2.5 角和角的度量 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
2.5 角和角的度量
第二章 几何图形的初步认识
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
2.5 角和角的度量
—— 认识角的概念，掌握度量方法
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在我们的生活中，角是一种非常常见的几何图形。钟表上时针和分针转动形成的图形是角，三角板的拐角是角，打开的扇子两边形成的图形也是角…… 角在我们的生活中无处不在。那么，什么是角？如何度量角的大小呢？这节课我们就来学习角和角的度量。
第三页：角的定义
定义 1：由公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
图形表示：
如图，射线\(OA\)和射线\(OB\)有一个公共端点\(O\)，它们组成的图形就是角，其中点\(O\)是顶点，射线\(OA\)和\(OB\)是角的两条边。
定义 2：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。旋转时，开始的位置叫做角的始边，结束的位置叫做角的终边。
实例：
钟表上的时针从数字 12 转到数字 3，这条射线（时针）绕着端点（钟表中心）旋转形成的图形就是一个角。
第四页：角的表示方法
角的表示方法通常有以下几种：
用三个大写字母表示：在角的两边上各取一个点，连同顶点一起，用三个大写字母表示，且顶点字母必须写在中间。例如，图中的角可以表示为\(\angle AOB\)。
用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用表示顶点的这个大写字母表示。例如，\(\angle AOB\)也可以表示为\(\angle O\)（前提是点\(O\)处只有这一个角）。
用数字表示：在角的内部靠近顶点的地方画上弧线，标上数字，就可以用这个数字表示角。例如，\(\angle 1\)、\(\angle 2\)等。
用希腊字母表示：与用数字表示类似，在角的内部靠近顶点的地方画上弧线，标上希腊字母（如\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)等），就可以用这个希腊字母表示角。例如，\(\angle \alpha\)、\(\angle \beta\)等。
注意：用一个大写字母表示角时，必须保证这个顶点处只有一个角，否则容易混淆。
第五页：角的度量单位
角的度量单位是度、分、秒，它们之间的换算关系如下：
\(1\)度记作\(1 °\)，\(1\)分记作\(1'\)，\(1\)秒记作\(1''\)。
\(1 °=60'\)，\(1'=60''\)（即\(1 °=3600''\)）。
实例：
\(0.5 °=0.5 60'=30'\)
\(30'=30 60''=1800''\)
\(150''=150 ·60'=2.5'\)
\(2.5'=2.5 ·60 ° 0.042 °\)
第六页：角的度量工具 —— 量角器
量角器是度量角的大小的工具，它的形状是一个半圆，上面标有刻度，半圆的圆心是量角器的中心，半圆的直径是量角器的零刻度线。
量角器的刻度：
量角器上有两圈刻度，内圈刻度和外圈刻度，两圈刻度都是从\(0 °\)到\(180 °\)。
内圈刻度是按照逆时针方向从\(0 °\)到\(180 °\)，外圈刻度是按照顺时针方向从\(0 °\)到\(180 °\)。
第七页：角的度量方法
使用量角器度量角的步骤如下：
点点重合：将量角器的中心与角的顶点重合。
线边重合：将量角器的零刻度线与角的一条边重合。
读准度数：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
注意：
读数时，要根据角的另一条边所对的刻度是内圈刻度还是外圈刻度来确定角的度数。如果角的一条边与内圈零刻度线重合，就读内圈刻度；如果与外圈零刻度线重合，就读外圈刻度。
度量时，量角器要放正，确保测量准确。
第八页：例题解析（一）—— 度、分、秒的换算
例题 1：将下列角度进行换算
（1）\(3.2 °=\)°'；（2）\(5 °30'=\)______°；（3）\(45'=\)°；（4）\(360''=\)'=)______°。
解：（1）因为\(0.2 °=0.2 60'=12'\)，所以\(3.2 °=3 °12'\)。
（2）因为\(30'=30 ·60 °=0.5 °\)，所以\(5 °30'=5.5 °\)。
（3）\(45'=45 ·60 °=0.75 °\)。
（4）\(360''=360 ·60'=6'\)，\(6'=6 ·60 °=0.1 °\)，所以\(360''=6'=0.1 °\)。
第九页：例题解析（二）—— 角的度量
例题 2：用量角器度量如图所示的\(\angle AOB\)的度数。
解：按照角的度量方法：
将量角器的中心与点\(O\)重合。
将量角器的零刻度线与\(OA\)重合。
观察到\(OB\)所对的量角器内圈刻度是\(60 °\)，所以\(\angle AOB=60 °\)。
例题 3：已知一个角的度数是\(75 °\)，画出这个角。
解：画图步骤：
画一条射线\(OA\)，作为角的始边。
将量角器的中心与点\(O\)重合，零刻度线与\(OA\)重合。
在量角器\(75 °\)刻度线的地方点上一点\(B\)。
以点\(O\)为端点，通过点\(B\)画一条射线\(OB\)，则\(\angle AOB\)就是\(75 °\)的角。
第十页：课堂练习
填空题：
角是由有公共端点的______组成的图形，这个公共端点叫做角的______，这两条______叫做角的边。
\(1.5 °=\)______'；\(30'=\)°；\(120''=\)'。
如图，\(\angle AOB\)可以表示为______，也可以表示为______。
选择题：
下列关于角的表示方法，正确的是（ ）
A. 图中\(\angle A\)可以表示为\(\angle BAC\)
B. 图中\(\angle 1\)可以表示为\(\angle C\)
C. 图中\(\angle ABC\)可以表示为\(\angle B\)
D. 以上都不对
一个角的度数是\(30 °\)，它的补角的度数是（ ）
A. \(30 °\) B. \(60 °\) C. \(150 °\) D. \(180 °\)
解答题：
（1）用量角器度量课本上一个三角形的三个角的度数，并计算它们的和。
（2）将\(8 °30'18''\)换算成度。
（3）画出一个\(120 °\)的角。
第十一页：课堂小结
角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形，或一条射线绕着端点旋转形成的图形。
角的表示方法：用三个大写字母、一个大写字母、数字或希腊字母表示。
角的度量单位：度、分、秒，换算关系为\(1 °=60'\)，\(1'=60''\)。
角的度量工具是量角器，度量时要做到 “点点重合”“线边重合”，再读准度数。
画指定度数的角时，借助量角器按照步骤操作即可。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 2.5 第 1、2、3、4 题。
填空题：
时钟在 3 点整时，时针和分针所成的角的度数是______°。
\(2 °15'=\)°；\(450''=\)'。
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）：
角的边越长，角的度数越大。（ ）
用一个大写字母可以表示任何一个角。（ ）
\(1 °=60''\)。（ ）
解答题：
（1）用量角器度量一个四边形的四个角的度数，并计算它们的和。
（2）将\(15.2 °\)换算成度、分、秒。
（3）画出一个\(45 °\)的角和一个\(135 °\)的角。
思考：时钟在 1 点到 2 点之间，什么时候时针和分针所成的角是\(90 °\)？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
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中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.通过丰富的实例进一步认识角及角的意义，了解角的表示方法，发展抽象能力,培养几何直观.
2.认识角的度量单位:度、分、秒,会进行角度的换算，发展运算能力.
学习目标
角在生中
无处不在
课堂导入
问题1 观察下列两个图形，你能总结出角的定义吗？
角是有公共端点的两条射线所组成的图形.
顶点
边
边
新知探究
知识点1 角的概念
问题2 观察裁纸刀的开合过程，你能说说角是怎么形成的吗？
角可以看作是一条射线绕着其端点从一个位置旋转
到另一个位置所形成的图形.
两条射线
——角的边
公共端点
——角的顶点
新知探究
知识点1 角的概念
1.表示一个角有几种方法？
2.用三个大写字母表示一个角应注意什么？
3.什么情况下可以用角的顶点表示这个角？
4.用希腊字母或阿拉伯数字表示一个角应注意什么？
1
新知探究
知识点2 角的表示方法
1.用三个大写的字母表示
表示方法
注意事项
表示顶点的字母要写在中间
C
A
B
∠ABC
2.用一个顶点的字母来表示
一个字母只表示一个角
O
∠O
3.用一个数字或希腊字母表示
要加短弧
∠1
α
1
∠α
提醒：“∠”读做“角”，要区别
“<”（小于号）.
“α”读做“阿尔法”
当两个或两个以上的角共用一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
新知探究
知识点2 角的表示方法
　例1　将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表：
A
D
B
C
E
1
2
α
∠1
∠ACB
∠BAC
∠ β
β
∠ABC
∠BCE
∠ α
∠2
∠BAD
∠B
新知探究
知识点2 角的表示方法
问题3 怎么知道一个角的大小？
量角器
A
B
O
度量角的方法:
对中 对线 读数
1.对“中”——角的顶点与量角器的中心重合
2.对线 ——角的一边与量角器的零线重合
3.读数 ——读出角的另一边所对的度数
新知探究
知识点3 角的度量与换算
用量角器可以量出角的度数 ，那么“1度”到底是多大呢
把一个周角（即它的旋转量）分为360等份，每一等份叫做1度，记做1°.
1度的概念
为了更精细地度量角，我们引入更小的度量单位：分、秒.
把1°的角等分成60份，每份叫作1分的角，记做1'.
把1′的角等分成60份，每份叫做1秒的角，记做1″.
即
角的度、分、秒是60进制的！
新知探究
知识点3 角的度量与换算
例2 将57. 32°用度、分、秒表示.
解：先把0.32°化为分，
0.32 °=60′×0.32=19.2′，
再把0.2′为秒，
0.2′ = 60"×0.2 = 12".
所以
57. 32°=57°19′12".
按1°＝60′，1′＝60″先把度化成分，再把分化成秒
(小数化整数)
新知探究
知识点3 角的度量与换算
例3 将10°6′ 36" 用度表示.
解：先把36"化为分，
36″= ×36=0.6′ ，6′ +0.6′ = 6.6′.
再把6.6'化为度，
6.6′= ×6.6=0.11°,
所以
10°6′36" =10.11°.
按1″＝( )′，1′＝( )°先把秒化成分，再把分化成度(整数化小数)
新知探究
知识点3 角的度量与换算
例4 下午2时15分到3时30分，时钟的时针转过的度数为______.
解析：如图，时钟被分成12个大格，相当于把圆分成12等份，每一等份等于30°，即时针1小时转30°.
37.5°
从2时15分到3时30分，时针走了1时15分钟，即1.25小时，所以时针转过的度数为30°×1.25＝37.5°.
新知探究
知识点3 角的度量与换算
1.下列说法中正确的是( )
A.两条射线所组成的图形叫作角
B.有公共点的两条射线叫作角
C.一条射线绕着它的端点旋转叫作角
D.一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫作角
D
随堂练习
2.如图，下列说法中，正确的是( )
A.∠ABC和∠DAE是同一个角
B.∠ABC和∠C是同一个角
C.∠ADE可以用∠D表示
D.∠ABC可以用∠B表示
D
随堂练习
3.图中角的表示方法正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
随堂练习
知识点1 角及有关角的定义
1. [新考法·定义辨析法]下列说法中，正确的是(　B　)
A. 两条射线所组成的图形叫作角
B. 角的大小与所画角的两边的长短无关
C. 角的两边是两条线段
D. 角的两边是两条直线
B
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2. 已知， O 为直线 AB 上的一点，画出射线 OC (如图①)，则
图中有 个角(除平角外)；再画出射线 OD (如图②)，
则图中有 个角(除平角外)；再画出射线 OE (如图
③)，则图中有 个角(除平角外).
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知识点2 角的表示方法
3. 如图，下列各个图形中，能用∠1，∠ AOB ，∠ O 三种方
法表示同一角的图形是(　B　)
B
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4. 下列对于图形的描述中，正确的有(　B　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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第1个图形是以 A 为顶点的角，应表示为∠ CAB 或∠
A ，故错误；根据周角与平角的定义可知，对第2，3个图
形的描述正确，第4个图形的描述错误.故正确的有2个，
故选B.
【点拨】
B
【答案】
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知识点3 角的度量
5. [母题 教材P81习题B组T4]请用度表示：74°19'30″
＝ .
【点拨】
因为30″＝0.5'，19.5'＝0.325°，所以74°19'30″＝
74.325°.
74.325°　
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6. [2023·临沂]如图中用量角器测得∠ ABC 的度数是(　C　)
A. 50° B. 80°
C. 130° D. 150°
C
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7. 下面等式中，角度互化成立的是(　D　)
A. 83.5°＝83°5'
B. 37°12'36″＝37.48°
C. 24°24'24″＝24.44°
D. 41.25°＝41°15'
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C. 24″＝0.4'，24.4'≈0.41°，所以24°24'24″≈24.41°，故C错误；
D. 0.25°＝15'，所以41.25°＝41°15'，故D正确.
【点拨】
A. 0.5°＝30'，所以83.5°＝83°30'，故A错误；
B. 36″＝0.6'，12.6'＝0.21°，所以37°12'36″＝
37.21°，故B错误；
【答案】
D
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知识点4 钟面角
8. [情境题·生活应用]如图，分别确定四个城市相应钟表上时
针与分针所成的角的度数，填在钟表下方的横线上.
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9. [新考法·分类讨论法]当分针指向12，时针这时恰好与分针
成120°的角，此时是(　D　)
A. 9点钟 B. 8点钟
C. 4点钟 D. 8点钟或4点钟
【点拨】
当分针指向12，与时针的夹角为120°时，有如图两种情况，此时是8点钟或4点钟，故选D.
D
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10. 某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与
分针的夹角是(　C　)
A. 75° B. 90°
C. 105° D. 120°
【点拨】
当时间是9点30分时，时钟如图所示，此
时时针与分针的夹角为90°＋15°＝105°，
故选C.
C
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易错点 度、分、秒转化时，误按十进制进行换算
11. (1)把26.19°转化为用度、分、秒表示
为 ；
(2)把33°14'24″转化为用度表示为 .
26°11'24″　
33.24°　
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角
角的定义及表示方法
角的度量与换算
角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形，叫作角.
角的表示方法
角的度量工具：量角器
角的换算
1周角＝360°；1平角＝180°
1°＝60′；1′＝60″.
课堂小结
谢谢观看！