4.1.2 垂线 课件（共52张PPT）

(共52张PPT)
4.1.2 垂线
第4章 相交线和平行线
【华东师大版·2024】数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：4.1.2 垂线
副标题：理解垂线的概念，掌握垂线的性质与画法
幻灯片 2：学习目标
理解垂线的概念，知道两条直线互相垂直的含义，能正确表示两条互相垂直的直线。
掌握垂线的性质（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），并能运用该性质解决问题。
学会用三角尺或量角器画一条直线的垂线，培养动手操作能力。
理解点到直线的距离的概念，能测量点到直线的距离。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的垂直现象
展示图片：墙角的两条相交直线（互相垂直）、黑板的相邻两边（互相垂直）、十字路口的两条道路（互相垂直）、单杠的横杠与竖杠（互相垂直）。
提问：这些相交的直线所形成的角有什么特点？它们的位置关系有什么特殊之处？
引入：像这样相交成直角的两条直线，它们的位置关系就是垂直。本节课我们就来学习垂线的相关知识。
幻灯片 4：垂线的概念
定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
图形表示：画出直线 AB 和 CD 相交于点 O，且∠AOC=90°，标注 “AB⊥CD，垂足为 O”。
符号表示：“⊥” 是垂直符号，直线 AB 与直线 CD 互相垂直，记作 “AB⊥CD”（或 “CD⊥AB”），读作 “AB 垂直于 CD”。如果垂足为 O，还可以记作 “AB⊥CD 于 O”。
说明：
两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况，只有当相交的角是直角（90°）时，才称这两条直线互相垂直。
垂直是相互的，若直线 a 是直线 b 的垂线，则直线 b 也是直线 a 的垂线。
幻灯片 5：垂线的性质
性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
理解：“过一点” 可以是直线上的点，也可以是直线外的点；“有且只有” 意味着存在性（有一条）和唯一性（只有一条）。
图形展示：
过直线 l 上一点 P，画直线 l 的垂线，只能画出一条。
过直线 l 外一点 Q，画直线 l 的垂线，也只能画出一条。
生活实例：在地面上，过一点要挖一条与已知直线道路垂直的水渠，只能挖出一条。
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
幻灯片 6：点到直线的距离
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
图形展示：画出直线 l 和直线外一点 P，过 P 作 l 的垂线，垂足为 O，线段 PO 就是垂线段，标注 “PO 的长度就是点 P 到直线 l 的距离”。
说明：
点到直线的距离是一个长度，是数量，而垂线段是一个图形，两者不能混淆。
测量点到直线的距离时，要先画出垂线段，再测量其长度。
生活应用：测量跳远成绩时，从落地点向起跳线画垂线段，垂线段的长度就是跳远成绩，这是利用了 “垂线段最短” 的性质。
幻灯片 7：垂线的画法
方法 1：用三角尺画垂线
过直线上一点画已知直线的垂线：
把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
沿着已知直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合。
沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线（标出垂直符号）。
过直线外一点画已知直线的垂线：
把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
沿着已知直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点。
沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线（标出垂直符号）。
方法 2：用量角器画垂线
在已知直线上取一点（或过直线外一点）作为垂足的大致位置。
把量角器的中心与该点重合，0° 刻度线与已知直线重合。
在量角器 90° 刻度线的位置处点一个点。
过该点和已知点画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线（标出垂直符号）。
幻灯片 8：例题 1—— 判断垂直关系
题目：如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠AOC=90°，请找出图中所有互相垂直的直线，并说明理由。
图形：三条直线相交于点 O，∠AOC=90°。
解答过程：
因为∠AOC=90°，且∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠BOD=90°（对顶角相等）。
又因为∠AOC 与∠BOC 互补，所以∠BOC=180°-90°=90°，同理∠AOD=90°。
因此，AB⊥CD（因为它们相交成直角）。
若∠AOE=90°，则 AB⊥EF，以此类推（根据图形中其他直角情况判断）。
结论：AB⊥CD。
幻灯片 9：例题 2—— 应用垂线性质画图
题目：如图，过点 P 画直线 l 的垂线，过点 Q 画直线 m 的垂线。
图形：直线 l 和直线 m，点 P 在直线 l 外，点 Q 在直线 m 上。
解答过程：
过点 P 画直线 l 的垂线：按照三角尺画法，画出直线 l 的垂线，垂足为 A，标注 “PA⊥l”。
过点 Q 画直线 m 的垂线：按照三角尺画法，画出直线 m 的垂线，垂足为 Q，标注 “DQ⊥m（D 为垂线上一点）”。
结论：如图所示（画出相应垂线）。
幻灯片 10：例题 3—— 点到直线的距离计算
题目：如图，在直线 l 上有 A、B、C 三点，点 P 在直线 l 外，且 PO⊥l，垂足为 O，PA=5cm，PB=3cm，PC=4cm，PO=2cm，求点 P 到直线 l 的距离。
图形：直线 l 上有 A、B、C、O 四点，PO⊥l，PO=2cm，PA、PB、PC 为连接 P 与 A、B、C 的线段。
解答过程：
因为 PO⊥l，垂足为 O，所以 PO 是点 P 到直线 l 的垂线段。
根据点到直线的距离的定义，点 P 到直线 l 的距离就是 PO 的长度。
已知 PO=2cm，所以点 P 到直线 l 的距离是 2cm。
结论：点 P 到直线 l 的距离是 2cm。
幻灯片 11：课堂练习 1—— 表示垂直关系
题目：如图，直线 a 与直线 b 相交于点 O，且∠1=90°，则直线 a 与直线 b 的位置关系是（ ），记作（ ），读作（ ），垂足是（ ）。
答案：互相垂直；a⊥b（或 b⊥a）；a 垂直于 b（或 b 垂直于 a）；点 O
幻灯片 12：课堂练习 2—— 应用垂线性质
题目：在同一平面内，过直线 l 外一点 P，可以画（ ）条直线与直线 l 垂直；过直线 l 上一点 Q，可以画（ ）条直线与直线 l 垂直。
答案：1；1
幻灯片 13：课堂练习 3—— 点到直线的距离
题目：如图，要从 A 地向河流 l 修一条水渠，应怎样修才能使水渠最短？请画出示意图，并说明理由。
图形：点 A 在河流 l 的一侧。
解答过程：
过点 A 画河流 l 的垂线，垂足为 B，沿着 AB 修水渠最短。
理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
答案：过点 A 作 l 的垂线，沿垂线段修水渠，理由是垂线段最短。
幻灯片 14：易错点分析
常见错误：
对垂线的概念理解不透彻，认为只要两条直线相交就互相垂直，忽略 “相交成直角” 这个关键条件。
混淆 “垂线段” 和 “点到直线的距离”，把垂线段本身当成距离，实际上距离是垂线段的长度。
画垂线时，未使三角尺的直角边与已知直线完全重合，导致画出的直线与已知直线不垂直。
忽略垂线性质中 “在同一平面内” 的前提，错误认为在空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直（实际上在空间中可以有无数条）。
规避方法：
牢记垂线的定义，判断两条直线是否垂直时，必须看它们相交是否成直角（90°）。
明确垂线段是图形，点到直线的距离是该图形的长度（数值），区分两者的概念。
画垂线时，严格按照操作步骤进行，确保三角尺的直角边与已知直线紧密重合，画图后可用量角器检查是否成 90°。
应用垂线性质时，注意其适用范围是 “在同一平面内”，这是小学和初中阶段主要研究的范围。
幻灯片 15：课堂小结
垂线的概念：两条直线相交成直角时互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点是垂足，用 “⊥” 表示。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
垂线的画法：用三角尺或量角器，过一点画已知直线的垂线。
幻灯片 16：布置作业
基础作业：
教材课后练习题第 1、2、3 题（判断垂直关系、画垂线、计算点到直线的距离）。
画一条直线 l，在直线 l 外任取一点 P，过点 P 画直线 l 的垂线，并量出点 P 到直线 l 的距离。
提升作业：
如图，直线 AB⊥CD，垂足为 O，OE 平分∠AOD，求∠COE 的度数。
已知点 P 到直线 l 的距离是 3cm，画出满足条件的点 P 的轨迹。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？
情景引入
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
a
b
）
α
垂线的概念
问题：
（1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变
a与b所成的角也随之发生改变
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
问题：
（2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？
a
b
）
α
a与b垂直
定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直.
记作：AB⊥CD或m⊥l
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2）
垂直的定义及表示方法
A
B
C
D
O
（2）
B
C
D
O
（1）
A
l
m
两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
记作：AB⊥CD于点O
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义）
垂线的判定
符号语言：
若直线AB与CD垂直,垂足为O，
则∠AOD=90°
因为 AB⊥CD （已知） ,
所以 ∠AOD=90°（垂直的定义）
(或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
垂线的性质
如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______.
若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______.
如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
牛刀小试
4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？
经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？
垂线的画法及基本事实
试一试
P
B
A
(1)
(2)
P
A
B
B
问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？
O
如图，已知直线 AB,作AB的垂线.
无数条
1.落
2.靠
3.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线.
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线.
根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性.
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
特殊的直线
如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB.
A
B
C
D
O
//
//
此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线）
垂直平分线又可称为中垂线
如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上．
（1）画直线 DE⊥OB;
（2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F．
解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线.
（2）如图②所示，直线DF为所求作的直线.
牛刀小试
探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
简述：垂线段最短.
线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
规定：
作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
垂线段
思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
牛刀小试
如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形．
做一做
1.如图，∠ABD = 90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字： 【教材P175 练习 第1题】
（1）点 B 在直线______________上，点 D 在直线______外；
（2）直线_____与直线_____相交于点 A，点 D 是直线_____与直线_____的交点，也是直线_____与直线______的交点，又是直线_____与直线_____的交点；
（3）直线_____垂直于直线______，垂足为点_____；
（4）过点 D 有且只有_____条直线与直线 AC 垂直.
AC (或BD)
AC
AD
AC
AD
BD
AD
CD
BD
CD
BD
AC
B
一
随堂练习
如图所示的各个三角形中，分别过点 C 画出直线 AB 的垂线，并量出三角形顶点 C 到直线 AB 的距离.（精确到 1mm） 【教材P176 练习 第2题】
14 mm
23 mm
17 mm
(D)
3.在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题【教材P176 练习 第3题】
（1）过点C画线段AB的垂线，垂足为点D；
（2）量出点C到线段AB所在直线的距离（精确到1mm）
（3）画出线段AB的垂直平分线
C
A
B
D
4.如图, AC⊥BC,∠C=90°线段AC、BC、CD中最短的是( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
知识点1 垂直的定义
1.如图所示，，且 ，则 的度数是( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2.如图，直线，相交于点，下列条件能说明 的是( )
B
（第2题）
； ；
； .
A.①② B.①③ C.②④ D.①③④
返回
3.［2025南阳期末］如图，，直线经过点.若 ，
则 _____.
（第3题）
返回
知识点2 垂线的画法
4.下列选项中，过点画的垂线 ，三角板放法正确的是( )
C
A. B. C. D.
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5.（8分）利用三角板和直尺作图.
（1）如图①，过点分别画 ，
的垂线；
解：如图①所示，直线，，， 即为所求.
（2）如图②，过点画 的垂线.
解：如图②所示，直线 即为所求.
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知识点3 垂线的基本事实及线段的垂直平分线
6.在平面内作已知直线的垂线，可作( )
D
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
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7.如图，若，，则与 ______，其理由是_______
_____________________________________________.
共线
同一
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（第7题）
返回
8.在如图所示的方格图中，线段 的垂直平分线是四条直线中的直线___.
（第8题）
返回
知识点4 垂线段
（第9题）
9.如图，在同一平面内有直线及直线外一点 ，作
，垂足为，则点到直线 的距离是( )
A
A.线段的长度 B.线段 的长度
C.线段的长度 D.线段 的长度
返回
10. 运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳
远成绩的方法如图所示，应选择其中的____（填序号）号线的长度作为
跳远成绩，这样测量的依据是____________.
③
垂线段最短
（第10题）
返回
11.（12分）如图，在直角三角形中， ， ，
， .
（1）点到的距离是___ ；
（2）点到点的距离是____ ；
8
10
（3）画出表示点到的距离的线段，则____ .
4.8
解：如图所示
返回
12. 为直线外一点，,,为直线上三点， ,
，,则点到直线 的距离( )
D
A.是 B.是 C.小于 D.不大于
返回
13. 如图是光的反射规律示意图，是入射光线，
是反射光线，法线，是入射角， 是反射角，
.若，则 的度数为_____.
（第13题）
返回
14.［2025信阳期末］如图，已知直线和相交于点， ，
平分， ，则的度数为____ .
22
（第14题）
返回
15.（12分）［教材P练习T ］在如图所示
的方格纸中，按下列要求画图并回答问题：
（1）过点画线段的垂线，垂足为 ；
解：如图所示，即为 的垂线.
（2）量出点到线段所在直线的距离精确到 ；
解： .
（3）连结，画出一条直线，使该直线垂直并且平分线段 .
解：如图，直线 即为所求.
返回
16.（8分）如图，直线，相交于点， .
（1）若 ， ，求 的度数.
解：因为，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）如果，那么与 互相垂直吗？请说明理由.
解： .理由如下：
因为 ， ，
所以 ，即 ，所以 .
返回
17.（16分） 已知一个
角的两边与另一个角的两边分别垂直，
试探索这两个角之间的数量关系.
（1）如图①，，，
与 的数量关系是_________；
（2）如图②，，，与 的数量关系是__________
_______；
（3）由 得出结论：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，
则这两个角____________；
相等或互补
（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少 ，则
求这两个角的度数.
解：设另一个角的度数为 ，则这个角的度数为 ，
根据题意可得 或 ，解得
或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以这两个角的度数为 ， 或 ， .
返回
课堂小结
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