2.3.2 多项式 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
2.3.2.多项式
第2章 整式及其加减
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：2.3.2 多项式
幻灯片 2：学习目标
理解多项式的概念，能准确判断一个代数式是否为多项式。
掌握多项式的项、常数项、次数等概念，能正确确定多项式的项数和次数。
区分单项式和多项式，明确它们之间的联系与区别。
通过实例分析，加深对多项式的认识，提升数学理解能力。
幻灯片 3：情境引入
展示代数式：
2x + 3y、a - 2ab + b 、3m - 2m + 5、-x + 1
提问：这些代数式与我们上节课学习的单项式有什么不同？它们是由什么组成的呢？
引入：这些代数式都是由几个单项式相加组成的，它们被称为多项式。本节课我们就来学习多项式的相关知识。
幻灯片 4：多项式的定义
定义：几个单项式的和叫做多项式。
注意事项：
多项式是由单项式通过加法连接而成的，减法可以看作是加上一个负数，因此多项式中也可以含有减法运算。例如，a - b 可以看作 a + (-b)，是多项式。
多项式中不能含有字母作分母的项，因为这样的项不是单项式。例如，x + \(\frac{1}{y}\)不是多项式，因为\(\frac{1}{y}\)不是单项式。
示例：
是多项式的有：x + 2y、3a - 5、m + m - m + 1（都是单项式的和）。
不是多项式的有：\(\frac{x}{y}\) + 1（含有非单项式的项）、ab ÷ c（除法运算且字母在分母）。
幻灯片 5：多项式的项与常数项
项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。例如，多项式 3x - 2x + 5 中的项分别是 3x 、-2x、5。
注意：多项式的项包括它前面的符号，如 3x - 2x + 5 中，-2x 的符号 “-” 是项的一部分。
常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。例如，多项式 a - 3a + 7 中的常数项是 7。
项数：一个多项式含有几项，就叫做几项式。例如，2x + y 是二项式，m - 2m + 3 是三项式。
示例：
多项式 4a - 1 的项是 4a、-1，项数是 2（二项式），常数项是 - 1。
多项式 x y + 2xy - 3x + 4 的项是 x y、2xy、-3x、4，项数是 4（四项式），常数项是 4。
幻灯片 6：多项式的次数
定义：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
注意事项：
多项式的次数不是所有项的次数之和，而是由次数最高的项的次数决定的。
确定多项式次数时，需先找出每一项的次数，再从中找出最高次数作为多项式的次数。
示例：
多项式 2x + 3x - 5x + 1 中，各项的次数依次是 3、2、1、0，次数最高项是 2x （次数 3），所以这个多项式的次数是 3，称为三次四项式。
多项式 a b - 3ab + 2a - b 中，各项的次数依次是 3（2 + 1）、3（1 + 2）、1、1，次数最高项是 a b 和 - 3ab （次数 3），所以这个多项式的次数是 3，称为三次四项式。
多项式 5y + 3 的各项次数是 1、0，最高次数是 1，称为一次二项式。
幻灯片 7：整式的概念
整式：单项式和多项式统称为整式。
对比：
类别
定义
示例
单项式
数与字母的积，单独的数或字母
3x、-5、a b
多项式
几个单项式的和
2x + y、a - 3a + 1
整式
单项式和多项式的统称
上述单项式和多项式都是整式
注意：含有字母作分母的代数式不是整式，如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{y}\)都不是整式。
幻灯片 8：例题 1—— 判断是否为多项式及相关概念
题目：判断下列代数式是不是多项式，若是，指出它的项、项数、常数项和次数，并说明它是几次几项式。
（1）3x - 2x + 1
（2）x + \(\frac{1}{x}\)
（3）-a b + 2a b - ab + 3
解答过程：
（1）3x - 2x + 1 是由单项式 3x 、-2x、1 组成的和，是多项式。
项：3x 、-2x、1；项数：3；常数项：1。
各项次数：2、1、0；最高次数是 2。
结论：是二次三项式。
（2）x + \(\frac{1}{x}\)中，\(\frac{1}{x}\)不是单项式，所以不是多项式。
（3）-a b + 2a b - ab + 3 是由单项式 - a b、2a b 、-ab、3 组成的和，是多项式。
项：-a b、2a b 、-ab、3；项数：4；常数项：3。
各项次数：4（3 + 1）、4（2 + 2）、2（1 + 1）、0；最高次数是 4。
结论：是四次四项式。
结论：（1）是多项式，二次三项式；（2）不是多项式；（3）是多项式，四次四项式。
幻灯片 9：例题 2—— 根据条件写多项式
题目：写出一个二次三项式，使它的项分别为 x 、-2x、3。
解答过程：二次三项式是指次数为 2、项数为 3 的多项式。已知项为 x （次数 2）、-2x（次数 1）、3（次数 0），将它们相加即可。
结论：x - 2x + 3（答案唯一，按给定项组合）。
幻灯片 10：例题 3—— 确定多项式的次数和项数
题目：已知多项式 3x - 2x + 5（m、n 为正整数）是三次二项式，求 m、n 的值。
解答过程：
因为多项式是二项式，所以原式中只能有两项，即其中一项的系数为 0。观察多项式，常数项 5 不能为 0，所以只能是 - 2x 的系数为 0，但系数 - 2≠0，因此只能是 3x 与 - 2x 或 5 合并后为两项。
又因为是三次多项式，所以最高次数为 3。
情况一：若 3x 是最高次项，则 n + 1 = 3，n = 2；此时多项式为二项式，说明 - 2x 与 5 中有一项不存在，即 m 不符合正整数或与其他项合并，但 m 为正整数，所以只能是 - 2x 的次数与其他项相同并合并，或 5 被合并，但 5 是常数项，所以只能是 - 2x 不存在，不成立。实际应为项数为 2，所以有一项缺失，即 - 2x 的系数为 0 不成立，因此只能是 5 与另一项合并，不可能，故另一种情况：
情况二：-2x 是最高次项，则 m = 3；此时多项式为二项式，所以 3x 的系数为 0 不成立，只能是 3x 与 5 合并，不可能，或 3x 的次数低于 m 且项数为 2，即 3x 不存在，不成立。正确思路：二项式即有两项，所以其中一项为 0，只能是 3x 或 - 2x 为 0，但系数非 0，所以只能是两项中有一项与另一项为同类项合并，这里不涉及同类项，因此应为 n + 1 = 3 且 m 使得 - 2x 不存在，即 m 不是正整数，矛盾。重新分析：三次二项式，即有两项，最高次 3。所以可能：
3x 和 - 2x 中有一项为三次，另一项与常数项合并为一项，即另一项为常数项（次数 0）。所以：
若 3x 是三次项，n + 1 = 3→n=2；则 - 2x 必须是常数项，即 m=0，但 m 为正整数，不成立。
若 - 2x 是三次项，m=3；则 3x 必须是常数项，即 n + 1=0→n=-1，不是正整数，不成立。
另一可能：常数项 5 与其中一项合并，即 3x 或 - 2x 是常数项。3x 是常数项则 n + 1=0→n=-1（舍）；-2x 是常数项则 m=0（舍）。因此，正确应为多项式只有两项，即 3x + 5（-2x 不存在），此时最高次 n + 1=3→n=2，m 不存在，不成立。实际正确解法：题目可能为 “三次二项式”，即项数 2，次数 3。所以两项分别为三次项和另一项（可为常数项或低于三次的项）。因此：
当 3x 是三次项，n + 1=3→n=2；此时另一项为 - 2x ，要使项数为 2，必须存在，所以 m 可为任意正整数，但次数≤3，且多项式为二项式，成立，此时 m 可以是 1、2、3（但 m=3 时也是三次项，仍为二项式）。
当 - 2x 是三次项，m=3；另一项 3x 次数≤3，n + 1≤3→n≤2（n 正整数），项数为 2，成立。
综上，n=2，m 为任意正整数（次数≤3）或 m=3，n 为正整数（次数≤3）。结合题意，最可能 n=2，m=0（舍），正确应为 n=2，m=1 或 2；或 m=3，n=1 或 2。简化：n + 1=3→n=2，m=1（二项式：3x - 2x + 5 是三项式，错误）。哦，原多项式是 3x - 2x + 5，是三项式，要成为二项式，必须有两项合并为一项，即同类项。所以 3x 与 - 2x 是同类项，即 n + 1 = m，合并后为一项，此时多项式为二项式。最高次为 3，所以 m = n + 1 = 3→m=3，n=2。
结论：m=3，n=2。
幻灯片 11：课堂练习 1
题目：下列代数式中，哪些是多项式？
（1）a + b
（2）\(\frac{1}{x}\) + y
（3）3x - 2x
（4）-5m + 1
（5）\(\frac{a + b}{3}\)（可看作\(\frac{1}{3}a + \frac{1}{3}b\)）
答案：（1）、（3）、（4）、（5）是多项式；（2）不是多项式。
幻灯片 12：课堂练习 2
题目：指出下列多项式的项、项数、常数项和次数，并说明是几次几项式。
（1）x - 2x + 5x - 1
（2）2a b + ab - 3ab + 4
（3）3y + 1
答案：
（1）项：x 、-2x 、5x、-1；项数 4；常数项 - 1；次数 3；三次四项式。
（2）项：2a b、ab 、-3ab、4；项数 4；常数项 4；次数 3；三次四项式。
（3）项：3y、1；项数 2；常数项 1；次数 1；一次二项式。
幻灯片 13：课堂练习 3
题目：写出一个四次三项式，含有字母 x 和 y，且常数项为 - 5。
答案：答案不唯一，如 x + 2xy - 5、x y - 3y - 5 等。
幻灯片 14：单项式与多项式的对比
区别与联系
单项式
多项式
定义
数与字母的积，单独的数或字母
几个单项式的和
项数
1 项
2 项及以上
次数
所有字母指数的和（单独的数为 0）
次数最高项的次数
系数
有系数（数字因数）
无整体系数，各项有各自系数
联系
多项式由单项式组成，单项式和多项式统称为整式
幻灯片 15：易错点分析
常见错误：
对多项式的定义理解不清，把含有字母作分母的代数式当作多项式。例如，认为 x + \(\frac{1}{x}\)是多项式，实际上\(\frac{1}{x}\)不是单项式，所以它不是多项式。
确定多项式的项时，忽略项前面的符号。例如，多项式 3x - 2y 中的项错误地认为是 3x、2y，正确应为 3x、-2y。
计算多项式的次数时，误将所有项的次数相加，或者把常数项的次数算入。例如，认为多项式 x + 2x + 3 的次数是 2 + 1 + 0 = 3，正确应为最高次项 x 的次数 2。
混淆多项式的项数和次数，例如，把 “三次四项式” 说成 “四项三次式”。
对整式的概念理解错误，认为所有代数式都是整式，忽略了含有字母作分母的代数式不是整式。
规避方法：
牢记多项式是 “几个单项式的和”，确保每个组成部分都是单项式。
确定多项式的项时，严格包含项前面的符号。
计算多项式次数时，只关注各项的次数，找出最高次数作为多项式的次数，与项数无关。
明确 “几次几项式” 的表述顺序：先次数后项数。
区分整式与非整式，整式只包括单项式和多项式，排除含有字母作分母的代数式。
幻灯片 16：课堂小结
多项式的定义：几个单项式的和，可含减法（看作加负数）。
相关概念：
项（含符号）、常数项（不含字母的项）、项数（含几项）。
次数：次数最高项的次数，称为几次几项式。
与单项式的关系：统称为整式，多项式由单项式组成。
判断与确定：能准确判断多项式，正确指出其项、项数、常数项和次数。
幻灯片 17：布置作业
基础作业：教材课后练习题第 1、2 题（判断多项式，指出项、次数等）。
提升作业：已知一个多项式是二次三项式，它的各项系数之和为 0，且含有两项 x 和 - 2x，写出这个多项式。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.理解多项式、整式的概念，能准确识别多项式、整式.
2.理解多项式的项、常数项和次数.
复习回顾
判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数：
（1）3a2；（2）x﹣7；（3）-a2b3；（4）﹣πx2y；
（5）2a+3b；（6） ；（7） .
列代数式：
（1）若三角形的三条边长分别为a 、b、c，则这个三角形的周长为_________；
（2）某班有男生x人，女生21人，这个班的学生一共有________人；
（3）图中阴影部分的面积为_________.
a+b+c
x+21
2ar-πr2
探索新知
你发现这些式子和上节课所学的单项式有什么不同
a +b +c
列出的这些代数式有什么共同特点？
x +21
2ar﹣πr2
单项式+单项式
式子的特点
组成部分
单项式
各部分间的运算关系
和
几个单项式的和叫做多项式.
判断：下列代数式哪些是多项式？
xy，-6， ， ， ， ，m2-2m+1，-p2q
注意：（1）一个式子是多项式需具备两个条件：
①式子中含有运算符号“+”或“﹣”；
②分母中不含字母.
（2）多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念.
定义：几个单项式的和叫做多项式.
3x2﹣2x +5
每个单项式叫做多项式的项.
不含字母的项叫做常数项.
注意：多项式的每一项都是单项式，且每一项都包括它的正负号.
多项式的项数
3x2﹣2x +5
2次
1次
0次
多项式的次数
多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.
最高次数项的次数是2，
二次三项式
注意：多项式的次数不是所有项的次数之和.
指出下列多项式的项和次数：
（1）a3-a2b+ab2-b3；
（2）3n4-2n2+1.
例2
解：（1）多项式a3-a2b+ab2-b3的项有a3、-a2b、ab2 、-b3，次数是3.
（2）多项式3n4-2n2+1的项有3n4、-2n2 、1，次数是4.
多项式的每一项都包括它的正负号.
指出下列多项式是几次几项式：
（1）x3-x+1；
（2）x3-2x2y2+3y2.
例3
解：（1）x3-x+1是三次三项式.
（2）x3-2x2y2+3y2是四次三项式.
补充例题
指出下列多项式的项和次数，并说出它是几次几项式.
（1）x5-2+2x2-5x；
（2） .
解：（1）多项式x5-2+2x2-5x的项有x5、-2、2x2 、-5x，次数是5.它是五次四项式.
（2）多项式 的项有 、 、-xy、1，次数是7.它是七次四项式.
整式
定义：单项式与多项式统称为整式.
思考：你能说出单项式、多项式、整式三者之间的关系吗？
单项式
多项式
注意：所有单项式和多项式都是整式；
反之，一个整式，它要么是单项式，要么是多项式.
1.指出下列多项式是几次几项式：
1. 2x+1+3x2
2. 4x4+1
3. 2x2-3xy+y2
4. 4x3+2x-3y2
二次三项式
四次二项式
二次三项式
三次三项式
课堂练习
【选自教材P98 练习】
2.指出下列多项式的项和次数，并说明其是几次几项式.
（1） ；
（2）-4x4-x2+x-4.
解：（1）多项式 的项有 、-2xy、-3，次数是3.它是三次三项式.
（2）多项式-4x4-x2+x-4的项有-4x4、-x2、x、-4，次数是4.它是四次四项式.
3.在代数式 ，3a，a-y+ ， ，xyz， ，
中有（ ）
A.5个整式
B.4个单项式，3个多项式
C.6个整式，4个单项式
D.6个整式，单项式与多项式个数相同
D
4.指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2+y2，-x， ，10，6xy+1， ， ，2x2-x-5， ，a7
单项式：
多项式：
整式：
x2+y2
-x
10
6xy+1
2x2-x-5
a7
-x
10
a7
x2+y2
6xy+1
2x2-x-5
5.若关于x的多项式-5x3+(m-1)x2+(2+n)x-1不含二次项和一次项，求m、n的值.
解：因为多项式-5x3+(m-1)x2+(2+n)x-1不含二次项和一次项，所以m-1=0，2+n=0，所以m=1，n=-2.
知识点1 多项式的概念
1.下列式子是多项式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.在式子，，，， 中，多项式有___个.
2
返回
知识点2 多项式的项和次数
3.多项式 的各项分别是( )
D
A.，，1 B.， ，1
C.，， D.，，
返回
4.［2025新乡期末］多项式 的次数是( )
C
A.2 B.1 C.6 D.3
返回
5.下列关于多项式 的说法，正确的是( )
C
A.次数是3 B.次数最高的项是
C.二次项系数是 D.常数项是5
返回
6.如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项
式，横线上不能填写的是( )
C
A. B. C. D.
返回
7.［教材习题变式］［2025太原月考］请写出一个含有字母, 且
常数项为 的五次三项式：__________________________.
（答案不唯一）
返回
8.当___时，是关于 的一次多项式.
1
返回
9.（8分）［2025吉林期中］已知 是六次四
项式，且 的次数与它相同.
（1）求， 的值；
解：因为 是六次四项式，
所以，解得 ，
因为 的次数也是6，
所以，所以 .
（2）请写出多项式的各项，并求出各项的系数和.
解：该多项式为 ，
所以多项式的各项为，，， ，各项的系数和为
.
返回
知识点3 整式
10.［2025信阳期末］在代数式，，，，， 中，是整
式的有( )
B
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
返回
11.把下列代数式的序号分别填入下表适当的位置：， ，
，，，，， .
整式 单项式 __________
多项式 ______
非整式 ______
①④⑤⑦
③⑥
②⑧
返回
12.如果一个多项式是七次多项式，那么它任何一项的次数( )
D
A.都小于7 B.都等于7 C.都不小于7 D.都不大于7
返回
13. 多项式是关于,的九次二项式，则 的值
为____.
返回
14.已知多项式是关于 的三次三项式，则
___.
8
返回
15.已知关于的多项式 不
含项和项，则 ____.
返回
16.（8分） 已知是关于 ，
的六次多项式，求 的值，并写出该多项式.下面是小亮给出的解法：
解：因为多项式的最高次项为，
所以，
解得
则原多项式为
（1）小亮的解法在第____步出错；
①
（2）请你给出正确的解法.
解：易知该多项式的最高次项为，所以，解得 .
所以原多项式为 .
返回
17.（8分）列多项式，并指出它们的项和次数.
（1）目前，在地球上生存的动物约有150万种，其
中无脊椎动物约有 万种，则脊椎动物约有多少万
种？
解：脊椎动物约有万种，的项分别是150， ，次
数是1.
（2）如图所示的是某古城墙及门洞的示意图，其中门洞的下部是长方
形，上部是半圆，则它的面积是多少？
解：它的面积是，的项分别是， ，次
数是2.
返回
18.（4分） 游戏规则：（1）抽卡片，每人每次抽取4
张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上整式最高次项的系数；如
果抽到灰色卡片，那么减去卡片上整式的常数项；（2）比较两人所抽
取4张卡片的计算结果，结果大的为胜者.
小玉抽到了如图①的4张卡片：
小明抽到了如图②的4张卡片：
他们两人谁获胜了？
解：由题意，得小玉所抽取4张卡片的计算结果是
，小明所抽取4张卡片的计算结果是
.
因为 ，所以小明获胜.
返回
19.（8分）已知关于的整式 .
（1）若此整式是二次多项式，求 的值；
解：因为关于的整式是二次多项式，所以， ，
，解得，所以的值是 .
（2）若此整式是二项式，求 的值.
解：因为关于的整式是二项式，所以有以下3种情况： ，
，，解得；， ,且
，此情况无解；，,，解得 .
所以的值是 或0.
返回
课堂小结
整式
单项式
数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式
单项式的系数
单项式的次数
多项式
几个单项式的和叫做多项式
单项式的系数
单项式的次数
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