1.9.2 有理数乘法的运算律 课件（共49张PPT）

(共49张PPT)
1.9.2 有理数乘法的运算律
第1章 有理数
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：1.9.2 有理数乘法的运算律
幻灯片 2：学习目标
掌握有理数乘法的交换律、结合律和分配律，能用字母表示这些运算律。
能运用乘法运算律简化有理数的乘法运算，提高计算效率。
体会运算律在数学运算中的作用，培养简便运算的意识。
幻灯片 3：复习引入
回顾有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与 0 相乘，都得 0。
多个有理数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，偶数时积为正；有一个因数为 0 则积为 0。
计算下列各题：
（1）5×(-6) 与 (-6)×5
（2）[3×(-4)]×(-5) 与 3×[(-4)×(-5)]
（3）5×[3 + (-7)] 与 5×3 + 5×(-7)
观察：每组题的结果有什么关系？这说明有理数乘法是否也存在与小学乘法类似的运算律？
引入：本节课我们就来学习有理数乘法的运算律。
幻灯片 4：乘法交换律
内容：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
字母表示：a×b = b×a（可简写为 ab = ba）。
示例：
(-3)×5 = -15，5×(-3) = -15，所以 (-3)×5 = 5×(-3)。
\(\frac{1}{2}\)×(-4) = -2，(-4)×\(\frac{1}{2}\) = -2，所以\(\frac{1}{2}\)×(-4) = (-4)×\(\frac{1}{2}\)。
说明：交换因数位置时，要连同因数的符号一起交换，积的大小不变。
幻灯片 5：乘法结合律
内容：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
字母表示：(a×b)×c = a×(b×c)（可简写为 (ab) c = a (bc)）。
示例：
[(-2)×(-3)]×4 = 6×4 = 24，(-2)×[(-3)×4] = (-2)×(-12) = 24，所以 [(-2)×(-3)]×4 = (-2)×[(-3)×4]。
(0.5×(-4))×(-3) = (-2)×(-3) = 6，0.5×[(-4)×(-3)] = 0.5×12 = 6，所以 (0.5×(-4))×(-3) = 0.5×[(-4)×(-3)]。
说明：运用结合律时，改变相乘的顺序，积的大小不变，可根据数字特点调整顺序简化计算。
幻灯片 6：乘法分配律
内容：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
字母表示：a×(b + c) = a×b + a×c（可简写为 a (b + c) = ab + ac）。
示例：
(-5)×[2 + (-3)] = (-5)×(-1) = 5，(-5)×2 + (-5)×(-3) = -10 + 15 = 5，所以 (-5)×[2 + (-3)] = (-5)×2 + (-5)×(-3)。
4×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{4}\)) = 4×\(\frac{1}{4}\) = 1，4×\(\frac{1}{2}\) - 4×\(\frac{1}{4}\) = 2 - 1 = 1，所以 4×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{4}\)) = 4×\(\frac{1}{2}\) - 4×\(\frac{1}{4}\)。
说明：分配律可以正向使用，也可以逆向使用（即提取公因式），是简化计算的重要工具。
幻灯片 7：例题 1—— 运用交换律和结合律简化计算
题目：计算下列各题：
（1）(-8)×(-5)×(-0.125)
（2）(\(\frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{6}\))×(-12)
解答过程：
（1）观察到 - 8 与 - 0.125 相乘可凑整，运用交换律：
(-8)×(-5)×(-0.125) = (-8)×(-0.125)×(-5)
= 1×(-5) = -5
（2）运用结合律先计算前两个数或后两个数，这里直接计算更简便，也可看作分配律的应用：
(\(\frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{6}\))×(-12) = \(\frac{1}{4}\)×(-12) - \(\frac{1}{6}\)×(-12)
= -3 + 2 = -1
结论：（1）-5；（2）-1。
幻灯片 8：例题 2—— 运用分配律简化计算
题目：计算：(-24)×(\(\frac{3}{8}\) - \(\frac{5}{12}\) + \(\frac{1}{4}\))
解答过程：
运用分配律，将 - 24 分别与括号内的每一项相乘：
(-24)×\(\frac{3}{8}\) - (-24)×\(\frac{5}{12}\) + (-24)×\(\frac{1}{4}\)
= -9 + 10 - 6
= (-9 - 6) + 10 = -15 + 10 = -5
结论：-5。
幻灯片 9：例题 3—— 多个有理数相乘的简便运算
题目：计算：(-10)×\(\frac{1}{3}\)×(-0.1)×6
解答过程：
运用交换律和结合律，将能凑整的数结合：
[(-10)×(-0.1)]×(\(\frac{1}{3}\)×6)
= 1×2 = 2
结论：2。
幻灯片 10：课堂练习 1
题目：用简便方法计算下列各题：
（1）(-5)×8×(-7)×(-0.25)
（2）\(\frac{4}{5}\)×(-\(\frac{5}{13}\)) - (-\(\frac{3}{5}\))×(-\(\frac{5}{13}\)) - \(\frac{5}{13}\)×(-1\(\frac{3}{5}\))
答案：
（1）[(-5)×(-7)]×[8×(-0.25)] = 35×(-2) = -70
（2）\(\frac{4}{5}\)×(-\(\frac{5}{13}\)) - \(\frac{3}{5}\)×\(\frac{5}{13}\) + \(\frac{5}{13}\)×\(\frac{8}{5}\) = (-\(\frac{5}{13}\))×(\(\frac{4}{5}\) + \(\frac{3}{5}\) - \(\frac{8}{5}\)) = (-\(\frac{5}{13}\))×(-\(\frac{1}{5}\)) = \(\frac{1}{13}\)
幻灯片 11：课堂练习 2
题目：计算：(-36)×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{5}{6}\))
答案：(-36)×\(\frac{1}{2}\) + (-36)×(-\(\frac{1}{3}\)) + (-36)×\(\frac{5}{6}\) = -18 + 12 - 30 = -36
幻灯片 12：课堂练习 3
题目：某车间有 20 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个。在这 20 名工人中，派 x 人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元。
（1）用含 x 的式子表示该车间每天所获利润。
（2）若 x = 8，求该车间每天所获利润。
答案：
（1）16×5x + 24×4×(20 - x) = 80x + 96×(20 - x) = 80x + 1920 - 96x = -16x + 1920
（2）当 x = 8 时，-16×8 + 1920 = -128 + 1920 = 1792（元）
幻灯片 13：易错点分析
常见错误：
运用分配律时，漏乘括号内的某一项或符号错误。例如计算 - 2×(3 - 5) 时，错误地算成 - 2×3 - 5 = -6 - 5 = -11，忽略了 - 2 与 - 5 相乘。
交换因数位置时，忘记连同符号一起交换。如计算 (-3)×4×(-2) 时，错误地交换为 3×4×(-2)，改变了因数的符号。
多个数相乘运用结合律时，分组不当导致计算复杂。比如计算 12×(-\(\frac{1}{3}\))×(-\(\frac{1}{4}\)) 时，没有将 12 与 -\(\frac{1}{3}\)、-\(\frac{1}{4}\)结合，而是按顺序计算。
规避方法：
运用分配律时，确保括号内的每一项都与括号外的数相乘，注意符号变化，正数乘负数得负，负数乘负数得正。
交换因数位置时，务必带着符号移动，保证每个因数的符号与原数一致。
结合多个数相乘时，观察数的特点，优先将乘积为整数或便于计算的数结合，减少运算步骤。
幻灯片 14：课堂小结
乘法交换律：ab = ba，交换因数位置，积不变。
乘法结合律：(ab) c = a (bc)，改变相乘顺序，积不变。
乘法分配律：a (b + c) = ab + ac，可正向或逆向使用，简化计算。
运用技巧：根据数字特点，灵活选择运算律，优先凑整、提取公因式，注意符号变化。
幻灯片 15：布置作业
基础作业：教材课后练习题第 4、5、6 题（运用乘法运算律简化计算）。
提升作业：计算：49\(\frac{12}{13}\)×(-13)。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘，都得 0 .
先确定积的正负号，
然后把绝对值相乘．
进行有理数的乘法运算的步骤：
复习导入
小学里我们学习了哪些乘法的运算律？
乘法的交换律：
乘法的结合律：
乘法的分配律：
a×b＝b×a
（a×b）×c＝a×（b×c）
（a＋b）×c＝ac＋bc
在小学里我们知道，数的乘法满足交换律和结合律，例如：
3×5 = 5×3
（3 ×5） × 2 = 3 × （5×2）
引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢？也就是说，上面两个等式中，将 3、5、2 换成任意的有理数，是否仍然成立？
探究新知
知识点 1
乘法交换律和乘法结合律
（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：
×
×
和
7 ×(﹣5 ) = (﹣5 )× 7 =
(﹣8 )× (﹣4 ) = (﹣4 )×(﹣8 ) =
﹣35
32
32
﹣35
乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变．
ab = ba
有理数的乘法仍满足交换律．
你发现了什么？
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□ 、○和◇内，并比较两个运算结果：
（ ）
（ ）
×
×
和
×
×
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．
[(﹣2)× 4 ]× (﹣3) = (﹣2)×[ 4 × (﹣3) ] =
[(﹣4)× (﹣6)] × (﹣2) = (﹣4)×[ (﹣6) × (﹣2)] =
﹣48
﹣48
24
24
( ab ) c = a ( bc )
有理数的乘法仍满足结合律．
你发现了什么？
根据乘法交换律和乘法结合律，三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
思考：计算 (﹣2 )×5×(﹣3 ) 有哪些不同的算法？哪种算法比较简便？
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣10 )×(﹣3 )
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×(﹣3 )×5
= 6×5
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×[5×(﹣3 )]
= (﹣2 )×(﹣15 )
= 30
计算：
例2
解
凑整
2
﹣2
2
积的正负号与乘数的正负号有什么关系？
积的绝对值与乘数的绝对值有什么关系？
你能根据 直接写出下列各式的结果吗？
知识点 2
积的正负号与乘数的关系
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹢
﹢
一般地，我们有：
几个不等于 0 的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，
当负乘数的个数为奇数时，积为负；
当负乘数的个数为偶数时，积为正．
1．先确定积的正负号；
2．然后把绝对值相乘．
计算几个不等于 0 的数相乘的步骤：
0
几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0．
试一试
直接写出下列各式的结果：
﹣
30
计算：
例3
解
想一想：三个数相乘，如果积为负，其中可能有几个乘数为负数？四个数相乘，如果积为正，其中可能有几个乘数为负数？
1, 3
0, 2, 4
奇
偶
引进了负数以后，分配律是否还成立呢？
知识点 3
分配律
小学里我们还学过乘法对加法的分配律，例如
任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□ 、○和◇内，并比较两个运算结果：
5×[(-3)+(-2)]=
5×(-3)+5×(-2)=
(-7)×(10+3)=
(-7)×10+(-7)×3=
4×[25+(-2)]=
4×25+4×(-2)=
1.
2.
3.
-25
-25
-91
-91
92
92
你能发现什么？
×（
＋
）和
×
＋
×
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．
a（b+c）＝ab+ac
有理数的运算仍满足分配律．
计算：
例4
解
变形以运用分配律简化计算
计算：
例5
解
（1）
你还有其他的解法吗？
（2）
反向运用分配律
变形
（2）
变形
反向运用分配律
（1）(﹣4 )×(﹣7 )×(﹣25 )
（2）
（3）
巩固练习
【教材P45 练习 第1题】
1．计算：
＝﹣( 4×25 )×7
＝﹣700
（1）
（2）
（3）(﹣3 )×(﹣7 )﹣3×(﹣6 )
（4）1﹣(﹣1 )×(﹣1 )﹣(﹣1 )×0×(﹣1 )
【教材P45 练习 第2题】
2．计算：
【教材P47 练习 第1题】
3．计算：
（1）
（2）
（3）(﹣1002 )×17
【教材P48 练习 第2题】
4．计算：
知识点1 乘法交换律与乘法结合律
1.把下列等式所用的运算律填在题后的括号内：
（1） ;（____________）
（2） ;（____________）
（3） .（____________）
乘法交换律
乘法交换律
乘法结合律
返回
2.计算： ________.
[解析] 点拨： .
返回
3.（8分）［教材P45练习T1变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
知识点2 多个有理数相乘
4.计算下列式子，结果为正数的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.已知三个有理数的积为负数，和为正数，则这三个数( )
D
A.都是正数 B.都是负数 C.一正两负 D.一负两正
返回
6.［2025开封月考］已知，，，， ，
则 ___.
0
返回
7.（4分）计算： .
解： .
返回
知识点3 分配律
8.下面利用分配律计算 正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
9.在算式每一步的后面填上该步运用的运算律：
____________
____________
.________
乘法交换律
乘法结合律
分配律
返回
10.（8分）［教材P48练习T2变式］用简便方法计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
返回
11.下列各式中，运用运算律不正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
12.已知， .若
为负数，则 的值( )
A
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定
返回
13.若的值记为，则 的值可表示为
( )
C
A. B. C. D.
返回
14.已知，那么 的得数比395.28多
_______.
164.7
返回
15.如图所示，小明有5张写着数字的卡片，从中取出3张卡片，把这3张
卡片上的数字相乘，最大的积是_____.
125
返回
16.［2025周口期中］四个互不相等的整数的积为4，则这四个数的和是
___.
0
返回
17.（12分）简便计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式
.
返回
18.（5分） 阅读理解：
计算
时，若把与 分别看成一个整体，再利用分配律进行
运算，可以大大降低难度.过程如下：
解：设， ，则原式
.
请仿照上述方法计算：
.
解：设 ，
，则原式
.
返回
课堂小结
运算律
有理数乘法的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
利用有理数乘法的运算律简便计算
几个有理数相乘，有一个乘数为0，积就为0
几个不等于 0 的数相乘
负乘数的个数为奇数时，积为负
负乘数的个数为偶数时，积为正
ab＝ba
a（b+c）＝ab+ac
（ab）c＝a（bc）
积的正负号与乘数的关系
谢谢观看！