3.4.2代入消元法 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
3.4.2代入消元法
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.4.2 代入消元法
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上一节课我们学习了二元一次方程、二元一次方程组以及它们的解的概念。知道了二元一次方程组是由几个含有相同未知数的二元一次方程组成的，其解是方程组中所有方程的公共解。那么，如何求出二元一次方程组的解呢？今天我们就来学习一种解二元一次方程组的基本方法 —— 代入消元法。
学习目标
理解代入消元法的思想，掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤。
能熟练运用代入消元法解简单的二元一次方程组。
经历用代入消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。
提高分析问题和解决问题的能力，培养严谨的思维习惯。
课堂导入
我们来看一个二元一次方程组：\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)。这个方程组我们在前面的课堂导入中见过，是关于买笔和笔记本的问题。我们知道这个方程组的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}\)，但当时只是通过尝试得到的。如果方程组比较复杂，尝试法就很难奏效了。
那有没有一种更通用、更有效的方法呢？我们知道一元一次方程我们已经会解了，如果能把二元一次方程组转化为一元一次方程，问题就解决了。如何转化呢？观察方程组中的第一个方程\(x + y = 8\)，我们可以把它变形为\(x = 8 - y\)，这样就用含\(y\)的式子表示出了\(x\)。然后把\(x = 8 - y\)代入第二个方程\(2x + 3y = 21\)中，就可以得到一个只含有\(y\)的一元一次方程，解这个方程就能求出\(y\)的值，再把\(y\)的值代入\(x = 8 - y\)中，就能求出\(x\)的值。这种方法就是我们今天要学习的代入消元法。
知识点：代入消元法的概念和思想
概念
代入消元法是指将二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解的方法。
思想
代入消元法的核心思想是 “消元”，即把 “二元” 转化为 “一元”，将陌生的二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来求解。
知识点：用代入消元法解二元一次方程组的步骤
变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。例如，对于方程组\(\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\)，如果选择第一个方程，可将其变形为\(x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1}\)（或\(y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1}\)）。
代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
回代：将求出的未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数的值。
检验：把求得的两个未知数的值代入原方程组中的两个方程，检验是否都是方程的解。
写出答案：用大括号 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 把两个未知数的值括起来，作为方程组的解。
例题解析
例 1：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)。
解：变形：由方程①\(x + y = 8\)，得\(x = 8 - y\) ③。
代入：把③代入方程②\(2x + 3y = 21\)，得：\(2(8 - y)+3y = 21\)
求解：解这个一元一次方程：\(
\begin{align*}
16 - 2y + 3y&=21\\
16 + y&=21\\
y&=5
\end{align*}
\)
回代：把\(y = 5\)代入③，得\(x = 8 - 5 = 3\)。
检验：把\(x = 3\)，\(y = 5\)代入原方程组：
方程①：左边\(=3 + 5 = 8\)，右边\(=8\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=2 3 + 3 5 = 6 + 15 = 21\)，右边\(=21\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}\)。
例 2：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}3x - y = 5\\5x + 2y = 15\end{cases}\)。
解：变形：由方程①\(3x - y = 5\)，得\(y = 3x - 5\) ③。
代入：把③代入方程②\(5x + 2y = 15\)，得：\(5x + 2(3x - 5)=15\)
求解：解这个一元一次方程：\(
\begin{align*}
5x + 6x - 10&=15\\
11x&=25\\
x&=\frac{25}{11}
\end{align*}
\)
回代：把\(x = \frac{25}{11}\)代入③，得\(y = 3 \frac{25}{11}-5=\frac{75}{11}-\frac{55}{11}=\frac{20}{11}\)。
检验：把\(x = \frac{25}{11}\)，\(y = \frac{20}{11}\)代入原方程组：
方程①：左边\(=3 \frac{25}{11}-\frac{20}{11}=\frac{75}{11}-\frac{20}{11}=\frac{55}{11}=5\)，右边\(=5\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=5 \frac{25}{11}+2 \frac{20}{11}=\frac{125}{11}+\frac{40}{11}=\frac{165}{11}=15\)，右边\(=15\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x = \frac{25}{11}\\y = \frac{20}{11}\end{cases}\)。
例 3：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 16\\x + 4y = 13\end{cases}\)。
解：变形：由方程②\(x + 4y = 13\)，得\(x = 13 - 4y\) ③。
代入：把③代入方程①\(2x + 3y = 16\)，得：\(2(13 - 4y)+3y = 16\)
求解：解这个一元一次方程：\(
\begin{align*}
26 - 8y + 3y&=16\\
26 - 5y&=16\\
-5y&=-10\\
y&=2
\end{align*}
\)
回代：把\(y = 2\)代入③，得\(x = 13 - 4 2 = 13 - 8 = 5\)。
检验：把\(x = 5\)，\(y = 2\)代入原方程组：
方程①：左边\(=2 5 + 3 2 = 10 + 6 = 16\)，右边\(=16\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=5 + 4 2 = 5 + 8 = 13\)，右边\(=13\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x = 5\\y = 2\end{cases}\)。
例 4：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 5\\y = 1 - x\end{cases}\)。
解：代入：把方程②\(y = 1 - x\)代入方程①\(3x + 2y = 5\)，得：\(3x + 2(1 - x)=5\)
求解：解这个一元一次方程：\(
\begin{align*}
3x + 2 - 2x&=5\\
x + 2&=5\\
x&=3
\end{align*}
\)
回代：把\(x = 3\)代入方程②，得\(y = 1 - 3 = -2\)。
检验：把\(x = 3\)，\(y = -2\)代入原方程组：
方程①：左边\(=3 3 + 2 (-2)=9 - 4 = 5\)，右边\(=5\)，左边 = 右边；
方程②：左边\(=-2\)，右边\(=1 - 3=-2\)，左边 = 右边。
所以，原方程组的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}\)。
小练习
用代入消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}x = 2y\\x + y = 3\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}y = x - 1\\2x + y = 5\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}2x + y = 7\\3x - 4y = 5\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)。
已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 4\\bx + ay = 5\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)，求\(a + b\)的值。
若\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}mx + ny = 1\\nx - my = 7\end{cases}\)的解，求\(m\)，\(n\)的值。
思考讨论
用代入消元法解二元一次方程组时，选择哪个方程进行变形以及用哪个未知数表示另一个未知数有什么技巧？
选择方程时，应选择系数比较简单的方程，这样变形起来更简便。用哪个未知数表示另一个未知数，要看哪个未知数的系数的绝对值比较小，一般选择系数的绝对值为 1 的未知数，这样可以避免出现分数，使计算更简单。例如，方程组\(\begin{cases}x + 2y = 5\\3x - y = 1\end{cases}\)中，第二个方程\(3x - y = 1\)中\(y\)的系数是\(-1\)，所以选择用\(x\)表示\(y\)，即\(y = 3x - 1\)。
代入消元法的关键是什么？在代入过程中容易出现哪些错误？
代入消元法的关键是 “消元”，即通过代入将二元一次方程组转化为一元一次方程。在代入过程中，容易出现的错误有：
变形后的方程代入时，漏乘系数或符号错误；
回代时，代入的不是变形后的方程，而是原方程，导致计算复杂或出错；
忘记检验，导致求出的解不是原方程组的解。
课堂小结
代入消元法的概念：将二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解的方法。
代入消元法的思想：消元，将二元转化为一元。
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：变形、代入、求解、回代、检验、写出答案。
运用代入消元法时，要注意选择合适的方程进行变形，代入时要仔细计算，避免出现错误，最后一定要检验所求的解是否正确。
课后作业
用代入消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}y = 2x - 3\\3x + 2y = 8\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}2x - y = 5\\3x + 4y = 2\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}3x + 2y = 19\\2x - y = 1\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}4x + 7y = 10\\6x - 11y + 28 = 0\end{cases}\)。
已知\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)是方程组\(\begin{cases}2x + (m - 1)y = 2\\nx + y = 1\end{cases}\)的解，求\(m + n\)的值。
甲、乙两人共同解方程组\(\begin{cases}ax + 5y = 15\\4x - by = -2\end{cases}\)，由于甲看错了方程中的\(a\)，得到方程组的解为\(\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}\)；乙看错了方程中的\(b\)，得到方程组的解为\(\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}\)。试计算\(a^{2023}+\left(-\frac{1}{10}b\right)^{2024}\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
根据已知的x或y的值，求另一个未知数的值，并填入下表.
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值.
二元一次方程有无数组解！
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
观察表格可知， 同时满足两个二元一次方程.
所以 是此二元一次方程组的解.
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值.
探索新知
思考：问题1（“鸡兔同笼”）中，我们得到方程组
x+y=35
①
②
怎样求出其中x，y的值呢？
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
①
②
由①，得 y=35-x， ③
把③代入②，得2x+4(35-x)=94，
解方程，得x=23.
把x=23代入③，得y=12.
所以这个二元一次方程组的解是 .
二元一次方程组
一元一次方程
代入消元
转化
代入
消元法
二元一次方程组
一元一次方程
代入消元
转化
代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式， 再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法.
代入
消元法
例1：解方程组.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得x=3-2y，③
把③代入①，得2(3-2y)+3y=-7.
-y=-13.
y=13.
把y=13代入③，得x=3-2×13.
x=-23.
所以
变形
代入
求解
回代
写解
可以用x表示y吗 试试看.
解题步骤：
变
代
解
回
写
【教材P110 例1】
例1：解方程组.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得y= (3-x)，③
把③代入①，得2x+ (3-x)=-7.
x= .
x=-23.
把x=-23代入③，得y= (3+23).
y=13.
所以
用代入消元法解二元一次方程组：
练一练
（1） （2）
①
②
（1）解：把①代入②，得3x+2(2x-3)=8.
x=2.
把x=2代入①，得y=2×2-3=1.
所以
用代入消元法解二元一次方程组：
练一练
（1） （2）
①
②
（2）解：由①，得x=2y-1，③
把③代入②，得2(2y-1)+y=3.
y=1.
把y=1代入③，得x=1.
所以
随堂练习
1.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式：
（1）3x-2y=4； （2）5x-y=5； （3）5x+2y+1=0.
【教材P111 练习 第1题】
解：（1） ；
（3） .
（2）y=5x-5；
（1）
（2）
2.用代入法解下列方程组：
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【教材P111 练习 第2题】
3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解为
求a，b的值.
【教材P111 练习 第3题】
解：由 是二元一次方程组 的解，
得
由②，得a=9-3b.③
把③代入①，得3(9-3b)+2b=13.
-7b=-14.
b=2.
把b=2代入③，得a=9-3×2=3.
所以
4.已知关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程3x+2y=17的解，求m的值.
解：将方程②移项，得x=y+9m.③
把③式代入方程①中，得y+9m+2y=3m，所以 y=-2m.
把y用-2m代入③式，得x=7m.
把x用7m，y用-2m代入3x+2y=17中，得21m-4m=17，
解得m=1.
1星题 基础练
知识点1 二元一次方程(组)的解
1.［知识初练］在 中，
______是方程的解，____是方程 的解，
所以____是方程组 的解.(填序号)
③
③
2.若是关于，的方程的一个解，则 的
值为( )
D
A.3 B. C.1 D.
3.［2025·嘉兴模拟］下列方程可以与 组成方程组的
解为 的是( )
C
A. B.
C. D.
4.创新题·开放题 写出一个解为 的二元一次方程组：
_ ________________________.
(答案不唯一)
知识点2 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
5.［知识初练］已知方程，改写成用含 的代
数式表示的形式，则 ______.
6.已知二元一次方程，用含的代数式表示 ，
正确的是( )
C
A. B. C. D.
知识点3 代入消元法解二元一次方程组
7.［2025年1月合肥期末］用代入消元法解方程组
将①代入②可得( )
B
A. B.
C. D.
8.用代入法解方程组： 较为简便的方法是
先消去___，具体是将方程____(填“①”或“②”)变形为______
______，再代入方程____(填“①”或“②”).
②
①
9. 代入消元法
10.(4分)用代入法解方程组：
解：由②，得 ,③
将③代入①，得,解得.将 代
入③，得,所以方程组的解为
2星题 中档练
11.［2025年1月马鞍山期末］已知则与 的关系
式是________________.
12.整体思想 已知是方程 的解，则
____.
13.［2024·合肥期末］若关于， 的两个方程组
与有相同的解，则
___, ___.
6
4
【变式题】 (8分)已知关于, 的二元一次方程组
的解满足,求 的值.
解：由方程组
得因为 ，所以
,解得 .
14.(8分)用代入消元法解方程组：
(1)
解：原方程组可化为
将①代入②，得，解得 ，
将代入①，得，所以原方程组的解为
(2)
解：原方程组可化为
将①代入②，得，解得 ，
将代入①，得，所以原方程组的解为
15.(8分)［2025年1月芜湖期末］甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方程①中的 ，得到方程组
的解为乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为
(1)求， 的值；
解：由题意，得解得
(2)求出方程组的正确解.
由(1)知, ，
所以原方程组为
由①知 ，③
将③代入②，得，解得 ，
把代入③，得 .
所以原方程组的解为
3星题 提升练
16.(8分)运算能力 阅读材料：
解方程组
在本题中，先将 看成一个整体，将①整体代入②，得
，解得 .
把代入①，得，所以方程组的解为
这种解法称为“整体代入法”.若留心观察，你会发现有很多方
程组可采用此方法解答.请用这种方法解方程组
解：由①，得 ，③
把③代入②,得，解得，把 代入③，
得，解得 ，
所以方程组的解为
课堂小结
用一个未知数表示另一个未知数
代入消元
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
代入法的核心思想是消元
谢谢观看！