2.2 代数式的值 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
2.2 代数式的值
第2章 整式及其加减
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：2.2 代数式的值
幻灯片 2：学习目标
理解代数式的值的概念，明确代数式的值与字母取值的关系。
掌握求代数式值的步骤和方法，能准确求出代数式的值。
能运用代数式的值解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系。
幻灯片 3：情境引入
问题：某学校为运动会准备奖品，购买了单价为 a 元的笔记本 20 本，单价为 b 元的钢笔 10 支。购买这些奖品的总费用可以用代数式 20a + 10b 表示。如果 a = 5，b = 8，那么购买这些奖品一共需要多少钱呢？
分析：当 a 和 b 取具体数值时，代数式 20a + 10b 就有了相应的数值。把 a = 5，b = 8 代入代数式，就能算出总费用。这就是我们今天要学习的代数式的值。
幻灯片 4：代数式的值的定义
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值。
例如，在代数式 2x + 3 中，当 x = 4 时，2×4 + 3 = 11，11 就是代数式 2x + 3 当 x = 4 时的值。
注意：代数式的值是由代数式中字母的取值决定的，字母的取值不同，代数式的值可能不同；但字母的取值必须使代数式有意义，如在代数式\(\frac{1}{x}\)中，x 不能取 0。
幻灯片 5：求代数式值的步骤
第一步：代入：把代数式中字母所取的数值代入代数式中，注意原来省略的乘号要添上，并且负数和分数代入时要加括号。
第二步：计算：按照代数式指明的运算顺序，根据有理数的运算法则进行计算。
示例：求代数式 3x - 2y 当 x = 2，y = -1 时的值。
代入：3×2 - 2×(-1)
计算：6 + 2 = 8
所以，当 x = 2，y = -1 时，代数式 3x - 2y 的值是 8。
幻灯片 6：例题 1—— 直接代入求代数式的值
题目：当 a = 3，b = -2 时，求下列代数式的值：
（1）2a + b
（2）a - b
（3）\(\frac{a + b}{a - b}\)
解答过程：
（1）把 a = 3，b = -2 代入 2a + b，得：
2×3 + (-2) = 6 - 2 = 4
（2）把 a = 3，b = -2 代入 a - b ，得：
3 - (-2) = 9 - 4 = 5
（3）把 a = 3，b = -2 代入\(\frac{a + b}{a - b}\)，得：
\(\frac{3 + (-2)}{3 - (-2)}\) = \(\frac{1}{5}\)
结论：（1）4；（2）5；（3）\(\frac{1}{5}\)。
幻灯片 7：例题 2—— 整体代入求代数式的值
题目：已知 x + y = 5，xy = 3，求下列代数式的值：
（1）x y + xy
（2）x + y
解答过程：
（1）x y + xy = xy (x + y)，把 x + y = 5，xy = 3 代入，得：3×5 = 15。
（2）x + y = (x + y) - 2xy，把 x + y = 5，xy = 3 代入，得：5 - 2×3 = 25 - 6 = 19。
结论：（1）15；（2）19。
幻灯片 8：例题 3—— 代数式的值在实际问题中的应用
题目：某出租车的收费标准为：起步价 8 元（不超过 3 千米），超过 3 千米的部分，每千米收费 1.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。若行驶的路程为 x 千米（x > 3），则打车费用可以用代数式 8 + 1.5 (x - 3) 表示。当 x = 7 时，打车费用是多少元？
解答过程：
把 x = 7 代入代数式 8 + 1.5 (x - 3)，得：
8 + 1.5×(7 - 3) = 8 + 1.5×4 = 8 + 6 = 14（元）
结论：当 x = 7 时，打车费用是 14 元。
幻灯片 9：例题 4—— 根据代数式的值求字母的取值
题目：已知代数式 2x + 5 的值是 13，求 x 的值。
解答过程：
根据题意，得 2x + 5 = 13
解方程：2x = 13 - 5，2x = 8，x = 4
结论：x 的值是 4。
幻灯片 10：课堂练习 1
题目：当 m = -1，n = 2 时，求下列代数式的值：
（1）3m - 2n
（2）(m + n)(m - n)
（3）\(\frac{2m + n}{m - n}\)
答案：（1）3×(-1) - 2×2 = 3 - 4 = -1；（2）(-1 + 2)×(-1 - 2) = 1×(-3) = -3；（3）\(\frac{2×(-1) + 2}{-1 - 2}\) = \(\frac{0}{-3}\) = 0。
幻灯片 11：课堂练习 2
题目：已知 a - b = 3，ab = 2，求代数式 a b - ab 的值。
答案：a b - ab = ab(a - b) = 2×3 = 6。
幻灯片 12：课堂练习 3
题目：一个长方形的长为 a 米，宽为 b 米，它的周长是 (2a + 2b) 米，面积是 ab 平方米。当 a = 5，b = 3 时，求这个长方形的周长和面积。
答案：周长：2×5 + 2×3 = 10 + 6 = 16（米）；面积：5×3 = 15（平方米）。
幻灯片 13：课堂练习 4
题目：若代数式 3x - 1 的值为 5，求 x 的值。
答案：由 3x - 1 = 5，得 3x = 6，x = 2。
幻灯片 14：易错点分析
常见错误：
代入时忘记添加括号，尤其是负数和分数。例如，求代数式 x 当 x = -2 时的值，错误地计算为 - 2 = -4，正确应为 (-2) = 4。
代入后运算顺序错误，如求代数式 2x + 3y 当 x = 1，y = 2 时的值，错误地计算为 (2×1 + 3)×2 = 10，正确应为 2×1 + 3×2 = 8。
忽略代数式中字母的取值范围，如求代数式\(\frac{1}{x - 1}\)当 x = 1 时的值，此时代数式无意义。
整体代入时，不能正确对代数式进行变形，无法找到整体与已知条件的关系。
规避方法：
代入负数或分数时，一定要加上括号，避免符号错误。
严格按照 “先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内” 的顺序计算。
代入前检查字母的取值是否使代数式有意义，确保分母不为 0 等。
对于整体代入的题目，先观察代数式的结构，通过因式分解、配方等方法将代数式变形，使其能利用已知的整体条件。
幻灯片 15：课堂小结
代数式的值的概念：用数值代替代数式中的字母，计算出的结果。
求代数式值的步骤：代入（注意添括号）→计算（按运算顺序）。
应用：能解决实际问题，根据代数式的值求字母的取值，整体代入求值等。
注意事项：字母取值要使代数式有意义，代入和计算时要细心。
幻灯片 16：布置作业
基础作业：教材课后练习题第 1、2、3 题（求代数式的值）。
提升作业：已知 2a + b = 4，求代数式 4a + 2b - 5 的值；若代数式 x + 3x + 5 的值为 7，求代数式 3x + 9x - 2 的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或是某种算法.
2.会利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
3.在代数式求值过程中，感受函数的对应思想.
情境导入
问题：某礼堂第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位. 问：
(1)第 n 排有多少个座位？(用含 n的代数式表示)
(2)第10排、第15排、第23排分别有多少个座位？
(1)第 n 排有多少个座位？(用含n的代数式表示)
排数 1 2 3 4 … n
座位 …
18
20
22
18+2(n-1)
24
18+2×2
18+2×3
先考察特例：计算第2排、第3排、第4排的座位数，从中发现规律，再求出第n排的座位数.
一般地，第n排是第1排的后(n-1)排，它的座位数应比第1排多2(n-1)，即为18+2(n-1).
第2排比第1排多2个座位，它的座位数应为18+2=20；
第3排比第2排多2个座位，它的座位数应为20+2=22；
当n=10时，18+2(n-1)=18+2×9=36；
(2)第10排、第15排、第23排各有多少个座位？
当n=15时，18+2(n-1)=18+2×14=46；
当n=23时，18+2(n-1)=18+2×22=62.
因此，第10排、第15排、第23排分别有36个、46个、62个座位.
由一般到特殊，即将n的特定值代入得到的代数式，计算出特定各排的座位数.
我们看到，当n取不同数值时，代数式18+2(n-1)的计算结果不同.
以上结果可以说：
当n=10时，代数式18+2(n-1)的值是36；
当n=15时，代数式18+2(n-1)的值是46；等等.
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值.
探索新知
代数式的值是由其所含的字母的取值所确定的，并随字母取值的变化而变化，字母取不同的值时，代数式的值可能不同，也可能相同.
归纳小结：
注意：代数式里的字母可以取各种不同的数值，但所取的数值必须使代数式和它表示的实际数量有意义.如 中的v不能取0.
当a=2，b=-1，c=-3时，求下列各代数式的值:
（1）b2-4ac；
（2）(a+b+c)2.
解（1）当a=2，b=-1，c=-3时，
b2-4ac
=(-1)2-4×2×(-3)
=1+24
=25.
（2）当a=2，b=-1，c=-3时，
(a+b+c)2
=(2-1-3)2
=(-2)2
=4.
例1
求代数式的值的注意事项：
1.代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号.
2.如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号.
3.由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来.
4.求代数式的值，对于两个或多个字母一定要“对号入座”.
某地积极响应党中央号召，大力推进美丽中国建
设工程，去年的投资为a亿元，今年的投资比去年增长了10%. 如果明年的投资还能按这个速度增长，请你预测一下，该地明年的投资将达到多少亿元 如果去年的投资为2亿元，那么预计明年的投资是多少亿元
例2
解 由题意可得，今年的投资为 a·(1+10%)亿元，于是明年的投资将达到
a·(1+10%)·(1+10%)
=1.21a(亿元).
如果去年的投资为2亿元，即a=2，那么当a=2时，
1.21a=1.21×2=2.42(亿元).
答：该地明年的投资将达到1.21a亿元. 如果去年的投资为 2亿元，那么预计明年的投资是2.42亿元.
补充例题
1.已知 ，求代数式 的值.
解：因为
，而
所以x+1=0，y- =0，所以x=-1，y=
当 x=-1，y= 时
2.已知2x+3y-2的值为-7，求代数式4x+6y+1的值.
解：因为2x+3y-2=-7，所以2x+3y=-5
所以4x+6y+1=2(2x+3y)+1=2×(-5)+1=-10+1=-9
本题运用了整体思想，给出一个含字母的代数式的值，当单个字母的值不能或不用求出时，一般把已知条件作为一个整体，把代数式变形，使之成为可整体代入的形式，再整体代入求解.
补充例题
1.填表：
随堂练习
4
-4
1
3
4
4
2
9
4
8
16
【选自教材P91 练习 第1题】
2.根据下列各组x、y的值，分别求出代数式x2+2xy+y2与x2-2xy +y2的值：
(1) x=2，y=3；
(2) x=-2，y=-4.
解：(1)当x=2，y=3时， x2+2xy+y2=22+2×2×3+32=4+12+9=25，
(2)当x=-2，y=-4时， x2+2xy+y2=(-2)2+2×(-2)×(-4)+(-4)2=36，
x2-2xy+y2=22-2×2×3+32=4-12+9=1.
x2-2xy+y2=(-2)2-2×(-2)×(-4)+(-4)2=4.
【选自教材P92 练习 第2题】
3.已知梯形的上底 a=2cm，下底 b=4cm，高 h=3cm，利用梯形面积公式求这个梯形的面积.
解：梯形的面积公式为 .
当a=2 cm，b=4 cm，h=3 cm时，
a=2cm
b=4cm
h=3cm
(cm2).
【选自教材P92 练习 第2题】
有趣的“3x+1问题”
知识点1 代数式的值
1.当时，代数式 的值是( )
B
A. B. C.2 D.4
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2.当，时，代数式 的值是( )
D
A. B. C.3 D.5
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3.［2025衡阳期末］已知式子，则式子 的值是
( )
A
A.10 B. C.6 D.
返回
4.（8分）当， 时，求下列代数式的值.
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
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知识点2 求代数式的值的应用
5.［教材P练习T变式］若,分别表示梯形的上底和下底， 表示梯
形的高，则梯形的面积_ _____，当，,时， ____.
15
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6. ［2025成都月考］声音在干燥空气中传播的速度随
着温度的变化而变化，当温度为 时，声音的传播速度大约是
，则当温度为时，声音的传播速度为_____ .
349
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7.根据下列运算程序，若输入
，则输出的结果 为( )
C
A. B.11 C.21 D.24
返回
8.［2025南阳期末］已知，则 的值是____.
14
返回
9. ［2024苏州中考］若，则 ___.
4
返回
10. 已知，，且，则 的值是_______.
8或
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11.（12分）如图，四边形 是一个长方形.
（1）______（用含 的代数式表示）；
（2）根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；
解：由题意可知 ，
所以
.
（3）当时，求 的值.
解：将代入 ,
得 .
返回
12. ［2025西安期末］如图，每个图案均是由长度相等
的木棒按一定的规律拼接而成的.
（1）第5个图案需要木棒____根，第 个图案需要木棒_________根
（用含 的式子表示）；
（2）第25个图案，需要木棒的根数是____.
11
51
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课堂小结
求代数式的值的一般步骤：
1.代入：用指定字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变.
2.计算：按照代数式指明的运算，根据有理数的运算法则进行计算.
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