第3章 一次方程与方程组【章末复习】 课件（共47张PPT）

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章末复习
第3章 一次方程与方程组
【2025-2026学年】2024沪科版 数学 七年级上册
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第 3 章 一次方程与方程组 章末复习
复习目标：
系统梳理本章所学知识，构建知识网络，加深对一次方程与方程组相关概念的理解。
熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的解法，并能灵活运用解决实际问题。
总结解题规律和易错点，提高解题的准确性和效率。
知识网络构建
一次方程与方程组
├── 一元一次方程
│ ├── 概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程
│ ├── 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
│ └── 应用：列方程解决实际问题（如行程、工程、利润等）
├── 二元一次方程组
│ ├── 概念：含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1的两个方程组成的方程组
│ ├── 解法：代入消元法、加减消元法
│ └── 应用：解决含两个未知量的实际问题（如比赛得分、调配、配比等）
└── 三元一次方程组
├── 概念：含有三个未知数，含有未知数的项的次数都是1的三个方程组成的方程组
├── 解法：消元（先转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程）
└── 应用：解决含三个未知量的实际问题
重点知识回顾
一、一元一次方程
等式的性质
性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果\(a = b\)，那么\(a\pm c = b\pm c\)。
性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c\neq0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)。
解一元一次方程的注意事项
去分母时，不要漏乘不含分母的项。
去括号时，若括号前是负号，括号内各项要变号。
移项要变号。
系数化为 1 时，注意分子分母不要颠倒。
二、二元一次方程组
二元一次方程（组）的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解（有无数组）。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解（有唯一解、无解或无数组解）。
解法对比
代入消元法：适用于有一个未知数的系数为 1 或 - 1 的方程组，将其变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程。
加减消元法：适用于同一未知数的系数相等或互为相反数，或通过变形可使其满足该条件的方程组，通过相加或相减消去一个未知数。
三、三元一次方程组
解法核心：消元，即通过代入或加减消元法，逐步将三元转化为二元，再转化为一元。
步骤：消去一个未知数得到二元一次方程组→解二元一次方程组→回代求出第三个未知数→检验。
四、方程（组）的应用
解题步骤：审（审题，找等量关系）→设（设未知数）→列（列方程或方程组）→解（解方程或方程组）→验（检验解的合理性）→答（写出答案）。
常见题型：行程问题（相遇、追及、顺逆流）、工程问题、利润问题、比赛得分问题、调配问题、配比问题、配套问题等。
典型例题解析
例 1：解一元一次方程
解方程：\(\frac{2x - 1}{3}-\frac{5x + 1}{2}=1\)
解：去分母（两边同乘 6），得：\(2(2x - 1)-3(5x + 1)=6\)
去括号：\(4x - 2 - 15x - 3 = 6\)
移项：\(4x - 15x = 6 + 2 + 3\)
合并同类项：\(-11x = 11\)
系数化为 1：\(x=-1\)
例 2：解二元一次方程组
解方程组：\(\begin{cases}3x + 2y = 13& \\5x - 3y = 9& \end{cases}\)
解：①×3 + ②×2，消去\(y\)：\(9x + 6y + 10x - 6y = 39 + 18\)\(19x = 57\)，解得\(x = 3\)
把\(x = 3\)代入①：\(3 3 + 2y = 13\)，解得\(y = 2\)
所以，方程组的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)
例 3：解三元一次方程组
解方程组：\(\begin{cases}x + y + z = 12& \\x + 2y + 5z = 22& \\x = 4y& \end{cases}\)
解：把③代入①②，得：\(\begin{cases}4y + y + z = 12\\4y + 2y + 5z = 22\end{cases}\)，化简为\(\begin{cases}5y + z = 12& \\6y + 5z = 22& ¤\end{cases}\)
④×5 - ⑤：\(25y + 5z - 6y - 5z = 60 - 22\)\(19y = 38\)，解得\(y = 2\)
把\(y = 2\)代入③，得\(x = 8\)
把\(x = 8\)，\(y = 2\)代入①，得\(z = 2\)
所以，方程组的解是\(\begin{cases}x = 8\\y = 2\\z = 2\end{cases}\)
例 4：方程（组）的应用
某商场购进甲、乙两种商品共 50 件，甲种商品进价每件 35 元，利润率是 20%；乙种商品进价每件 20 元，利润率是 15%，共获利 278 元。问甲、乙两种商品各购进多少件？
解：设购进甲种商品\(x\)件，乙种商品\(y\)件。
根据题意，得\(\begin{cases}x + y = 50\\35 20\%x + 20 15\%y = 278\end{cases}\)
化简第二个方程：\(7x + 3y = 278\)
由①得\(x = 50 - y\)，代入②：\(7(50 - y)+3y = 278\)\(350 - 7y + 3y = 278\)\(-4y = -72\)，解得\(y = 18\)
则\(x = 50 - 18 = 32\)
答：购进甲种商品 32 件，乙种商品 18 件。
易错点解析
去分母漏乘：解方程\(\frac{x}{2}-1=\frac{x - 1}{3}\)时，易漏乘常数项 1，正确去分母应为\(3x - 6 = 2(x - 1)\)。
解方程组时符号错误：用加减消元法解\(\begin{cases}2x - y = 5\\3x + y = 10\end{cases}\)时，相加后应为\(5x = 15\)，而非\(-x = -5\)。
列方程时等量关系错误：行程问题中，相遇问题是 “路程和 = 总路程”，追及问题是 “路程差 = 初始距离”，易混淆两者关系。
忽略实际问题的解的合理性：如人数、物品数量等应为正整数，解出负数或小数时需检验是否符合题意。
复习题
解下列方程（组）：
（1）\(4(x - 1)-3(2x + 1)=7\)；
（2）\(\begin{cases}2x + y = 5\\x - 3y = 6\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}x + 2y - z = 3\\2x - y + z = 5\\3x + y - 2z = 4\end{cases}\)。
当\(k\)为何值时，方程\(2(x - 1)=k + x\)的解与方程\(\frac{x + 3}{2}=2x - 1\)的解相同？
某工厂计划生产 A、B 两种产品共 100 件，已知生产一件 A 产品需耗煤 3 吨、耗电 2 度；生产一件 B 产品需耗煤 2 吨、耗电 4 度。该工厂现有煤 300 吨，电 200 度。问 A、B 两种产品各生产多少件时，耗煤和耗电刚好都用完？
甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行，若甲先出发 2 小时，则乙出发 2.5 小时后两人相遇；若乙先出发 2 小时，则甲出发 3 小时后两人相遇。求甲、乙两人的速度。
一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大 1，个位上的数字比十位上的数字的 3 倍少 2，若将这个三位数的百位数字与个位数字对调，所得的新三位数与原三位数的和是 1171，求原三位数。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
等式的基本性质
1
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式. 即
如果 a＝b，那么 a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.
1
2
性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式. 即
如果 a＝b，那么 ac＝bc， （c≠0）.
3
性质3：如果 a＝b，那么 b＝a.（对称性）.
例如，由 -4=x，得 x=-4.
在解题过程中，根据等式的传递性，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换.
4
性质4：如果 a＝b，b=c，那么 a＝c.（传递性）.
例如，x=3，又y=x，所以y=3.
一元一次方程
2
只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程.
使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解. 一元方程的解也叫作根.
步骤 根据 注意事项
去分母 等式性质2 ①不漏乘不含分母的项；
②注意给分子添括号.
去括号 分配律、 去括号法则 ①不漏乘括号里的项；
②括号前是“-”号，要变号.
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
系数化1 等式性质2 两边同除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数.
解一元一次方程
3
弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题里的未知数；
分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）；
根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
解这个方程，求出未知数的值；
检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.
1
2
3
4
5
列方程解应用题的步骤
4
二元一次方程组
5
含有两个未知数的一次方程，叫作二元一次方程.
由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解. 二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程.
解二元一次方程组的基本思路是消元.
解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入消元法和加减消元法.
二元一次方程组有哪两种解法？
消去两个未知数中的一个．
解二元一次方程组中“代入”与“加减”的目的是什么？
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；
④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解.
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）如果某个未知数的系数的绝对值相等时，采用加减消去一个未知数.
（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元.
（3）对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑.
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
三元一次方程组的解法：通过消元转化成解二元一次方程组的问题，再消元转化成解一元一次方程的问题.
三元一次方程组
6
联系：都是消元，转化为一元一次方程，最后求出方程组的解。
区别：未知数和方程的个数不同。
解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系和区别？
解：x＝6－2y的正整数解有
x = 4，
y = 1，
x = 2，
y = 2；
把
x = 4，
y = 1，
x = 2，
y = 2
分别代入方程x－y＝9－3k，
得k＝2或k＝3.
[解析] 因为两个方程的解相同，先求出方程2x＝ 的解，再将其代入方程3(x＋a)＝a－5x 中得到关于a的一元一次方程，从而求出a的值．
解：将4x－y=5和3x+y=9组成方程组，得
4x－y=5，
3x+y=9，
x = 2，
y = 3.
解得
将x = 4，y = 3代入方程ax+ay=－1，
得2a+3b=－1，则(2a+3b)2017= －1.
解：设方程●x＋●y＝22中x，y的系数分别为a，b，方程3x－●y＝8中y的系数为c，由题意，得方程组
4a+2b=22，
12－2c=8，
a+6b=22.
a = 4，
b = 3
c = 2.
解得
所以原方程组为
4x+3y=22，
3x－2y=8.
例5 某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告. 15秒广告每播1次收费0.8万元，30秒广告每播1次收费1.5万元.若要求每种广告播放不少于2次．
(1)两种广告的播放次数有几种安排方式？
(2)电视台选择哪种方式播放收益较大？
解：（1）设15秒的广告播放x次，30秒的广告播放y次，则15x＋30y＝120.
又因为每种广告播放不少于2次，故该方程的解为
x=2，
y=3
x = 4，
y = 2.
或
故电视台有两种播放方式：15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次或15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．
（2）当x＝4，y＝2时，
0.8×4＋1.5×2＝6.2(万元)；
当x＝2，y＝3时，
0.8×2＋1.5×3＝6.1(万元)．
所以，选择15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次收益较大．
整合1 方程(组)的相关概念及等式的基本性质
1.已知关于的方程 是一元一次方程，
则 ( )
C
A. B.2 C. D.
2.［2025年1月安庆期末］已知是关于， 的方程
的一个解，则 的值为( )
A
A.1 B. C.2 D.
3.［2025年1月滁州期末］下列各式中，正确的是( )
B
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
整合2 方程(组)的解法
4.(12分)解方程(组)
(1) ；
解： ，去分母，得
，去括号，得
，移项，得
，合并同类项，得
，两边同除以，得 .
(2)
解：整理，得，得 ,解得
.把代入②，得,解得 .所以原
方程组的解为
(3)
解：，得,解得.,得 ,解得
.将,代入③，得 .所以原方程组的解为
整合3 方程(组)的应用
5.某商场举办“迎元旦送大礼”促销活动，某品牌冰箱若按标
价的八折销售，每件可获利200元，其利润率为 ，若按
标价的八五折销售，每件可获利( )
D
A.475元 B.375元 C.562.5元 D.337.5元
6.［2025·天津模拟］甲地距乙地 ，有一段上坡路与
一段下坡路，一天李海同学保持上坡路每小时走 ，下坡
路每小时走的速度，从甲地到乙地共用了 .若设
李海同学上坡路用了，下坡路用了 ，可列出方程
组为_ ______________.
7.(8分) 数学文化 [2025年1月合肥期末] 我国传统数学名著
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛
二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“5头
牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每
头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解答以
下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子；
解：设每头牛值两银子，每只羊值 两银子，根据题意，得
解得
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求：既有牛也有羊，
且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有
的购买方法.
设购买头牛，只羊，依题意有 ，所以
，因为，都是正整数，所以或 或
所以有三种购买方法：①购买1头牛，8只羊；②购买
3头牛，5只羊；③购买5头牛，2只羊.
整合4 两种数学思想
8.整体思想 已知关于，的二元一次方程组
的解互为相反数，则 的值为___.
1
9.分类讨论思想 甲、乙两人分别从、 两地同时出发，相
向而行，甲的速度是，乙的速度是甲的速度的 ，
出发后两人之间的距离为、两地之间距离的，则 、
两地之间的距离为____________ .
168或
由题意得：乙的速度为，设、
两地之间的距离为，①当甲、乙未相遇，出发 后两
人之间的距离为、两地之间距离的 时，则有：
，解得 .②当甲、乙已经相遇，
出发后两人之间的距离为、两地之间距离的 时，则
有：，解得 .
综上所述，、两地之间的距离为或 .
10.(8分)［2023·安徽中考］根据经营情况，公司对某商品在
甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 ，乙
地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后
甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、 元，
根据题意得，
解得
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元、50元.
11.(8分)［2024·安徽中考］乡村振兴战略实施以来，很多外
出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用
新技术种植， 两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需
人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
4 8
3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，
投入资金共60万元.问， 这两种农作物的种植面积各多少
公顷？
解：设农作物的种植面积为公顷， 农作物的种植面积为
公顷，
由题意可得，解得
答：农作物的种植面积为3公顷， 农作物的种植面积为4
公顷.
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