4.3.2线段的中线及线段的基本事实 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
4.3.2线段的中线及线段的基本事实
第4章 几何图形初步
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.3.2 线段的中线及线段的基本事实
汇报人：[教师姓名]
汇报班级：[具体班级]
知识回顾
上节课我们学习了比较线段长短的两种方法 —— 叠合法和度量法，还掌握了线段的基本事实 “两点之间，线段最短”，知道了两点之间的距离是指两点之间线段的长度。本节课我们将学习线段的一个重要概念 —— 线段的中点，以及由中点延伸出的线段中线，同时进一步巩固线段的基本事实。
学习目标
理解线段中点的概念，能准确表述线段中点的性质。
掌握线段中线的含义，能结合图形识别线段的中线。
能运用线段中点的性质解决线段长度的计算问题。
进一步巩固 “两点之间，线段最短” 这一基本事实，并能灵活运用。
培养逻辑推理能力和几何语言表达能力，提高解决几何问题的能力。
知识点：线段的中点
概念
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
图形表示
如图，点 M 是线段 AB 的中点，意味着 AM=MB，且 AM=MB=\(\frac{1}{2}\)AB，AB=2AM=2MB。
A——M——B
性质
若点 M 是线段 AB 的中点，则有：
AM=MB
AM=\(\frac{1}{2}\)AB
MB=\(\frac{1}{2}\)AB
AB=2AM=2MB
这些性质是解决线段长度计算问题的重要依据，在解题时可以根据需要灵活选用。
实例
生活中也有很多线段中点的例子，比如一根绳子的中点，将绳子对折后，两端重合的点就是绳子的中点；一根直尺上刻度 5cm 的位置，是刻度 0cm 和刻度 10cm 之间线段的中点。
知识点：线段的中线
含义
在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
图形表示
如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，那么线段 AD 就是△ABC 的一条中线。
A
/ \
/ \
B——D——C
特征
三角形的中线是一条线段，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是该顶点所对边的中点。
一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
实例
在三角形框架中，连接一个顶点和对边中点的线段就是该三角形的中线，它可以将三角形分成两个面积相等的小三角形，这一性质在几何图形的面积计算中经常用到。
知识点：线段基本事实的回顾与拓展
基本事实回顾
“两点之间，线段最短”：两点之间的所有连线中，线段的长度最短，这条线段的长度叫做这两点之间的距离。
拓展应用
最短路径问题：在平面图形中，求从一个点到另一个点的最短路径，通常可以利用 “两点之间，线段最短” 来解决。例如，在一个长方形中，从一个顶点到对角顶点的最短路径是长方形的对角线，因为对角线是连接这两个顶点的线段。
距离的计算：根据两点之间的距离是两点之间线段的长度，我们可以通过测量线段的长度来得到两点之间的距离，也可以根据线段的和差关系计算两点之间的距离。
例题解析
例 1：已知线段 AB=8cm，点 C 是线段 AB 的中点，求 AC 和 BC 的长度。
解：因为点 C 是线段 AB 的中点，根据线段中点的性质，AC=BC=\(\frac{1}{2}\)AB。
已知 AB=8cm，所以 AC=BC=\(\frac{1}{2}\times8=4\)cm。
答：AC 的长度是 4cm，BC 的长度是 4cm。
例 2：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，已知 BC=10cm，求 BD 和 DC 的长度。
A
/ \
/ \
B——D——C
解：因为 AD 是 BC 边上的中线，所以点 D 是 BC 的中点，根据线段中点的性质，BD=DC=\(\frac{1}{2}\)BC。
已知 BC=10cm，所以 BD=DC=\(\frac{1}{2}\times10=5\)cm。
答：BD 的长度是 5cm，DC 的长度是 5cm。
例 3：如图，点 M 是线段 AB 上的一点，AM=5cm，MB=3cm，点 N 是线段 AM 的中点，求线段 AN 和 NB 的长度。
A——N——M——B
解：因为点 N 是线段 AM 的中点，所以 AN=\(\frac{1}{2}\)AM。
已知 AM=5cm，所以 AN=\(\frac{1}{2}\times5=2.5\)cm。
又因为 NB=NM+MB，且 NM=AN=2.5cm，MB=3cm，所以 NB=2.5+3=5.5cm。
答：线段 AN 的长度是 2.5cm，线段 NB 的长度是 5.5cm。
例 4：如图，从点 A 到点 B 有四条路线，分别是①A→C→B；②A→D→B；③A→E→B；④A→B。请指出最短的路线，并说明理由。
A
|
|
C D E
| | |
| | |
B
解：最短的路线是④A→B。
理由是根据线段的基本事实 “两点之间，线段最短”，点 A 和点 B 之间的所有连线中，线段 AB 的长度最短，而其他三条路线都是折线，长度都大于线段 AB 的长度。
小练习
填空题：
（1）若点 M 是线段 AB 的中点，AB=12cm，则 AM=______cm，BM=______cm。
（2）在△ABC 中，BE 是 AC 边上的中线，AC=8cm，则 AE=______cm，EC=______cm。
（3）两点之间的所有连线中，最短，这条线段的长度叫做。
选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 线段的中点有两个
B. 三角形的中线是射线
C. 若点 P 是线段 AB 的中点，则 AP=PB
D. 两点之间的距离是指两点之间的直线长度
（2）如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是 AC 的中点，点 N 是 BC 的中点，若 AB=10cm，则 MN 的长度是（ ）
A——M——C——N——B
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
解答题：
（1）已知线段 AB=16cm，点 C 在 AB 的延长线上，点 D 是线段 BC 的中点，且 CD=3cm，求线段 AC 的长度。
（2）在△ABC 中，AB=AC=10cm，AD 是 BC 边上的中线，AD=8cm，求 BC 的长度。
思考讨论
线段的中点一定在这条线段上吗？为什么？
线段的中点一定在这条线段上。因为线段的中点是将线段分成两条相等线段的点，只有在线段上才能满足这一条件，如果点在线段的延长线上，就无法将线段分成两条相等的线段，所以线段的中点必然在这条线段上。
一个三角形有几条中线？这些中线有什么位置关系？
一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和它所对边的中点。三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍，这是三角形重心的一个重要性质。
课堂小结
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，具有 AM=MB=\(\frac{1}{2}\)AB，AB=2AM=2MB 等性质，是解决线段长度计算的关键。
线段的中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，一个三角形有三条中线，它们相交于三角形的重心。
线段的基本事实：“两点之间，线段最短”，两点之间的距离是指两点之间线段的长度，在解决最短路径和距离计算问题中有着重要应用。
通过本节课的学习，我们对线段的相关知识有了更深入的理解，掌握了线段中点和中线的概念及性质，能运用这些知识解决线段长度的计算问题，同时进一步巩固了线段的基本事实，为后续学习更复杂的几何知识打下了基础。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
线段AB上有一点C，且点C到点A，B的距离相等，那么点C是线段AB的什么点呢？
C
B
A
如图，点C在线段AB上，且AC=CB，
像这样把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点.
此时，AC=CB= AB 或 AB=2AC=2CB.
新知探究
知识点1
线段的中点
A
B
C
注意:（1）线段的中点一定在直线上，并且只有一个.
（2）若点C是线段AB的中点，则AC=CB；但反过来，若AC=CB , 点C不一定是AB的中点，如图所示.
知识拓展:
线段的三等分点：如图，若点C，D将线段AB分成相等的三条线段AC，CD，DB，则点C，D叫作线段AB的三等分点，这时AC=CD=DB= AB（类似地，还有四等分点、五等分点等）.
解：如图，
因为AB=4，点D为AB的中点，所以AD= AB=2.
又因为AC=11，点E为AC中点，所以AE= AC =5.5.
所以DE=AE-AD =5.5-2 =3.5.
例 3 已知线段AB=4，延长AB至点C，使AC=11.点D是AB的中点，点E是AC的中点，求DE的长.
A
C
D
B
E
思考：1. 如图，甲、乙两地间有曲线、折线、线段等4条路线，其中哪一条路线最短？
甲
乙
线段的路线最短
知识点2
线段的基本事实
思考：2. 如图，人们修建公路遇到大山阻隔时，常会打一条隧道直穿过去，为什么？
因为修隧道可以缩短两地之间的路程， 实现路途近的目的。
线段有如下的基本事实：
两点之间的所有连线中，线段最短.
两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离.
这5条线中，
线段AB最短.
线段AB的长度就是A，B两点之间的距离.
A
B
注意:
（1）两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成线段AB;
（2）两点间的连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段、折线和曲线，有无数条.
1. 如图，P是线段MN的中点，那么MN=____MP=____PN，MP=PN=______MN.
练习
M
N
P
2
2
【教材P152 练习 第1题】
2. 如图，用刻度尺量出AB，AC，BC的长度，并比较AB+AC与BC的长短．不通过测量，你能比较AB+AC与BC的长短吗？依据是什么？
A
B
C
解:
AB+AC >BC.
能，依据是“两点之间的所有连线中，线段最短”.
【教材P152 练习 第2题】
1.下列说法中正确的是（ ）
A.连结两点的线段叫作两点间的距离
B.在所有连接两点的线中，直线最短
C.线段AB就是表示点A到点B的距离
D.点A到点B的距离就是线段AB的长度
D
随堂练习
2.已知A、B、C三点在同一直线上，如果
线段AB=6cm，BC=3cm，A、C两点的
距离为d，那么（ ）
A. d=9cm B. d=3cm
C. d=9cm或d=3cm D. d大小不确定
C
3.如图，已知线段AB=6 cm，C是AB的中点，D是AC的中点，求线段BD的长.
A
B
C
D
解:因为AB=6 cm，C是AB的中点，
所以AC=BC= AB=3 cm.
因为D是AC的中点，所以AD=CD= AC=1.5 cm.
所以BD=BC+CD=3+1.5=4.5 （ cm ）.
1星题 基础练
知识点1 线段的中点
1.［知识初练］下列条件中能确定是线段 的中点的是
( )
C
A. B.
C. D.
2.如图，,，为线段的中点，则 的长度
为( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
3.如图,是线段的中点,点,把线段三等分.已知 的
长为1,则线段 的长为___.
6
知识点2 线段的基本事实以及两点间距离
4.， 两点间的距离是( )
D
A.连接两点的直线 B.连接两点的线段
C.连接两点的直线的长度 D.连接两点的线段的长度
5.［2024·厦门十一中期末］如图，一只蚂蚁外出觅食，它与
食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁
选择第____条路径最近，理由是__________________.
②
两点之间线段最短
2星题 中档练
6.分类讨论思想 如图，为线段的中点， ，若点
在直线上，且，则 的长为______.
3或7
7.(12分)［2025年1月安庆期末改编］如图，已知点， 在线
段上，且 .
(1)比较线段的长度:___(填“ ”“”或“ ”);
(2)已知,,是的中点,是 的中点,求线
段 的长度；
解：由题意得.因为 是
的中点，是 的中点，所以
，所以
.
(3)在(2)中,如果,,其他条件不变,那么
_________(用含, 的式子表示).
8.(12分)［2025·佛山月考］平面上有， ，
， 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府
准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，
请你画图确定蓄水池 的位置，使它与四个村庄的距离之和最
小，，，四个村庄的地理位置如图所示 ，并说明理由.
解：如图所示，连接，交于点，点 就是蓄水池的位
置，这一点到，，， 四个村庄的距离之和最小.理由：
两点之间的所有连线中，线段最短.
1.线段的基本事实：
两点之间的所有的连线中，线段最短.
2.两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离.
课堂小结
谢谢观看！