3.2.2利用去分母解一元一次方程 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
3.2.2利用去分母解一元一次方程
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.2.2 利用去分母解一元一次方程
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
前面我们学习了利用移项和去括号解一元一次方程，掌握了 “去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的解题步骤。但当方程中含有分母时，直接按照这些步骤求解会比较繁琐。例如方程\(\frac{x}{2}+\frac{x - 1}{3}=1\)，如果能先去掉分母，转化为我们熟悉的不含分母的方程，求解会更简便。今天我们就来学习利用去分母解一元一次方程。
学习目标
理解去分母的依据，掌握去分母的方法和步骤。
能熟练运用去分母的方法解含有分母的一元一次方程。
经历从含有分母的方程到不含分母的方程的转化过程，体会转化的数学思想。
提高解方程的准确性和效率，培养严谨的思维习惯。
课堂导入
我们来看一个方程：\(\frac{x}{2}+\frac{x - 1}{3}=1\)。这个方程中含有分母 2 和 3，要直接移项或合并同类项并不容易。那么，如何去掉这些分母呢？
我们知道，等式的基本性质 2 告诉我们：等式两边同时乘同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式。对于上面的方程，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，我们可以在方程两边同时乘 6，这样就能去掉分母了。
计算一下：方程两边同时乘 6，得到\(6 \frac{x}{2}+6 \frac{x - 1}{3}=6 1\)，化简后为\(3x + 2(x - 1)=6\)。这样，方程就转化为不含分母的形式了，接下来我们就可以用之前学过的方法求解。这就是利用去分母解一元一次方程的基本思路。
知识点：去分母的方法和依据
依据
去分母的依据是等式的基本性质 2，即等式两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍然成立。
方法
找出方程中所有分母的最小公倍数；
方程两边同时乘这个最小公倍数，使方程中的分母被去掉；
去分母后，注意对分子是多项式的项添加括号，避免漏乘或符号错误。
例如，对于方程\(\frac{x - 1}{2}+\frac{2x + 1}{3}=1\)，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，方程两边同时乘 6，得到\(3(x - 1)+2(2x + 1)=6\)。
注意事项
去分母时，方程两边的每一项都要乘最小公倍数，不能漏乘不含分母的项。例如，方程\(\frac{x}{3}+1=\frac{x}{2}\)，两边同时乘 6，得到\(2x + 6 = 3x\)，这里的 “1” 也要乘 6，不能漏乘。
当分子是多项式时，去分母后要给分子加上括号，以避免符号错误。例如，方程\(\frac{x - 2}{3}-\frac{x + 1}{2}=1\)，两边同时乘 6，得到\(2(x - 2)-3(x + 1)=6\)，而不是\(2x - 2 - 3x + 1 = 6\)。
解含有分母的一元一次方程的步骤
去分母：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，去掉分母。
去括号：按照去括号法则去掉方程中的括号。
移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边（移项要变号）。
合并同类项：把方程化成\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{b}{a}\)。
例题解析
例 1：解下列方程：
（1）\(\frac{x}{2}+\frac{x - 1}{3}=1\)；
（2）\(\frac{2x - 1}{3}-\frac{x + 1}{4}=1\)。
解：（1）去分母，方程两边同时乘 6（2 和 3 的最小公倍数），得：\(3x + 2(x - 1)=6\)
去括号，得：\(3x + 2x - 2 = 6\)
合并同类项，得：\(5x - 2 = 6\)
移项，得：\(5x = 6 + 2\)\(5x = 8\)
系数化为 1，得：\(x=\frac{8}{5}\)
（2）去分母，方程两边同时乘 12（3 和 4 的最小公倍数），得：\(4(2x - 1)-3(x + 1)=12\)
去括号，得：\(8x - 4 - 3x - 3 = 12\)
合并同类项，得：\(5x - 7 = 12\)
移项，得：\(5x = 12 + 7\)\(5x = 19\)
系数化为 1，得：\(x=\frac{19}{5}\)
例 2：解下列方程：
（1）\(\frac{1 - x}{3}=1-\frac{x + 2}{4}\)；
（2）\(\frac{x + 1}{2}-1=\frac{2 - 3x}{3}\)。
解：（1）去分母，方程两边同时乘 12（3 和 4 的最小公倍数），得：\(4(1 - x)=12 - 3(x + 2)\)
去括号，得：\(4 - 4x = 12 - 3x - 6\)
合并同类项，得：\(4 - 4x = 6 - 3x\)
移项，得：\(-4x + 3x = 6 - 4\)\(-x = 2\)
系数化为 1，得：\(x=-2\)
（2）去分母，方程两边同时乘 6（2 和 3 的最小公倍数），得：\(3(x + 1)-6 = 2(2 - 3x)\)
去括号，得：\(3x + 3 - 6 = 4 - 6x\)
合并同类项，得：\(3x - 3 = 4 - 6x\)
移项，得：\(3x + 6x = 4 + 3\)\(9x = 7\)
系数化为 1，得：\(x=\frac{7}{9}\)
例 3：解下列方程：
（1）\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02}-\frac{x + 1}{0.5}=3\)；
（2）\(\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}(x - 1)\right)=\frac{2}{3}(x - 1)\)。
解：（1）先将小数分母化为整数分母，根据分数的基本性质：\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02}=\frac{10x - 20}{2}=5x - 10\)\(\frac{x + 1}{0.5}=\frac{10x + 10}{5}=2x + 2\)
原方程可化为：\(5x - 10-(2x + 2)=3\)
去括号，得：\(5x - 10 - 2x - 2 = 3\)
合并同类项，得：\(3x - 12 = 3\)
移项，得：\(3x = 3 + 12\)\(3x = 15\)
系数化为 1，得：\(x = 5\)
（2）先去小括号，得：\(\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}(x - 1)\)
合并同类项，得：\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}(x - 1)\)
去括号，得：\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}=\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\)
去分母，方程两边同时乘 12（4 和 3 的最小公倍数），得：\(3x + 3 = 8x - 8\)
移项，得：\(3x - 8x = -8 - 3\)\(-5x = -11\)
系数化为 1，得：\(x=\frac{11}{5}\)
例 4：当\(x\)为何值时，代数式\(\frac{x - 1}{3}\)的值比代数式\(\frac{x + 1}{2}\)的值小 1？
解：根据题意，可列出方程：\(\frac{x - 1}{3}=\frac{x + 1}{2}-1\)
去分母，方程两边同时乘 6（3 和 2 的最小公倍数），得：\(2(x - 1)=3(x + 1)-6\)
去括号，得：\(2x - 2 = 3x + 3 - 6\)
合并同类项，得：\(2x - 2 = 3x - 3\)
移项，得：\(2x - 3x = -3 + 2\)\(-x = -1\)
系数化为 1，得：\(x = 1\)
答：当\(x = 1\)时，代数式\(\frac{x - 1}{3}\)的值比代数式\(\frac{x + 1}{2}\)的值小 1。
小练习
解下列方程：
（1）\(\frac{x}{4}+\frac{x - 2}{3}=1\)；
（2）\(\frac{2x - 1}{5}-\frac{x + 1}{2}=1\)；
（3）\(\frac{1 - x}{2}=1-\frac{x - 1}{3}\)；
（4）\(\frac{x + 2}{4}-\frac{2x - 3}{6}=1\)；
（5）\(\frac{0.2x - 0.1}{0.3}-\frac{3x - 2}{6}=1\)；
（6）\(\frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}\left(x - \frac{1}{6}\right)\)。
当\(x\)为何值时，代数式\(\frac{2x - 1}{3}\)与代数式\(\frac{x + 2}{4}-1\)的值相等？
已知关于\(x\)的方程\(\frac{x - m}{2}=x+\frac{m}{3}\)的解与方程\(\frac{x - 1}{2}=3x - 2\)的解互为倒数，求\(m\)的值。
填空：
（1）方程\(\frac{x}{2}-\frac{x - 1}{3}=1\)去分母后得（ ）。
（2）方程\(\frac{2x + 1}{4}-1=\frac{x - 1}{3}\)去分母后得（ ）。
（3）若方程\(\frac{x + a}{2}-\frac{2x - a}{3}=1\)的解是\(x = 1\)，则\(a = \)。
思考讨论
去分母时，为什么要乘所有分母的最小公倍数？
去分母的目的是去掉方程中的分母，使方程转化为我们熟悉的不含分母的形式。乘所有分母的最小公倍数可以确保去掉分母的同时，使方程中的系数尽可能小，从而简化计算。如果乘的不是最小公倍数，虽然也能去掉分母，但可能会使方程中的系数变大，增加计算的难度。例如，方程\(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=1\)，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，乘 6 后得到\(3x + 2x = 6\)；如果乘 12，会得到\(6x + 4x = 12\)，虽然也能求解，但系数更大。
当方程中含有小数分母时，如何处理？
当方程中含有小数分母时，可以先根据分数的基本性质，将小数分母化为整数分母，即分子和分母同时乘 10、100 等，使分母变成整数。例如，方程\(\frac{0.1x + 0.2}{0.3}=1\)，可以将分子和分母同时乘 10，得到\(\frac{x + 2}{3}=1\)，再进行去分母等操作。需要注意的是，这一步是利用分数的基本性质，而不是等式的基本性质，只需要对含有小数的项进行处理，其他项不变。
课堂小结
去分母的依据：等式的基本性质 2，即方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，去掉分母。
去分母的方法：找出所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，分子是多项式的要加括号。
解含有分母的一元一次方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1。
在去分母的过程中，要仔细计算，确保每一步都正确，避免漏乘、符号错误等问题。
课后作业
解下列方程：
（1）\(\frac{x - 1}{3}+\frac{x + 2}{4}=1\)；
（2）\(\frac{3x - 1}{4}-\frac{x + 2}{3}=1\)；
（3）\(\frac{1 - 2x}{3}=3-\frac{x + 2}{4}\)；
（4）\(\frac{x + 1}{5}-\frac{2x - 1}{4}=1\)；
（5）\(\frac{0.3x - 0.1}{0.2}-\frac{2x + 1}{5}=0\)；
（6）\(\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)=\frac{3}{4}\left(x - \frac{1}{6}\right)\)。
当\(x\)为何值时，代数式\(\frac{x + 3}{2}\)与代数式\(\frac{2x - 1}{3}+1\)的值相等？
已知关于\(x\)的方程\(\frac{2x - k}{3}-\frac{x - 3k}{2}=1\)的解是\(x = -1\)，求\(k\)的值。
若方程\(\frac{x - 1}{2}=3\)与方程\(\frac{x + a}{3}=x - 1\)的解相同，求\(a\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
解：设丢番图去世时的年龄为x岁，得出方程
你能解出这道方程吗
把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.
像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.
探索新知
例3：解方程： .
【教材P100 例3】
思考：1.若使方程各项的系数变成整数，方程两边应该同乘以什么数？
2.去分母时要注意什么问题？
解：去分母，得12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12.
去括号，得12x-20x-2=6x+3-12.
去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
移项，得12x-20x-6x=3-12+2.
合并同类项，得-14x=-7.
两边同除以-14，得x= .
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
小心漏乘，记得添括号！
练一练
下列方程解的过程是否正确？若不正确，请改正.
解方程：
解：去分母，得4x﹣1﹣3x+6=1.
移项，合并同类项，得x=4.
约去分母3后，(2x-1)×2在去括号时出错
去括号符号错误
去分母时方程右边的“1” 漏乘最小公倍数6
解：去分母，得4x-2-3x-6=6.
移项，合并同类项，得x=14.
1.勿漏乘：去分母时，每一项都要乘所有分母的最小公倍数，不带分母的项，不能漏乘.
2.加括号：分数线有括号的作用，去分母时，分子是多项式，要加括号.
注意事项：
一找二乘三不漏，分子多项加括号!
解：去分母，得
14x+7x+12x+420+42x+336=84x.
移项，合并同类项，得
9x=756.
两边同除以9，得x=84.
解一元一次方程的一般步骤有：
步骤 根据 注意事项
去分母 等式性质2 ①不漏乘不含分母的项；
②注意给分子添括号.
去括号 分配律、去括号法则 ①不漏乘括号里的项；
②括号前是“-”号，要变号.
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
系数化1 等式性质2 两边同除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数.
随堂练习
1.解下列方程：
【教材101 练习 第1题】
（1） ；
解：去分母，得3(2x+1)-5(x+1)=0.
去括号，得6x+3-5x-5=0.
移项，得6x-5x=-3+5.
合并同类项，得x=2.
（2） ；
解：去分母，得10y-5(y-1)=-2(y+2).
去括号，得10y-5y+5=-2y-4.
移项，得10y-5y+2y=-4-5.
合并同类项，得7y=-9.
两边同除以7，得y= .
（3） ；
解：去括号，得 x-1-x-5=0.
去分母，得x-4-4x-20=0.
移项，得x-4x=4+20.
合并同类项，得-3x=24.
两边同除以-3，得x=-8.
（4） .
解：方程整理，得 .
去分母，得2(32-20x)=3(13-30x).
去括号，得64-40x=39-90x.
移项，得-40x+90x=39-64.
合并同类项，得50x=-25.
两边同除以50，得x= .
2. x等于什么数时，代数式 与 的值相等？
解：根据题意，得 .
去分母，得7(x+3)-21=3(2x-1).
去括号，得7x+21-21=6x-3.
移项，得7x-6x=-3-21+21.
合并同类项，得x=-3.
所以当x=-3时，代数式 与 的值相等.
3.已知关于x的方程 与方程3(x-2)=4x-5的解相同，求a的值.
解：先解方程3(x-2)=4x-5.去括号，得3x-6=4x-5.
移项，得3x-4x=-5+6. 合并同类项，得-x=1.
系数化为1，得x=-1.
把x=-1代入方程 中，得 .
去分母，得2(-2-a)-3(-1-a)=-12. 去括号，得-4-2a+3+3a=-12. 移项，得-2a+3a=-12+4-3. 合并同类项，得a=-11.
1星题 基础练
知识点1 直接去分母解一元一次方程
1.［知识初练］
(1)解方程 ，两边同时乘以3，去掉分母后得________
__，解得 ___;
5
(2)解方程 ，去分母时两边同时乘以___，得_______
_____________,
这一步变形的依据是_________________.
6
等式的基本性质2
2.［2025·滁州月考］方程 去分母时，需在方程两
边同乘( )
D
A.12 B.24 C.48 D.72
3.解方程 ，以下去分母正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.教材改编题 以下是解方程 的过程，则开始出
现错误的一步是( )
去分母，得 .①
去括号，得 .②
移项，得 .③
合并同类项，得 .④
A
A.① B.② C.③ D.④
5.若与互为相反数，则 等于( )
D
A. B.1 C. D.
6.(8分)教材改编题解方程：
(1) ；
解：去分母，得 ,去括号，得
，移项、合并同类项，得 ，两
边同除以5，得 .
(2) .
去分母，得 ，去括号，得
，移项、合并同类项，得
，两边同除以，得 .
知识点2 解分子或分母含小数的一元一次方程
7.［2025年1月南京期末］把方程 的分母化为整
数可得方程( )
B
A. B.
C. D.
8.(4分)解方程： .
解：原方程可化为 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ,
两边同除以，得 .
2星题 中档练
9.［2025年1月合肥期末］在解关于的方程 时，
小冉在去分母的过程中，右边的“ ”漏乘了公分母6，因而
求得方程的解为 ，则方程正确的解是( )
B
A. B.
C. D.
10.［2025年1月芜湖期末］若不论取什么数，关于 的方程
,是常数的解总是，则 的值
是_ ___.
11.(8分)解方程：
(1) ；
解：去中括号，得 ,去小括号，得
,移项、合并同类项，得 ,两边同除
以，得 .
(2) .
解：原方程可化为 ，去分母，得
，移项、合并同类项，得 ,
两边同除以，得 .
12.(8分)已知关于的一元一次方程，其中 是
正整数.
(1)当 时，求方程的解；
解：当时，原方程为,解得 .
(2)若方程有正整数解，求 的值.
由方程，得.因为 是正整数，方程有
正整数解，所以易得 .
3星题 提升练
13.(8分) 中考趋势·阅读理解 [2025· 北京模拟] 某初中数学
小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交
流，请你仔细阅读.
小明：对于 ，我
采取的是去括号移项的方法，计算比较繁琐.
小亮：我有一种方法——整体求解法.可先将 、
分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程
，然后再继续求解.
小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下.
(1)请你继续进行小亮的求解；
解：，去括号，得 ，移
项，得，合并同类项，得 ，两边
同除以，得 .
(2)请利用小亮的方法解下面的方程：
.
将， 分别看成整体进行移项、合并同类项，
得 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
两边同除以33，得 .
课堂小结
解一元一次方程的一般步骤
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
去分母
怎么去分母：方程两边都各乘分母的最小公倍数
去分母的依据：等式的性质2
去分母的注意点：
1.各项都要乘以最小公倍数，不能漏乘
2.分子是多项式时，其作为一个整体应加括号
谢谢观看！