2.3 线段长短的比较 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
2.3 线段长短的比较
第二章 几何图形的初步认识
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
2.3 线段长短的比较
—— 掌握比较方法，理解线段中点
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在生活中，我们经常需要比较物体的长短，比如比较两根铅笔的长度、两条绳子的长短等。这些实际物体的长短比较，其实都可以抽象为线段长短的比较。线段是有长度的，那么我们该如何比较两条线段的长短呢？这节课我们就来学习线段长短的比较方法，以及与线段长度相关的重要概念 —— 线段的中点。
第三页：比较线段长短的方法（一）—— 叠合法
定义：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，根据另一个端点的位置关系来比较线段的长短。
操作步骤：
将线段\(AB\)和线段\(CD\)的一个端点重合，比如让点\(A\)与点\(C\)重合。
使线段\(AB\)和线段\(CD\)落在重合端点的同一侧。
观察另一个端点的位置：
若点\(B\)与点\(D\)重合，则线段\(AB\)与线段\(CD\)相等，记作\(AB = CD\)。
若点\(B\)在线段\(CD\)上，则线段\(AB\)比线段\(CD\)短，记作\(AB < CD\)。
若点\(B\)在线段\(CD\)的延长线上，则线段\(AB\)比线段\(CD\)长，记作\(AB > CD\)。
实例：比较两根小棒的长短，我们可以将它们的一端对齐，然后看另一端的位置，就能知道哪根长、哪根短，这就是叠合法的实际应用。
第四页：比较线段长短的方法（二）—— 度量法
定义：用刻度尺分别测量出两条线段的长度，再根据长度的大小来比较线段的长短。
操作步骤：
用刻度尺的 0 刻度线与线段的一个端点对齐。
读取线段另一个端点所对应的刻度值，这个值就是线段的长度。
比较两条线段长度的数值大小：数值大的线段长，数值小的线段短，数值相等则线段等长。
实例：测量课本的长和宽，得到长是 26 厘米，宽是 18 厘米，由此可知课本的长大于宽，即表示长的线段比表示宽的线段长。
注意：使用度量法时，要注意刻度尺的单位，确保测量的准确性。
第五页：两种比较方法的区别与联系
方法
操作方式
特点
适用场景
叠合法
通过线段的重合直观比较
直观形象，不需要测量工具
可以直接接触的线段，或在图纸上可操作的线段
度量法
测量长度后比较数值
精确，需要借助刻度尺
需要知道具体长度的情况，或线段不便直接叠合的情况
联系：两种方法都能比较出线段的长短，在实际应用中可以根据具体情况选择合适的方法。
第六页：线段的中点
定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
图形表示：若点\(M\)是线段\(AB\)的中点，则\(AM = MB=\frac{1}{2}AB\)，或\(AB = 2AM = 2MB\)。
实例：一根 10 厘米长的线段，其中点把它分成了两条各 5 厘米长的线段。
几何语言描述：
因为点\(M\)是线段\(AB\)的中点，所以\(AM = MB\)。
若\(AM = MB\)，且点\(M\)在线段\(AB\)上，则点\(M\)是线段\(AB\)的中点。
第七页：例题解析（一）—— 比较线段长短
例题 1：如图，已知线段\(AB\)和线段\(CD\)，用叠合法比较它们的长短。
解：将点\(A\)与点\(C\)重合，使线段\(AB\)和线段\(CD\)在同一侧。观察发现点\(B\)在线段\(CD\)的延长线上，所以\(AB > CD\)。
例题 2：用刻度尺测量出线段\(EF\)和线段\(GH\)的长度，其中线段\(EF\)的长度是 3.5 厘米，线段\(GH\)的长度是 4 厘米，比较它们的长短。
解：因为 3.5 厘米\(<4\)厘米，所以\(EF < GH\)。
第八页：例题解析（二）—— 线段中点的应用
例题 3：已知线段\(AB = 8\)厘米，点\(C\)是线段\(AB\)的中点，求线段\(AC\)的长度。
解：因为点\(C\)是线段\(AB\)的中点，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)。
又因为\(AB = 8\)厘米，所以\(AC=\frac{1}{2} 8 = 4\)厘米。
例题 4：如图，点\(M\)是线段\(AB\)的中点，点\(N\)是线段\(AM\)的中点，若\(AB = 12\)厘米，求线段\(AN\)的长度。
解：因为点\(M\)是线段\(AB\)的中点，所以\(AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} 12 = 6\)厘米。
又因为点\(N\)是线段\(AM\)的中点，所以\(AN=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2} 6 = 3\)厘米。
第九页：画一条线段等于已知线段
方法：利用圆规和直尺可以画出一条线段等于已知线段。
先用直尺画一条射线\(AC\)。
用圆规量取已知线段\(AB\)的长度（即把圆规的两脚分别落在点\(A\)和点\(B\)上）。
保持圆规两脚的距离不变，把圆规的一个脚落在射线\(AC\)的端点\(A\)上，另一个脚在射线\(AC\)上截取点\(B'\)，则线段\(AB'\)就是与线段\(AB\)相等的线段，即\(AB'=AB\)。
实例：要画一条与已知线段\(MN\)相等的线段，就可以按照上述方法操作，画出的线段与\(MN\)长度相同。
第十页：课堂练习
填空题：
比较两条线段的长短，常用的方法有______和______。
若点\(P\)是线段\(AB\)的中点，且\(AB = 10\)厘米，则\(AP=\)______厘米。
如图，用叠合法比较线段\(AB\)和\(CD\)的长短，可知\(AB\)______\(CD\)（填 “\(>\)”“\(<\)” 或 “\(=\)”）。
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 线段的中点到线段两个端点的距离相等
B. 若\(AP = PB\)，则点\(P\)是线段\(AB\)的中点
C. 比较线段长短时，叠合法比度量法更准确
D. 两条线段的长短与它们的位置无关
已知线段\(AB = 6\)厘米，点\(C\)在直线\(AB\)上，且\(BC = 2\)厘米，则线段\(AC\)的长度是（ ）
A. 4 厘米 B. 8 厘米 C. 4 厘米或 8 厘米 D. 无法确定
解答题：
（1）已知线段\(a\)和线段\(b\)（\(a > b\)），用直尺和圆规画一条线段，使它等于\(a - b\)。
（2）已知线段\(AB = 14\)厘米，点\(C\)是线段\(AB\)上一点，\(BC = 6\)厘米，点\(D\)是线段\(AC\)的中点，求线段\(AD\)的长度。
第十一页：课堂小结
比较线段长短的两种方法：
叠合法：通过重合端点，观察另一个端点的位置比较。
度量法：测量长度后比较数值大小。
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，中点到线段两端点的距离相等，即\(AM = MB=\frac{1}{2}AB\)。
画一条线段等于已知线段：利用圆规和直尺，通过截取的方法完成。
在解决与线段中点相关的问题时，要注意结合图形，运用中点的性质进行计算。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 2.3 第 1、2、3、4 题。
填空题：
若线段\(AB = 5\)厘米，线段\(BC = 3\)厘米，且点\(B\)在线段\(AC\)上，则\(AC=\)______厘米。
点\(M\)是线段\(AB\)的中点，若\(AM = 3\)厘米，则\(AB=\)______厘米，\(BM=\)______厘米。
解答题：
（1）用刻度尺测量出三角形三条边的长度，并比较它们的长短。
（2）已知点\(C\)是线段\(AB\)的中点，点\(D\)是线段\(BC\)的中点，若\(AB = 20\)厘米，求线段\(AD\)的长度。
（3）如图，已知线段\(a\)、\(b\)，用直尺和圆规画一条线段\(c\)，使\(c = a + 2b\)。
思考：如果点\(C\)不在线段\(AB\)上，而是在直线\(AB\)上，且\(AB = 10\)厘米，\(BC = 3\)厘米，那么线段\(AC\)的长度是多少？画图说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.经历比较线段长短的过程,理解比较线段长短的方法,积累数学活动经验.
2.理解并掌握“两点之间,线段最短”的基本事实，并能解决实际问题,培养数学应用意识.
3.理解两点之间的距离的意义，培养几何直观.
学习目标
小明
小华
我比你高!
你哪有我高啊!
比一比
服了吧!
小明
小华
喔，原来你比我高!
1.68
1.70
课堂导入
想一想：
要比较两根绳子的长短,你有几种方法
1.可以用尺子分别量两根绳子的长度，然后比较.
2.可以将两根绳子叠合在一起，就可以比较出来.
——度量法
——叠合法
新知探究
知识点1 线段长短的比较方法
问题1 我们在生活中如何比较两个人的身高？以此为启发，想一想怎样比较两条线段的长短？
度量法
用尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较.
叠合法
让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮.
新知探究
知识点1 线段长短的比较方法
线段的长短比较
比较线段AB，CD的长短.
C D
A B
1.度量法：
2.叠合法：
分别测量AB，CD的长度，可知AB将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.
可知AB新知探究
知识点1 线段长短的比较方法
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB CD.
(A)
B
＜
叠合法结论：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB_____CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
新知探究
知识点1 线段长短的比较方法
问题2 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它相等的线段？
在可打开角度的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍”.
新知探究
知识点1 线段长短的比较方法
作一条线段等于已知线段
已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.
第一步：用直尺画射线 AF；
第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a.
所以线段 AB 为所求线段.
a
A F
a
B
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
新知探究
知识点1 线段长短的比较方法
尺规作图的要点:
1.直尺只能用来画线，不能量距;
2.尺规作图要求作出图形，说明结果，并保留作图痕迹.
新知探究
知识点1 线段长短的比较方法
杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道. 大桥北起嘉兴市，跨越宽阔的杭州湾海域后止于宁波市，全长36km. 大桥建成后宁波至上海间的陆路距离缩短了约120km. 你知道这是根据什么原理吗？
新知探究
知识点2 线段的基本事实及两点间的距离
问题3 如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.


A
B
新知探究
知识点2 线段的基本事实及两点间的距离


A
B
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：
两点之间，线段最短..
两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离..
新知探究
知识点2 线段的基本事实及两点间的距离
1．七年级(1)班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法(　　)
A．把两条大绳的一端对齐，然后同一方向上拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳
B．把两条绳子接在一起
C．把两条绳子重合，观察另一端情况
D．没有办法挑选
A
随堂练习
2.如图，AB=CD，则AC与BD的大小关系是( )
A. AC＞BD B. AC＜BD
C. AC=BD D. 不能确定
C
随堂练习
3.把一条弯曲的河道改直，可以缩短行程，这样做的依据是( )
A.两点之间，线段最短
B.经过两点有且只有一条直线
C.线段可以比较大小
D.线段有两个端点
A
随堂练习
4.下列说法中正确的是( )
A.两点之间，直线最短
B.线段MN就是M，N两点之间的距离
C.在连接两点的所有连线中，最短的连线的长度就是这两点间的距离
D.从武昌到广州，火车行驶的路程就是武昌到广州的距离
C
随堂练习
知识点1 比较线段的长短
1. [新考法·度量法]如图，比较线段 a 和线段 b 的长度，结果
正确的是(　B　)
A. a ＞ b B. a ＜ b
C. a ＝ b D. 无法确定
(第1题)
B
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12
13
【点拨】
根据用刻度尺测量两条线段的结果解答. a ＝3.5
cm， b ＝4 cm，可得 a ＜ b .
2. [2024·邯郸丛台区月考]有两条线段 AB 和 CD ，李明很难
判断出它们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示，
由此可得出 AB CD . (填“＞”“＜”或“＝”)
(第2题)
＞　
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知识点2 画一条线段等于已知线段
3. [2024·定州期末]如图，平面上有射线 AP 和点 B 、点 C ，
用尺规按下列要求画图，并保留画图痕迹.
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13
(2)在射线 AP 上截取 AD ＝ AB ；
(3)连接 BC ，并延长 BC 到点 E ，使 CE ＝ BC ；
(4)连接 DE .
【解】如图所示：
(1)连接 AB ；
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知识点3 两点之间的距离
4. 如图，线段 AB ＝8 cm，延长 AB 到点 C ，若 AB ＝2 BC ，
则 A ， C 两点之间的距离为(　D　)
A. 4 cm B. 6 cm
C. 8 cm D. 12 cm
【点拨】
因为 AB ＝2 BC ＝8 cm，所以 BC ＝4 cm.所以 AC ＝
AB ＋ BC ＝8＋4＝12(cm)，故选D.
D
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5. [新考法·分类讨论法]点 B 在直线 AC 上，线段 AB ＝5，
BC ＝3，则 A ， C 两点间的距离是(　C　)
A. 8 B. 2
C. 8或2 D. 无法确定
【点拨】
当点 B 在线段 AC 上时， AC ＝ AB ＋ BC ＝5＋3＝8；
当点 B 不在线段 AC 上时， AC ＝ AB － BC ＝5－3＝2，故
选C.
C
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知识点4 线段的基本事实(性质)
6. [2024·郑州校级调研]如图，从 C 地到 B 地有①②③3条路
线可以走，下列判断正确的是(　B　)
A. 路线①最短
B. 路线②最短
C. 路线③最短
D. 路线①②③长度都一样
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13
【点拨】
根据两点之间线段最短，可知路线②是最短的，
故选B.
B
【答案】
1
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7. [2024·郓城期末]生活中，有下列两个现象，对于这两个现
象的解释，正确的是(　D　)
D
1
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12
13
A. 均用两点之间，线段最短来解释
B. 均用两点确定一条直线来解释
C. 现象1用两点之间，线段最短来解释，现象2用两点确
定一条直线来解释
D. 现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之
间，线段最短来解释
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线段的长短比较
尺规作图
线段长短的比较
线段的基本事实
度量法
叠合法
两点之间，线段最短
课堂小结
两点之间的距离
谢谢观看！