3.4 相似三角形的判定与性质 同步练习（含解析）2025-2026学年湘教版数学九年级上册

3.4 相似三角形的判定与性质 同步练习2025-2026学年湘教版数学九年级上册
一、选择题
下列条件中，能使 的是
A． ，，
B． ，，，，，
C． ，，，，
D． ，， 上的高 ，，， 上的高
如图，点 是线段 的中点，，下列结论中，说法错误的是
A． 与 相似 B． 与 相似
C． D．
如图，在 中， 为 边上一点，，，，则
A． B． C． D．
如图，每个小正方形的边长均为 ，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是
A． B． C． D．
如图所示，点 ，， 分别在 的各边上，且 ，，若 ，，则 的长为
A． B． C． D．
如图，在 中，，，点 在 上，且 ，若要在 上找一点 ，使 与 相似，则 的长为
A． B． C． 或 D． 或
如图，在四边形 中，，，，，，点 为 边上一动点，若 与 是相似三角形，则满足条件的点 的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ，有以下五个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤若 ，则 ．
其中正确的结论有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
如图，在 与 中，，要使 与 相似，还需添一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）．
的三边之比为 ，与其相似的 的最短边是 ，则其最长边的长是 ．
已知 ，若 与 的面积比为 ，则 与 对应角的角平分线之比为 ．
如图，，则图中共有 对三角形相似．
如图，在 中，，，点 是 的中点，以点 为顶点作 ，当 的面积等于 面积的 时，线段 ．
如图，在 中，，点 ， 在边 上，，且 ，那么 的值是 .
如图，在矩形 中，将 绕点 按逆时针方向旋转一定角度后， 的对应边 交 边于点 ．连接 ，，若 ，，，则 （结果保留根号）．
三、解答题
如图，在 中，， 为 边上的中线， 于点 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求线段 的长．
如图，在矩形 中，，， 是 的中点， 于点 ．
(1) 求证：；
(2) 求 的长．
如图， 中，，，．点 是边 上任意一 点，过 作直线 交边 于点 ，将 沿 翻折，点 的对称点落在直线 上点 处，连接 ，若设 ．
(1) 用含 的代数式表示 的长 ；（直接写出结果）
(2) 当 为何值时， 是直角三角形？
如图，矩形 中，，，点 是 边上一定点，且 ．
(1) 当 时， 上存在点 ，使 与 相似，求 的长度．
(2) 如图②，当 时．用直尺和圆规在 上作出所有使 与 相似的点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
(3) 对于每一个确定的 的值， 上存在几个点 ，使得 与 相似？
答案
一、选择题（共8题）
1. 【答案】D
【解析】A项，虽然 ，但不是成比例的对应边的夹角，故不能判定 ；
B项，两个三角形的三边不对应成比例，故不能判定 ；
C项，两个直角三角形的两边不对应成比例，故不能判定 ；
D项，如图．
，，
．
，
，
，
，，
，
，
又 ，
．
2. 【答案】D
3. 【答案】B
【解析】在 和 中，，，
，
，
，
．
4. 【答案】B
【解析】因为 中有一个角是 ，观察各选项，含 角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等．
5. 【答案】C
6. 【答案】D
7. 【答案】B
8. 【答案】B
【解析】思路分析：“手拉手相似”模型，抓住正方形中等腰直角三角形是突破口．
① 四边形 和四边形 都为正方形，
和 都是等腰直角三角形，
，
；
①正确，符合题意．
② 和 都是等腰直角三角形，
，
又 ，
，
②正确，符合题意．
③ ，
，
；
③正确，符合题意．
④ ，，
，
，
，
，
，
④正确，符合题意．
⑤ ，
设 ，，
，
在 中，由勾股定理知：，
，
，
，
，
，
⑤错误，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（共7题）
9. 【答案】
【解析】添加条件：；
，，
．
10. 【答案】
11. 【答案】
12. 【答案】
13. 【答案】
【解析】连接 ，过 点作 ，，垂足分别为 ，．
， 是 的中点，
，．
在 中，，
，
．
．
又 ，
，
，
，
又 ，
，
由 ，得 ，
，
．
，
．
又 ，
，
，，
．
，
．
14. 【答案】
【解析】 ，，
又 ，
，
，
，，
过 点作 ，垂足为 ，
设 ，则 ，
，
，，
，
在 中，，
又 ，
，
，
，，
，
，
故答案为： .
15. 【答案】
三、解答题（共4题）
16. 【答案】
(1) ， 为 边上的中线，
，，
，，
，
．
(2) 为 边上的中线，
，
在 中，
，
由（）得 ，
，
，
．
17. 【答案】
(1) 四边形 是矩形，
，
，
又 ，
；
(2) 由（）知 ，
，
是边 的中点，，
，
又 ，，
，
，
．
18. 【答案】
(1)
(2) 当 时，不成立．
当 时，，
，
，
解得 ．
当 ，，
，即 ，
解得 ，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
【解析】
(1) ，
，
，
，
，
．
19. 【答案】
(1) 当 时，
要使 ，需 ，即 ，
解得 ；
当 时，
要使 ，需 ，即 ，
解得 ；
综上所述 ．
(2)
(3) 当 且 时，有 个；
当 时，有 个；
当 时，有 个；
当 时，有 个．
【解析】
(2) 延长 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ；连接 ，以 为直径作圆交 于点 ，．