2.3.3 升幂排列和降幂排列 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
2.3.3.升幂排列和降幂排列
第2章 整式及其加减
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：2.3.3 升幂排列和降幂排列
副标题：—— 多项式的有序排列
幻灯片 2：学习目标
理解多项式按某个字母升幂排列和降幂排列的概念。
能熟练地把一个多项式按指定字母进行升幂排列或降幂排列。
体会多项式有序排列在数学运算中的便利性，培养有条理地处理问题的习惯。
幻灯片 3：情境引入
问题：观察多项式\(3x^2 + 5x - 2x^3 + 1\)，它的各项次数不同，顺序较为杂乱。如果我们想快速找到次数最高的项或次数最低的项，是不是不太方便？
引入：为了使多项式的结构更清晰，便于我们研究和计算，通常需要把多项式的各项按照一定的顺序排列起来，这就是我们本节课要学习的升幂排列和降幂排列。
幻灯片 4：相关概念
升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
示例：对于多项式\(2x^3y - 3xy^2 + x^2y^3 - 5\)，
按字母\(x\)的指数升幂排列：\(-5 - 3xy^2 + x^2y^3 + 2x^3y\)（\(x\)的指数依次为 0、1、2、3）。
按字母\(y\)的指数降幂排列：\(x^2y^3 - 3xy^2 + 2x^3y - 5\)（\(y\)的指数依次为 3、2、1、0）。
幻灯片 5：排列的依据与注意事项
排列依据：多项式的各项在排列前后，其值不变，因为加法具有交换律。但排列时必须连同项的符号一起移动，不能只移动项的数字部分而遗漏符号。
注意事项：
排列时，要先确定按哪个字母进行排列，因为一个多项式中可能含有多个字母，不同字母的排列结果可能不同。
常数项的次数规定为 0，在按字母升幂排列时，常数项通常放在最前面；按字母降幂排列时，常数项通常放在最后面。
如果多项式中含有同类项，应先合并同类项，再进行排列（若题目未要求合并，则可直接排列）。
幻灯片 6：例题 1—— 按指定字母降幂排列
题目：把多项式\(3x^2 - 5x^3 + x - 1\)按字母\(x\)的降幂排列。
解答过程：
先确定多项式各项中字母\(x\)的指数：\(-5x^3\)中\(x\)的指数是 3，\(3x^2\)中\(x\)的指数是 2，\(x\)中\(x\)的指数是 1，\(-1\)（常数项）中\(x\)的指数是 0。
按\(x\)的指数从大到小的顺序排列各项，连同项的符号一起移动：\(-5x^3 + 3x^2 + x - 1\)。
结论：按字母\(x\)的降幂排列为\(-5x^3 + 3x^2 + x - 1\)。
幻灯片 7：例题 2—— 按指定字母升幂排列
题目：把多项式\(xy^2 - x^2y + 2x^3 - 3y^3\)按字母\(y\)的升幂排列。
解答过程：
确定各项中字母\(y\)的指数：\(2x^3\)中\(y\)的指数是 0，\(-x^2y\)中\(y\)的指数是 1，\(xy^2\)中\(y\)的指数是 2，\(-3y^3\)中\(y\)的指数是 3。
按\(y\)的指数从小到大的顺序排列各项：\(2x^3 - x^2y + xy^2 - 3y^3\)。
结论：按字母\(y\)的升幂排列为\(2x^3 - x^2y + xy^2 - 3y^3\)。
幻灯片 8：例题 3—— 根据排列要求填空
题目：多项式\(a^3b - 5a^2b^2 + 3ab^3 - b^4 + 2a^4\)按字母\(a\)的升幂排列后为________________。
解答过程：
分析各项中字母\(a\)的指数：\(-b^4\)中\(a\)的指数是 0，\(3ab^3\)中\(a\)的指数是 1，\(-5a^2b^2\)中\(a\)的指数是 2，\(a^3b\)中\(a\)的指数是 3，\(2a^4\)中\(a\)的指数是 4。
按\(a\)的指数从小到大排列：\(-b^4 + 3ab^3 - 5a^2b^2 + a^3b + 2a^4\)。
结论：\(-b^4 + 3ab^3 - 5a^2b^2 + a^3b + 2a^4\)。
幻灯片 9：例题 4—— 含多个字母的排列
题目：把多项式\(x^2y - 3xy^2 + y^3 - 2x^3\)分别按字母\(x\)的降幂排列和按字母\(y\)的升幂排列。
解答过程：
按字母\(x\)的降幂排列：
各项\(x\)的指数：\(-2x^3\)（3）、\(x^2y\)（2）、\(-3xy^2\)（1）、\(y^3\)（0）。
排列结果：\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)。
按字母\(y\)的升幂排列：
各项\(y\)的指数：\(-2x^3\)（0）、\(x^2y\)（1）、\(-3xy^2\)（2）、\(y^3\)（3）。
排列结果：\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)（与按\(x\)降幂排列结果相同，属巧合）。
结论：按\(x\)降幂排列为\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)；按\(y\)升幂排列为\(-2x^3 + x^2y - 3xy^2 + y^3\)。
幻灯片 10：课堂练习 1
题目：把多项式\(5 - 3x + 2x^2 - x^3\)按字母\(x\)的降幂排列。
答案：\(-x^3 + 2x^2 - 3x + 5\)。
幻灯片 11：课堂练习 2
题目：把多项式\(3a^2b - b^3 + 2ab^2 - a^3\)按字母\(b\)的升幂排列。
答案：\(-a^3 + 3a^2b + 2ab^2 - b^3\)。
幻灯片 12：课堂练习 3
题目：已知多项式\(x^3y + 2x^2y^2 - 5xy^3 + y^4\)，分别按字母\(x\)的升幂排列和按字母\(y\)的降幂排列。
答案：按\(x\)升幂排列为\(y^4 - 5xy^3 + 2x^2y^2 + x^3y\)；按\(y\)降幂排列为\(y^4 - 5xy^3 + 2x^2y^2 + x^3y\)。
幻灯片 13：易错点分析
常见错误：
排列时遗漏项的符号，如把多项式\(2x - 3x^2 + 1\)按\(x\)降幂排列时，错误地写成\(-3x^2 + 2x + 1\)是正确的，但写成\(3x^2 + 2x + 1\)就是遗漏了符号。
未明确按哪个字母排列，导致排列错误。例如，对多项式\(a^2b + ab^2\)，若不指定字母，既可能按\(a\)排列，也可能按\(b\)排列，结果不同。
常数项的位置错误，如按字母升幂排列时，把常数项放在后面；按降幂排列时，把常数项放在前面。
合并同类项后再排列时，合并过程出错，影响后续排列结果。
规避方法：
移动多项式的项时，务必连同项的符号一起移动，将符号视为项的一部分。
排列前先明确指定的字母，根据该字母的指数进行排序。
牢记常数项的次数为 0，按升幂排列放前，降幂排列放后。
若需要合并同类项，先仔细合并，再进行排列，确保每一步都准确无误。
幻灯片 14：课堂小结
升幂排列与降幂排列的定义：按指定字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）排列多项式的各项。
排列要点：连同项的符号一起移动，明确排列的字母，常数项按 0 次处理。
作用：使多项式的结构更清晰，便于观察和计算，为后续的整式运算奠定基础。
幻灯片 15：布置作业
基础作业：教材课后练习题第 1、2 题（按要求对多项式进行升幂或降幂排列）。
提升作业：把多项式\(x^4 - y^4 + 2x^3y - 2xy^3 + 3x^2y^2\)分别按字母\(x\)的降幂排列和按字母\(y\)的升幂排列，并比较两种排列结果的异同。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.理解并能描述什么是升幂排列和降幂排列.
2.能够将一个多项式按某一字母升幂或降幂排列.
复习导入
什么是单项式？
由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式.
什么是多项式？
几个单项式的和叫做多项式.
例：单项式a2b2c的系数是_____，次数是_____.
多项式3x3y-5y2z+x2-y-1的四次项系数是_____，三次项系数是_____，常数项是_____ ，它是____________.
1
5
3
-5
-1
四次五项式
探究新知
思考：多项式x2+x+l的项分别是__________.
x2、x、1
问题1：运用加法交换律，将多项式x2+x+1中各项的位置任意交换，可以得到哪些不同的排列方式？
x2+x+1
x2+1+x
x+x2+1
x+1+x2
1+x2+x
1+x+x2
问题2：众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐？
x2+x+1
1+x+x2
这两种排列方式有什么特点？
按字母x的指数从大到小的顺序排列的.
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列．
按字母x的指数从小到大的顺序排列的.
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列．
例4
把多项式 按r的升幂排列.
解：按r的升幂排列为：
按r的降幂排列应该怎样排呢？
按r的降幂排列为：
1
0
3
2
注意：
1.找准字母，分清是“升”还是“降”；
2.在字母上标记好指数；
3.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动；
4.常数项一般是最先或最后排.
例5
把多项式 重新排列：
a3+b2-3a2b-3ab3
（1）按a的升幂排列；
（2）按a的降幂排列.
解 （1）按a的升幂排列为：
3
0
2
1
b2-3ab3-3a2b+a3
（2）按a的降幂排列为：
a3-3a2b-3ab3+b2
试试看，你能将这个多项式按b的升幂（或降幂）排列吗
例5
把多项式 重新排列：
（1）按b的升幂排列；
（2）按b的降幂排列.
a3+b2-3a2b-3ab3
0
2
1
3
解 （1）按b的升幂排列为：
a3-3a2b+b2-3ab3
-3ab3+b2-3a2b+a3
（2）按b的降幂排列为：
注意：含有两个或两个以上字母的多项式，通常按其中某一个字母的升幂或降幂排列.
补充例题
把多项式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的降幂排列；
（2）按n的升幂排列.
-8m3n-2m2n3+3mn2+5
5-8m3n+3mn2-2m2n3
反过来应该怎样排呢？
补充例题
把多项式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的升幂排列；
（2）按n的降幂排列.
-2m2n3+3mn2-8m3n+5
5+3mn2-2m2n3-8m3n
随堂练习
1.把多项式 重新排列：
（1）按x的升幂排列；
（2）按x的降幂排列.
2
3
1
4
0
【选自教材P100 练习 第1题】
2.把多项式 重新排列：
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
（1）按x的降幂排列；
（2）按x的升幂排列.
x4+3x3y-5x2y3-2xy2-y4
4
0
3
1
2
-y4-2xy2-5x2y3+3x3y+x4
按y的升幂和降幂排列应该怎样排呢？
【选自教材P100 练习 第2题】
2.把多项式 重新排列：
（3）按y的降幂排列；
（4）按y的升幂排列.
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
0
4
1
2
3
x4+3x3y-2xy2-5x2y3-y4
-y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4
3.已知多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式.
（1）求m和n的值；
（2）把这个多项式按x的升幂排列.
（2）根据（1）得该多项式为-2+x3y+x2，把这个多项式按x的升幂排列为-2+x2+x3y.
解：（1）由多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式，得n=0，m-1+1=4，所以m=4，n=0.
知识点1 升幂排列
1.［教材习题变式］把多项式按 的升幂排列，下列
结果正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.将多项式按字母 的升幂排列为___________
______________.
返回
3.（4分）把多项式按 的升幂排列，并求出当
， 时的值.
解：把多项式按的升幂排列为 .当
， 时，
.
返回
知识点2 降幂排列
4.［教材P练习T变式］将多项式按字母 的降幂排
列正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.把多项式按字母 的降幂排列，排在第三项
的是________.
返回
6.把多项式 重新排列.
（1）按 的降幂排列为__________________________；
（2）按 的降幂排列为________________________.
返回
7.（8分）已知多项式 .
（1）按 的降幂排列为______________________；
（2）当， 时，求该多项式的值.
解：当，时， .
返回
8.多项式 是按( )
A
A.的升幂排列的 B. 的降幂排列的
C.的升幂排列的 D. 的降幂排列的
返回
9.［2025许昌期中］将多项式 按某一个字母的
升幂排列，正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
10.把多项式 为大于3的正整
数按 的降幂排列为_ ______________________________________.
返回
返回
11.（8分）已知多项式 是六次四项式.
（1）求 的值；
解：因为多项式 是六次四项式，所以
，解得 .
（2）把这个多项式分别按和 的降幂排列.
解：因为,所以这个多项式为,所以按
的降幂排列为,按 的降幂排列为
.
返回
课堂小结
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列．
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列．
注意：
1.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动.
2.含有两个或两个以上字母的单项式，常常按照其中某一字母的指数进行升幂或降幂排列.
谢谢观看！