1.8.1有理数的乘法法则 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
1.8.1有理数的乘法法则
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.8.1 有理数的乘法法则
—— 探究有理数乘法的运算规律
（右下角添加授课教师姓名及日期：2025 年 7 月 30 日）
第二页：引入
在小学阶段，我们已经学习了正数与正数、正数与 0 的乘法运算，比如\(3 2 = 6\)，\(5 0 = 0\)等。但在有理数的范围内，还存在负数，那么负数与正数、负数与负数、负数与 0 相乘又该如何计算呢？这节课我们就来探究有理数的乘法法则。
第三页：有理数乘法的探究（正数 × 正数）
情境分析：
一只蜗牛沿直线爬行，规定向右为正，向左为负。如果蜗牛每小时向右爬行\(3\)米，那么\(2\)小时后它在什么位置？
每小时向右爬行\(3\)米，记为\(+3\)米 / 小时；\(2\)小时后，记为\(+2\)小时。
位置变化为：\(3 2 = 6\)（米），即\(2\)小时后蜗牛在出发点右侧\(6\)米处，用算式表示为\((+3) (+2)=+6\)。
结论：正数乘以正数，积为正数，且把绝对值相乘。
第四页：有理数乘法的探究（正数 × 负数）
情境分析：
如果蜗牛每小时向右爬行\(3\)米，那么\(2\)小时前它在什么位置？
每小时向右爬行\(3\)米，记为\(+3\)米 / 小时；\(2\)小时前，记为\(-2\)小时。
要找到\(2\)小时前的位置，需要反向思考：现在在原点，\(2\)小时前应该在出发点左侧\(6\)米处。
用算式表示为\((+3) (-2)=-6\)。
结论：正数乘以负数，积为负数，且把绝对值相乘。
第五页：有理数乘法的探究（负数 × 正数）
情境分析：
如果蜗牛每小时向左爬行\(3\)米，那么\(2\)小时后它在什么位置？
每小时向左爬行\(3\)米，记为\(-3\)米 / 小时；\(2\)小时后，记为\(+2\)小时。
位置变化为：\(2\)小时后蜗牛在出发点左侧\(6\)米处，用算式表示为\((-3) (+2)=-6\)。
结论：负数乘以正数，积为负数，且把绝对值相乘。
第六页：有理数乘法的探究（负数 × 负数）
情境分析：
如果蜗牛每小时向左爬行\(3\)米，那么\(2\)小时前它在什么位置？
每小时向左爬行\(3\)米，记为\(-3\)米 / 小时；\(2\)小时前，记为\(-2\)小时。
反向思考：现在在原点，\(2\)小时前应该在出发点右侧\(6\)米处。
用算式表示为\((-3) (-2)=+6\)。
结论：负数乘以负数，积为正数，且把绝对值相乘。
第七页：有理数乘法的探究（任何数 ×0）
情境分析：
如果蜗牛每小时爬行\(3\)米（无论方向），\(0\)小时后它的位置没有变化，仍在出发点；如果蜗牛\(0\)小时爬行，无论时间多久，位置也不变。
用算式表示为：\(3 0 = 0\)，\(0 3 = 0\)，\((-3) 0 = 0\)，\(0 (-3)=0\)。
结论：任何数与\(0\)相乘，积都为\(0\)。
第八页：有理数乘法法则总结
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与\(0\)相乘，都得\(0\)。
符号表示：
若\(a > 0\)，\(b > 0\)，则\(a b>0\)，且\(a b=\vert a \vert \vert b \vert\)；
若\(a < 0\)，\(b < 0\)，则\(a b>0\)，且\(a b=\vert a \vert \vert b \vert\)；
若\(a > 0\)，\(b < 0\)（或\(a < 0\)，\(b > 0\)），则\(a b < 0\)，且\(a b=\vert a \vert \vert b \vert\)；
若\(a = 0\)或\(b = 0\)，则\(a b = 0\)。
第九页：例题解析（一）
例题 1：计算下列各题
（1）\((-4) (-5)\)；（2）\((-6) 3\)；（3）\(7 (-0.8)\)；（4）\((- \frac{2}{3}) (- \frac{3}{4})\)；（5）\((-5) 0\)。
解：（1）\((-4) (-5)\)，两数同号，积为正，绝对值相乘：\(\vert -4 \vert \vert -5 \vert=4 5 = 20\)，所以\((-4) (-5)=20\)。
（2）\((-6) 3\)，两数异号，积为负，绝对值相乘：\(\vert -6 \vert \vert 3 \vert=6 3 = 18\)，所以\((-6) 3=-18\)。
（3）\(7 (-0.8)\)，两数异号，积为负，绝对值相乘：\(7 0.8 = 5.6\)，所以\(7 (-0.8)=-5.6\)。
（4）\((- \frac{2}{3}) (- \frac{3}{4})\)，两数同号，积为正，绝对值相乘：\(\frac{2}{3} \frac{3}{4}=\frac{1}{2}\)，所以\((- \frac{2}{3}) (- \frac{3}{4})=\frac{1}{2}\)。
（5）\((-5) 0 = 0\)（任何数与\(0\)相乘都得\(0\)）。
第十页：例题解析（二）
例题 2：确定下列各式的积的符号，并计算结果
（1）\((-3) (-4) (-5)\)；（2）\((-2) (-2) (-2) (-2)\)。
解：（1）\((-3) (-4) (-5)\)
符号判断：三个负数相乘，积的符号为负（奇数个负数相乘，积为负）。
计算：\(\vert -3 \vert \vert -4 \vert \vert -5 \vert=3 4 5 = 60\)，所以结果为\(-60\)。
（2）\((-2) (-2) (-2) (-2)\)
符号判断：四个负数相乘，积的符号为正（偶数个负数相乘，积为正）。
计算：\(\vert -2 \vert \vert -2 \vert \vert -2 \vert \vert -2 \vert=2 2 2 2 = 16\)，所以结果为\(16\)。
总结：多个不为\(0\)的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，只要有一个因数为\(0\)，积就为\(0\)。
第十一页：课堂练习
填空题：
\((-5) (-7)=\)；\((-8) 4=\)；\(0 (-13)=\)；\((- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{3})=\)。
若两个有理数的积为正数，则这两个数的符号______；若积为负数，则这两个数的符号______。
计算\((-1) (-2) (-3) 4\)的结果的符号是______，结果是______。
选择题：
下列计算正确的是（ ）
A. \((-3) (-4)=-12\) B. \((-5) 6 = 30\) C. \((- \frac{1}{2}) (-2)=1\) D. \(7 (-1)=7\)
若\(ab = 0\)，则（ ）
A. \(a = 0\) B. \(b = 0\) C. \(a = 0\)或\(b = 0\) D. \(a = 0\)且\(b = 0\)
计算下列各题：
（1）\((-12) (-5)\)；（2）\(15 (- \frac{2}{3})\)；（3）\((-0.7) (-1.2)\)；（4）\((- \frac{3}{4}) (- \frac{8}{9}) (-2)\)。
第十二页：课堂小结
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与\(0\)相乘都得\(0\)。
多个不为\(0\)的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为奇数时，积为负；负因数个数为偶数时，积为正；有一个因数为\(0\)，积为\(0\)。
计算时，先确定积的符号，再计算绝对值的乘积，能提高计算的准确性。
第十三页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.8 第 1、2、3 题。
计算下列各题：
（1）\((-9) (-8)\)；（2）\((-10) 7\)；（3）\((- \frac{2}{5}) (- \frac{5}{6})\)；（4）\(0.5 (-0.4)\)；（5）\((-1) (-2) (-3) (-4)\)；（6）\((-3) (- \frac{1}{3}) (-5)\)。
已知\(\vert a \vert=3\)，\(\vert b \vert=5\)，且\(a b < 0\)，求\(a b\)的值。
若三个有理数的积为\(0\)，则这三个数中至少有一个数是______。
思考：如果两个有理数的积为\(1\)，那么这两个数有什么关系？举例说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.掌握有理数乘法法则及多个有理数相乘的符号法则,会进行有理数的乘法运算,提高运算能力.
2.理解倒数的意义,会求一个非0有理数的倒数.
学习目标
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少？
第一天
第二天
第三天
第四天
第一天
第二天
第三天
第四天
课堂导入
问题1 观通过测量某学校实验楼的楼梯得知，每一级台阶的高度都是15cm.现在规定：一楼大厅地面的高度为0m，从一楼大厅往楼上方向为正方向，一楼大厅往地下室方向为负方向.小亮从一楼大厅往楼上走1，2，3，4级台阶时，他所在的高度分别为多少？
15×1=15（cm）； 15×2=30（cm）；
15×3=45（cm）； 15×4=60（cm）.
探究
新知探究
知识点1 有理数的乘法法则
问题2 请你在下面的横线上分别填写大华从一楼大厅向地下室走1，2，3，4级台阶时，他所在的高度：
（-15）×1= （cm）； （-15）×2= （cm）
（-15）×3= （cm）； （-15）×4= （cm）.
-15
-30
-45
-60
比较上面两组算式，猜想当两数相乘时，如果把一个因数换成它的相反数，那么它们的乘积有什么关系？
新知探究
知识点1 有理数的乘法法则
问题3 根据你的发现，猜想一下各式的结果：
（-15）×（-1）= （cm）； （-15）×（-2）= （cm）
（-15）×（-3）= （cm）；（-15）×（-4）= （cm）.
15
30
45
60
归纳：
两数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的积应为原来的积的相反数.
新知探究
知识点1 有理数的乘法法则
问题4 观察下列算式，你能得出什么结论？
0×3=0； 0×(－3)=0；
2×0=0； (－2)×0=0．
任何数同0相乘，仍得0.
有理数的乘法法则：
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把这两数的绝对值相乘.
2.任何数同0相乘，都得0.
总结
新知探究
知识点1 有理数的乘法法则
拓展
讨论:
(1)若a＜0,b＞0,则ab_____0 ;
(2)若a＜0,b＜0,则ab_____0 ;
(3)若ab＞0,则a、b应满足什么条件？
(4)若ab＜0,则a、b应满足什么条件？
＜
＞
a、b同号
a、b异号
新知探究
知识点1 有理数的乘法法则
问题5 计算：
解：
有理数乘法的求解步骤:
先确定积的符号；
再求绝对值的积.
新知探究
知识点1 有理数的乘法法则
问题6 计算：
（1） ×2；　　　（2）( - )×(-2)
观察上面两题有何特点
结论: 如果两个有理数的乘积是1，那么我们称其中一个数为另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数，.0没有倒数..
显然，一个正数的倒数是正数，一个负数的倒数是负数.
（2）（- ）×（-2）= 1
解：（1） ×2 = 1
思考：数a(a≠0)的倒数是什么
(a≠0时,a的倒数是 )
新知探究
知识点2 倒数
问题7 说出下列各数的倒数：
１，－１， ，－ ，５，－５，0.75，－
1，
－１，
3，
—3，
归纳
（1）求一个数的倒数，不能改变它的性质符号，即一个正数的倒数是正数，一个负数的倒数是负数；
（2）求小数或带分数时的倒数时，先将小数或带分数化为分数或者假分数，再颠倒其分子和分母的位置.
新知探究
知识点2 倒数
问题8 通常情况下，海拔高度每增加1km，气温就降低大约6℃（气温降低为负）.某校七年级科技兴趣小组在海拔高度为1000m的山腰上，测得气温是12℃.请你推算此山海拔高度为3500m处的气温大约是多少.
解：1000m=1km,3500m=3.5km.
12+(-6)×(3.5-1)
=12+(-15)
=-3(℃).
答：气温大约是零下3℃.
知识点1 有理数的乘法法则
1. (荣德原创题)填空.
(1)(－2)×(－3)
　＝ ( × )
　＝ .
　两数相乘，同号得 ，并把它们的
相乘.
＋　
2　
3　
6　
正　
绝对值　
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(2)(－3)×
　＝ ( × )
　＝－ .
　两数相乘，异号得 ，并把它们的
相乘.
－　
3　
　
负　
绝对值　
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2. [2023·天津]计算 ×(－2)的结果等于(　D　)
B. －1
D. 1
D
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3. [2023·南通]计算(－3)×2，正确的结果是(　D　)
A. 6 B. 5
C. －5 D. －6
D
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知识点2 有理数乘法法则的运用
4. [新考法·法则辨析法]下列说法中，错误的是(　C　)
A. 一个数同1相乘，仍得这个数
B. 一个数同－1相乘，得原数的相反数
C. 互为相反数的两数的积为1
D. 一个数同0相乘，得0
【点拨】
互为相反数的两数的积不是1，故C错.
C
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5. 已知两个有理数 a ， b ，如果 ab ＜0且 a ＋ b ＞0，那么
(　D　)
A. a ＞0， b ＞0
B. a ＜0， b ＞0
C. a ， b 同号
D. a ， b 异号，且正数的绝对值较大
【点拨】
因为 ab ＜0，所以 a ， b 异号.因为 a ＋ b ＞0，所以正
数的绝对值较大.
D
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6. [新考向·2023·杭州·数形结合法]已知数轴上的点 A ， B 分
别表示数 a ， b ，其中－1＜ a ＜0，0＜ b ＜1.若 a × b ＝
c ，数 c 在数轴上用点 C 表示，则点 A ， B ， C 在数轴上
的位置可能是(　B　)
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【点拨】
因为－1＜ a ＜0，0＜ b ＜1，
所以－1＜ a × b ＜0，
B
即－1＜ c ＜0，
那么点 C 应在－1和0之间.
故选B.
【答案】
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7. 计算：(－2)×0＋5.
【解】(－2)×0＋5＝0＋5＝5.
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知识点3 倒数
8. [母题 2023·泰安·教材P39习题A组T2]－ 的倒数为
(　A　)
A
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9. ｜－3｜的倒数是(　D　)
A. －3
C. 3
D
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10. [母题 教材P39习题A组T2]若 a 的倒数为2，则 a ＝
(　A　)
B. 2
D. －2
A
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易错点 因考虑问题不全面而出错
11. [新考法·分类讨论法]若｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，且 a ＋ b
＜0，则 ab ＝ .
【点拨】
由于正负不定，因此要进行分类讨论.分类时，注意
不要漏掉任何一种情况.
±12　
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有理数的乘法
有理数的乘法法则
倒数
有理数的乘法的实际应用
2.任何数同0相乘，都得0.
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
有理数中，乘积是1的两个数互为倒数
课堂小结
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