到 B．由得到
C．由得到 D．由得到
3．若 是方程 的解，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2023次相遇在边（ ）上．
A． B． C． D．
5．下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．由3x＝2得x＝ B．由2x+1＝x得2x﹣x＝1
C．由得x＝ D．由﹣得﹣x+1＝6
6．已知方程 是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
A．1 B． C．－ D．－1
7．《九章算术》中记录了一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长为x尺，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列各式说法错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
9．已知A=A0（1+mt）(m、A、A0均不为0)，则t=（ ）
A．. B． C． D．
10．下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于的方程是一元一次方程，则 .
12．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
13．在方程 2x+3y=5 中，用含
x 的代数式表示 y，则
y= ．
14．甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 岁．
15．一列匀速前进的火车，从它进入320m长的隧道到完全通过隧道需要18s，隧道顶部一盏固定的灯在火车上照了10s，则这列火车的长为 m.
16．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某园林门票价格规定如下表：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 13元 11元 9元
某校一年级甲、乙两班共104人去该园游玩，其中甲班人数较多，有50多人，经估算，若两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元．问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
18．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2.6元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2.6元/立方米收费，超过部分按4元/立方米计费．设小明家月用水量为x立方米．
（1）若小明家四月份用水15立方米，应收水费为 元；当x超过20时，应收水费为 元．（用含x的代数式表示，写化简后的结果）；
（2）小明家六月份交水费62.4元，请帮小明计算一下他家这个月用水量是多少立方米？
19．以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
A地 A地
A地B地02车12号 A地B地03车13号
2024年1月1日10：00 2024年1月1日11：00
360元 560元
限乘当日当车次 限乘当日当车次
（1）已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求，两地之间的距离；
（2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距．
20．解方程：
（1）
（2）
21．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况：
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 55
请结合表中所给数据，回答下列问题：
（1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分；
（2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）；
A.75；B.63；C.56；D.44
并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题）
22．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来水收费价格见价目表.
注：水费按月结算，不足1立方米的不收费.若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：2×6＋4×(8－6)＝20(元).
（1）若该户居民2月份交水费16元，计算该户居民2月份的用水量；
（2）若该户居民3月份用水12.5立方米，则应交水费多少元？
23．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是670元，且随身听的单价是书包单价的4倍少30元．
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上两家超市都进行促销活动，A超市所有商品打八折销售，B超市全场购物满100元返30元销售（不足100元不返回），如果这个同学想买看中的这两件商品，请你帮他设计出最佳购买方案，并求出他所付的费用．
24．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解方程：
解：____________，得3x﹣（x﹣2）＝12. 第一步
去括号，得3x﹣x+2＝12. 第二步
移项，得3x﹣x＝12+2， 第三步
合并同类项，得2x＝14. 第四步
方程两边同除以2，得x＝7. 第五步
填空：
（1）以上求解步骤中，第一步进行的是 ，这一步的依据是 ；
（2）以上求解步骤中，第 步开始出现错误，具体的错误是 ；
（3）请写出正确解方程的过程.
25．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？
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一元一次方程 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．当的取值不同时，整式（其中是常数）的值也不同，具体情况如表所示：
0 1
4 2 0
则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．运用等式性质进行变形，正确的是（ ）
A．由得到 B．由得到
C．由得到 D．由得到
【答案】C
3．若 是方程 的解，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【解析】【解答】将x=1代入2x+a=0中，
∴2+a=0，
∴a=-2
故答案为：D.
【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值.
4．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2023次相遇在边（ ）上．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可知，甲乙所行的路程比为，把正方形的每条边平均分成两份，故可得到：
①第一次相遇甲乙的路程和为，甲行的路程为，乙的路程为，在边相遇；
②第一次相遇甲乙的路程和为，甲行的路程为，乙的路程为，在边相遇；
③第一次相遇甲乙的路程和为，甲行的路程为，乙的路程为，在边相遇；
④第一次相遇甲乙的路程和为，甲行的路程为，乙的路程为，在边相遇；
它们第2023次相遇在边．
故选：B．
【分析】
本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题，找到规律是解题的关键．根据若乙的速度是甲的速度的3倍，求出每一次相遇的地点，找出规律即可．
5．下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．由3x＝2得x＝ B．由2x+1＝x得2x﹣x＝1
C．由得x＝ D．由﹣得﹣x+1＝6
【答案】C
【解析】【解答】解：A.由3x＝2得x＝，故A选项不符合题意；
B.由2x+1＝x得2x﹣x＝﹣1，故B选项不符合题意；
C.由得x＝，故C选项符合题意；
D.由﹣得﹣x﹣1＝6，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】给等式的两边同时除以3可得x的值，据此判断A；给等式的两边同时减去x-1，据此判断B；给等式的两边同时除以可得x，据此判断C；给等式的两边同时乘以3，据此判断D.
6．已知方程 是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
A．1 B． C．－ D．－1
【答案】D
【解析】【解答】由题意得：2k-1=1，解得：k=1，
所以方程为：x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义进行计算.
7．《九章算术》中记录了一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长为x尺，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
8．下列各式说法错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】C
【解析】【解答】解：A.如果 ，那么 ，故A不符合题意，
B.如果 ，那么x=y，故B不符合题意，
C.如果ac=bc（c≠0），那么a=b，故C符合题意，
D.如果a=b，那么 ，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用等式两边都乘以同一个整式其结果仍是等式，再根据等式两边都除以同一个不为零的整式，结果仍是等式，进行选项判断．
9．已知A=A0（1+mt）(m、A、A0均不为0)，则t=（ ）
A．. B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式可化为：A=A0+A0mt，
移项：得A-A0=A0mt，
化系数为1得：t=
故答案为：D.
【分析】由题意把t看作未知数，根据"去括号、移项、合并同类项、系数化为1"可求解.
10．下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 a b
表格中a、b的值正确的是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2
【答案】D
【解析】【解答】解：由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．
设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
故答案为：D
【分析】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时．设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于的方程是一元一次方程，则 .
【答案】1
12．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
【答案】23
【解析】【解答】解：设这个两位数的十位数字是x，则个位数字是x+1，根据题意可知：
∴ 这个两位数的个位是2，十位是3，
∴ 这个两位数是23
【分析】本题考查一元二次方程的应用中数字问题，找出数量关系，根据题意，设置未知数，列出方程求解，实际问题，要注意根的取舍。
13．在方程 2x+3y=5 中，用含
x 的代数式表示 y，则
y= ．
【答案】
【解析】【解答】原方程移项可得： ，
系数化为1可得： ，
故答案为： .
【分析】首先将2x移到等号的右边，然后进一步将y的系数化为1即可得出答案.
14．甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 岁．
【答案】23
【解析】【解答】解：设甲现在岁，乙现在岁，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：23．
【分析】设甲现在岁，乙现在岁，根据题意列二元一次方程组解题即可．
15．一列匀速前进的火车，从它进入320m长的隧道到完全通过隧道需要18s，隧道顶部一盏固定的灯在火车上照了10s，则这列火车的长为 m.
【答案】400
16．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】2024
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某园林门票价格规定如下表：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 13元 11元 9元
某校一年级甲、乙两班共104人去该园游玩，其中甲班人数较多，有50多人，经估算，若两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元．问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
【答案】（1）解：设甲班有x(x＞50)人，则乙班人数为(104－x)人．
①当104－x≤50时，有11x＋13(104－x)＝1240，解得x＝56(符合题意).104－x＝48(人)．
②当104－x＞50时，有11x＋11(104－x)＝1240，此方程无解．
答：甲班有56名学生，乙班有48名学生．
（2）解：104×9＝936(元)，1240－936＝304(元)
答：两班合起来购票可以节省304元．
【解析】【分析】（1）根据题意可设甲班有x人，乙班有y人．根据共有104人和共付1240元列方程组求解即可；（2）再进一步根据共有104人，每人按100元以上的票价，即9元，计算出共付的钱数和1240进行比较即可得到答案。
18．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2.6元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2.6元/立方米收费，超过部分按4元/立方米计费．设小明家月用水量为x立方米．
（1）若小明家四月份用水15立方米，应收水费为 元；当x超过20时，应收水费为 元．（用含x的代数式表示，写化简后的结果）；
（2）小明家六月份交水费62.4元，请帮小明计算一下他家这个月用水量是多少立方米？
【答案】（1）39；（4x-28）
（2）解：∵元
∴六月份的用水量超过20立方米即
由得：
∴六月份的用水量为22.6立方米．
【解析】【解答】(1)∵小明家四月份用水15立方米，不超过20立方米，
∴应收水费为：15×2.6=39元；
当x超过20时，应收水费为2.6×20+4（x-20）=（4x-28）元；
故答案为：39；（4x-28）；
【分析】（1）根据题干中的计费方法列出算式求解即可；
（2）根据题意列出方程，求出x的值即可。
19．以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
A地 A地
A地B地02车12号 A地B地03车13号
2024年1月1日10：00 2024年1月1日11：00
360元 560元
限乘当日当车次 限乘当日当车次
（1）已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求，两地之间的距离；
（2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距．
【答案】（1）
（2）在或时，两车相距
20．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解： ，
去括号得，
移项得，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2），
化整得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1；
（2）先根据分数的性质，将各个分数的小数系数化为整数系数，再去分母（两边同时乘以15，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
21．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况：
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 55
请结合表中所给数据，回答下列问题：
（1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分；
（2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）；
A.75；B.63；C.56；D.44
并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题）
【答案】（1）5；2
（2）解：设他答对x道题，则答错道题． A. 若，解得x=，故错误； B．若，解得x=，故错误； C．若，解得x=，故错误； D．若，解得，正确； 答：学生小刚答对了12道题． 故答案为：D．
【解析】【解答】解：（1）答对一题加：100÷20=5分，
打错一题减：（18×5-86） ÷2=2分，
故答案为：5，2；
【分析】（1）先求出答对一题加5分，再计算求解即可；
（2）分类讨论，列方程计算求解即可。
22．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来水收费价格见价目表.
注：水费按月结算，不足1立方米的不收费.若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：2×6＋4×(8－6)＝20(元).
（1）若该户居民2月份交水费16元，计算该户居民2月份的用水量；
（2）若该户居民3月份用水12.5立方米，则应交水费多少元？
【答案】（1）解：设2月份用水量为 立方米，由题意得：
，
解得： .
答：2月份用水量为7立方米；
（2）解： （元 .
答：应该付水费48元
【解析】【分析】（1） 设2月份用水量为 立方米 ，根据不超出6吨部分的水费+超出6吨但不超出10吨部分的水费=16元，列出方程，求解即可；
（2）用不超出6吨部分的水费+超出6吨但不超出10吨部分的水费+超出10吨部分的水费，根据有理数的混合运算即可算出答案.
23．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是670元，且随身听的单价是书包单价的4倍少30元．
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上两家超市都进行促销活动，A超市所有商品打八折销售，B超市全场购物满100元返30元销售（不足100元不返回），如果这个同学想买看中的这两件商品，请你帮他设计出最佳购买方案，并求出他所付的费用．
【答案】（1）解：设书包的单价为x元，则随身听的单价为（4x－30）元．
根据题意， 得（4x－30）+x=670，
解这个方程得x=140，
4×140－30=530(元)，
答：书包的单价为140元，则随身听的单价为530元．
（2）解：方案①：全部在A超市购买，所付费用为：
670×80%=536（元）
方案②：全部在B超市购买，所付费用为：
670-30×6=490（元），
方案③：随身听在A超市购买，书包在B超市购买，所付费用为：
530×80%+140-30=534（元）
方案④：随身听在B超市购买，书包在A超市购买，所付费用为：
530-30×5+140×80%=492（元）
490＜492＜532＜534
答：最佳购买方案是：方案②（全部在B超市购买），所付费用为490元
【解析】【分析】（1）根据随身听和书包单价之和是670元，列方程求解即可；（2）根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱．
24．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解方程：
解：____________，得3x﹣（x﹣2）＝12. 第一步
去括号，得3x﹣x+2＝12. 第二步
移项，得3x﹣x＝12+2， 第三步
合并同类项，得2x＝14. 第四步
方程两边同除以2，得x＝7. 第五步
填空：
（1）以上求解步骤中，第一步进行的是 ，这一步的依据是 ；
（2）以上求解步骤中，第 步开始出现错误，具体的错误是 ；
（3）请写出正确解方程的过程.
【答案】（1）去分母；等式的基本性质2
（2）三；移项时没有变号
（3）解：两边同乘12得 ，3x﹣（x﹣2）＝12，
去括号得，3x﹣x+2＝12，
移项得，3x﹣x＝12﹣2，
合并同类项得，2x＝10，
两边同除2，得 x＝5.
【解析】【解答】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号；
【分析】（1）观察可得第一步是将分母去掉，结合等式的性质解答即可；
（2）根据解含分数系数的一元一次方程的步骤进行判断即可；
（3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
25．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？
【答案】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，由题意得：，
解得，
∴（元），
答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元；
（2）解：设购进A种商品a件，则购进B商品件，由题意得，
解得，
∴，
∴（元），
答：全部售完共可获利1450元．
【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据“购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同”列一元一次方程解题即可；
（2）设购进A种商品a件，根据“所用资金为6900元”列一元一次方程解题即可．
（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得，
∴（元），
答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，
由题意得，
解得，
∴，
∴（元），
答：全部售完共可获利1450元．
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