1.9 有理数的除法 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
1.9 有理数的除法
第一章 有理数
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
1.9 有理数的除法
—— 探索有理数除法运算的奥秘
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：知识引入
在前面，我们学习了有理数的乘法运算。而除法其实是乘法的逆运算。就像在整数运算中，因为\(2 3 = 6\)，所以\(6 ·3 = 2\)。那在有理数范围内，除法又该如何运算呢？这就是我们今天要探究的内容 —— 有理数的除法。
第三页：有理数除法的定义
已知两个有理数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做有理数的除法。
设\(a\)，\(b\)是两个有理数，且\(b 0\)，\(a\)除以\(b\)就是要求一个数\(x\)，使得\(x ·b = a\)，其中，\(x\)叫做\(a\)除以\(b\)所得的商，记作\(a ·b\)，\(a\)叫做被除数，\(b\)叫做除数。
强调：在有理数除法中，除数不能为\(0\)。因为若\(b = 0\)，对于任意有理数\(x\)，\(x ·0 = 0\)，不可能等于非零的\(a\)；而当\(a = 0\)，\(b = 0\)时，任何数\(x\)都满足\(x ·0 = 0\)，商不唯一，所以除数为\(0\)时除法没有意义。
第四页：有理数除法法则一
法则内容：除以一个不为\(0\)的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为\(a ·b = a \frac{1}{b}\)（\(b 0\)）。
实例说明：计算\(6 ·(-\frac{1}{3})\)，根据该法则，\(6 ·(-\frac{1}{3}) = 6 (-3)= -18\)。
解释：这里\(-\frac{1}{3}\)的倒数是\(-3\)，所以将除法运算转化为乘法运算，更便于计算。尤其在不能整除的情况下，运用这个法则可以将复杂的除法转化为我们熟悉的乘法。
第五页：有理数除法法则二
法则内容：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数，都得\(0\)。
实例说明：
计算\((-12) ·(-3)\)，因为被除数\(-12\)和除数\(-3\)同号，所以商为正，再把它们的绝对值相除，\(\vert -12\vert ·\vert -3\vert = 12 ·3 = 4\)，即\((-12) ·(-3)=4\)。
计算\(15 ·(-5)\)，被除数\(15\)和除数\(-5\)异号，商为负，\(\vert 15\vert ·\vert -5\vert = 3\)，所以\(15 ·(-5)= -3\)。
计算\(0 ·7\)，根据法则，\(0\)除以任何非零数都得\(0\)，所以\(0 ·7 = 0\)。
强调：在能整除的情况下，运用这个法则可以快速确定商的符号和大小，简化计算过程。
第六页：法则的选择与运用
一般来说，在进行有理数除法运算时：
如果算式中的数是分数形式，尤其是除数是分数时，常运用法则一，将除法转化为乘法，这样便于约分计算。
例如：计算\(\frac{2}{3} ·\frac{4}{5}\)，运用法则一，\(\frac{2}{3} ·\frac{4}{5}=\frac{2}{3} \frac{5}{4}=\frac{5}{6}\)。
如果算式中的数是整数形式，且能整除，运用法则二更为简便。
例如：计算\(24 ·(-6)\)，运用法则二，因为\(24\)与\(-6\)异号，商为负，\(\vert 24\vert ·\vert -6\vert = 4\)，所以\(24 ·(-6)= -4\)。
第七页：例题解析（一）—— 运用法则一
例题 1：计算下列各题
（1）\((-8) ·\frac{2}{3}\)；（2）\(\frac{5}{6} ·(-\frac{10}{3})\)。
解：（1）\((-8) ·\frac{2}{3}\)
根据法则一，除以一个数等于乘以它的倒数：\(\begin{align*}
=&(-8) \frac{3}{2}\\
=&(-4) 3\\
=& -12
\end{align*}\)
（2）\(\frac{5}{6} ·(-\frac{10}{3})\)
同样运用法则一：\(\begin{align*}
=&\frac{5}{6} (-\frac{3}{10})\\
=&\frac{1}{2} (-\frac{1}{2})\\
=&-\frac{1}{4}
\end{align*}\)
第八页：例题解析（二）—— 运用法则二
例题 2：计算下列各题
（1）\(48 ·(-6)\)；（2）\((-45) ·(-9)\)。
解：（1）\(48 ·(-6)\)
因为被除数\(48\)与除数\(-6\)异号，根据法则二，商为负，再把绝对值相除：\(\begin{align*}
=&-(48 ·6)\\
=& -8
\end{align*}\)
（2）\((-45) ·(-9)\)
被除数\(-45\)与除数\(-9\)同号，商为正，绝对值相除：\(\begin{align*}
=&45 ·9\\
=&5
\end{align*}\)
第九页：有理数乘除混合运算
运算步骤：
将所有除数转化为其倒数，把所有除法转化为乘法。
确定积的符号：根据多个有理数相乘的符号法则，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。
运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果。
例题 3：计算\((-12) ·(-\frac{1}{3}) (-4)\)
解：
第一步，将除法转化为乘法：\(\begin{align*}
=&(-12) (-3) (-4)
\end{align*}\)
第二步，确定积的符号，这里有\(2\)个负因数，积为负：\(\begin{align*}
=&-(12 3 4)
\end{align*}\)
第三步，计算结果：\(\begin{align*}
=&-(36 4)\\
=& -144
\end{align*}\)
第十页：课堂练习
填空题：
\( (-10) ·2=\)；\(0 ·(-5)=\)。
\(\frac{3}{4} ·(-\frac{1}{2})=\)；\((-8) ·(-\frac{1}{4})=\)。
若\(a ·b = 1\)（\(b 0\)），则\(a\)与\(b\)的关系是______。
计算下列各题：
（1）\((-24) ·(-3)\)
（2）\(15 ·(-\frac{3}{5})\)
（3）\((-\frac{7}{8}) ·\frac{7}{4}\)
（4）\((-36) ·\frac{3}{4} ·(-\frac{9}{5})\)
（5）\(5 (-6) ·(-3)\)
第十一页：课堂小结
有理数除法的定义：已知两个有理数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
有理数除法法则：
法则一：除以一个不为\(0\)的数，等于乘这个数的倒数（\(a ·b = a \frac{1}{b}\)，\(b 0\)）。
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数，都得\(0\)。
有理数乘除混合运算步骤：先将除法转化为乘法，确定积的符号，再运用乘法运算律计算结果。
注意事项：除数不能为\(0\)；在运算过程中要注意符号的确定和运算顺序。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 1.9 第 3、4、5 题。
计算下列各题：
（1）\((-35) ·7\)
（2）\(\frac{4}{5} ·(-\frac{8}{15})\)
（3）\((-18) ·(-\frac{2}{3}) ·(-\frac{9}{2})\)
（4）\(12 ·(-\frac{3}{4}) (-\frac{1}{2})\)
（5）\((-2) (-\frac{1}{4}) ·(-\frac{1}{8})\)
已知\(a = -2\)，\(b = \frac{1}{3}\)，\(c = -5\)，求\(a ·(b c)\)和\((a ·b) c\)的值，比较它们的结果，你能发现什么？
思考：在有理数除法中，是否有类似乘法交换律、结合律、分配律的运算律呢？举例说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.掌握有理数除法法则,体会除法与乘法的关系,以及将除法转化为乘法的转化思想.
2.会熟练进行有理数的除法运算，提高运算能力.
3.会利用有理数的除法运算解决简单的实际问题形成应用
意识.
学习目标
你能很快地说出下列各数的倒数吗
原数 5 7 0 -1
倒数
-1
倒数的定义你还记得吗？
复习
课堂导入
根据“除法是乘法的逆运算”填空：
乘法 除法 乘法
（+2）×（+3）=+6
（-2）×（-3）=+6
（-2）×（+3）=-6
（-6）÷（-2）=
（-6）÷（+3）=
（+6）÷（-2）=
（+6）÷（-3）=
（+6）÷（+2）=
（+6）÷（+3）=
-2
+3
+2
-3
+3
-2
+3
+2
-3
-2
+3
-2
探究
新知探究
知识点 有理数除法法则
（1）（+6）÷（+2）=
+3
+3
（2）（+6）÷（-2）=
-3
-3
观察下列两组式子，你能找到它们的共同点吗？
“÷”变“×”
“÷”变“×”
互为倒数
互为倒数
归纳：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
新知探究
知识点 有理数除法法则
（+6）÷（-2）= - 3
（-6）÷（+3）= - 3
（+6）÷（+2）= + 3
（-6）÷（-2）= + 3
同号两数相除得正数
异号两数相除得负数
并把它们的绝对值相除.
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
归纳
新知探究
知识点 有理数除法法则
0除以任何不等于0的数都得0.
0×（+5）=0
0×（-5）=0
0÷（+5）=
0÷（-5）=
0
0
观察一下式子，你能得出什么结论？
归纳
你能结合有理数的乘法法则，归纳出有理数的除法法则吗？
新知探究
知识点 有理数除法法则
有理数的除法法则：
1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
3.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
新知探究
知识点 有理数除法法则
问题1 计算：
解：
同号得正，绝对值相除.
除以一个数等于乘这个数的倒数.
异号得负，绝对值相除.
新知探究
知识点 有理数除法法则
问题2 计算：
解：
新知探究
知识点 有理数除法法则
1.下列把除法转换为乘法的过程中正确的是( )
C
随堂练习
2.下列计算正确的是( )
D
随堂练习
知识点1 倒数法法则
1. 计算1÷ 时，将除法变为乘法正确的是(　D　)
D
1
2
3
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5
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8
9
10
11
12
13
2. 计算(－6)÷ 的结果是(　C　)
A. －18 B. 2
C. 18 D. －2
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点2 绝对值法法则
3. 计算5÷(－5)＝ .
－1　
1
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5
6
7
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11
12
13
4. [2023·常德]下面算法正确的是(　D　)
A. (－5)＋9＝－(9－5)
B. 7－(－10)＝7－10
C. (－5)×0＝－5
D. (－8)÷(－4)＝8÷4
D
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4
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12
13
知识点3 有理数的加减乘除混合运算
5. 下列计算正确的是(　D　)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 计算12＋(－18)÷(－6)－(－3)×2的结果是(　C　)
A. 7 B. 8
C. 21 D. 36
【点拨】
原式＝12＋3＋6＝21.
C
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3
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7. 一段铁丝，第一次剪下全长的 ，第二次剪下的长度与第
一次剪下的长度的比是9∶20，还剩7米，这段铁丝全长
(　D　)
A. 12米 B. 24米
C. 32米 D. 36米
1
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13
＝7÷
＝7÷ ＝36(米).
即这段铁丝全长36米.故选D.
【点拨】
7÷
D
【答案】
1
2
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5
6
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12
13
8. 取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶
数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1，
这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确
的.例如：取自然数5，经过下面5步运算可得到1，即如图
所示.如果自然数 m 恰好经过7步运算可得到1，则所有符
合条件的数的和是(　D　)
5 16 8 4 2 1
A. 23 B. 151
C. 150 D. 172
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易错点 因弄错运算顺序或运算律而出错
9. 计算： ÷ ÷ × －(－6.4).
【解】原式＝ ÷ ÷ × ＋6.4
＝－ ×6× × ＋6.4
＝－ ＋
＝0.
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13
　
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
法则一
法则二
除法
有理数
0除以任何非0的数都得0.
除以一个数等于乘这个数的倒数.
课堂小结
谢谢观看！