2.6 角大小的比较 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
2.6 角大小的比较
第二章 几何图形的初步认识
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
2.6 角大小的比较
—— 掌握比较方法，理解角的和差与平分线
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
我们已经学习了角的概念、表示方法和度量方法。在实际生活和几何学习中，经常需要比较两个角的大小，比如判断一个角是锐角还是钝角，比较两个三角形中对应角的大小等。那么，如何比较两个角的大小呢？这节课我们就来学习角大小的比较方法，以及与角相关的和差关系和角平分线的知识。
第三页：角大小的比较方法（一）—— 叠合法
定义：把两个角的顶点和一条边重合，通过观察另一条边的位置关系来比较角的大小。
操作步骤：
将两个角的顶点重合，比如把\(\angle AOB\)和\(\angle COD\)的顶点\(O\)和\(O'\)重合。
将两个角的一条边重合，使\(OA\)与\(O'C\)重合，并且使另一条边\(OB\)和\(O'D\)落在重合边的同侧。
观察另一条边的位置：
若\(OB\)与\(O'D\)重合，则\(\angle AOB = \angle COD\)。
若\(OB\)落在\(\angle COD\)的内部，则\(\angle AOB < \angle COD\)。
若\(OB\)落在\(\angle COD\)的外部，则\(\angle AOB > \angle COD\)。
实例：比较两个三角板上的角，我们可以将它们的顶点和一条直角边重合，通过观察另一条直角边的位置来判断角的大小。
第四页：角大小的比较方法（二）—— 度量法
定义：用量角器分别测量出两个角的度数，再根据度数的大小来比较角的大小。
操作步骤：
用量角器分别测量出\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的度数，记为\(n_1\)和\(n_2\)。
比较两个度数的大小：
若\(n_1 = n_2\)，则\(\angle 1 = \angle 2\)。
若\(n_1 < n_2\)，则\(\angle 1 < \angle 2\)。
若\(n_1 > n_2\)，则\(\angle 1 > \angle 2\)。
实例：测量出一个角的度数是\(30 °\)，另一个角的度数是\(45 °\)，则\(30 °\)的角小于\(45 °\)的角。
注意：测量时要确分成两个角，每个角的度数都是\(30 °\)。
几何语言描述：
因为\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，所以\(\angle AOC = \angle BOC\)。
若\(\angle AOC = \angle BOC\)，且射线\(OC\)在\(\angle AOB\)的内部，则\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线。
第七页：例题解析（一）—— 角的大小比较
例题 1：如图，已知\(\angle AOB\)和\(\angle COD\)，用叠合法比较它们的大小。
解：将\(\angle AOB\)和\(\angle COD\)的顶点\(O\)重合，使\(OA\)与\(OC\)重合，且\(OB\)和\(OD\)在重合边的同侧。观察发现\(OB\)落在\(\angle COD\)的内部，所以\(\angle AOB < \angle COD\)。
例题 2：已知\(\angle 1 = 50 °\)，\(\angle 2 = 130 °\)，比较\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的大小。
解：因为\(50 ° < 130 °\)，所以\(\angle 1 < \angle 2\)。
第八页：例题解析（二）—— 角的和差与平分线
例题 3：已知\(\angle AOB = 100 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，且\(OC\)在\(\angle AOB\)的内部，求\(\angle AOC\)的度数。
解：因为\(OC\)在\(\angle AOB\)的内部，所以\(\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC\)。
又因为\(\angle AOB = 100 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，所以\(\angle AOC = 100 ° - 30 ° = 70 °\)。
例题 4：已知\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(\angle AOB = 80 °\)，求\(\angle AOC\)的度数。
解：因为\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，所以\(\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AOB\)。
又因为\(\angle AOB = 80 °\)，所以\(\angle AOC=\frac{1}{2} 80 ° = 40 °\)。
例题 5：如图，\(\angle AOB = 120 °\)，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，\(\angle COB = 60 °\)，求\(\angle AOD\)的度数。
解：因为\(\angle AOC = \angle AOB - \angle COB\)，\(\angle AOB = 120 °\)，\(\angle COB = 60 °\)，所以\(\angle AOC = 120 ° - 60 ° = 60 °\)。
又因为\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，所以\(\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2} 60 ° = 30 °\)。
第九页：用尺规作一个角等于已知角
方法：利用直尺和圆规可以作出一个角等于已知角。
已知\(\angle AOB\)，求作\(\angle A'O'B'\)，使\(\angle A'O'B' = \angle AOB\)。
作图步骤：
作射线\(O'A'\)。
以点\(O\)为圆心，任意长为半径画弧，分别交\(OA\)于点\(C\)，交\(OB\)于点\(D\)。
以点\(O'\)为圆心，\(OC\)长为半径画弧，交\(O'A'\)于点\(C'\)。
以点\(C'\)为圆心，\(CD\)长为半径画弧，与前弧交于点\(D'\)。
过点\(D'\)作射线\(O'B'\)，则\(\angle A'O'B'\)就是所求作的角，即\(\angle A'O'B' = \angle AOB\)。
第十页：课堂练习
填空题：
比较两个角的大小，常用的方法有______和______。
若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，且\(\angle AOB = 140 °\)，则\(\angle AOC=\)______°。
已知\(\angle 1 = 35 °\)，\(\angle 2 = 55 °\)，则\(\angle 1 + \angle 2=\)______°，\(\angle 2 - \angle 1=\)______°。
选择题：
下列说法正确的是（ ）
A. 角的大小与边的长短有关
B. 用叠合法比较角的大小时，角的边越长，角越大
C. 若\(\angle AOC = \angle BOC\)，则\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线
D. 两个锐角的和一定是钝角
已知\(\angle AOB = 70 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，则\(\angle AOC\)的度数是（ ）
A. 100° B. 40° C. 100° 或 40° D. 无法确定
解答题：
（1）用量角器测量出两个角的度数，比较它们的大小，并计算它们的和与差。
（2）已知\(\angle AOB = 90 °\)，\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，求\(\angle BOD\)的度数。
（3）用尺规作一个角等于已知角\(\angle \alpha\)。
第十一页：课堂小结
角大小的比较方法：
叠合法：通过重合顶点和一条边，观察另一条边的位置比较。
度量法：测量度数后比较数值大小。
角的和与差：若射线在角的内部或外部，可形成角的和或差关系。
角的平分线：从顶点出发将角分成两个相等角的射线，具有\(\angle AOC = \angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB\)的性质。
用尺规可作一个角等于已知角，步骤需规范操作。
在解决角的相关问题时，要结合图形分析角之间的关系，灵活运用和差与平分线的性质。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 2.6 第 1、2、3、4 题。
填空题：
时钟在 2 点 30 分时，时针和分针所成的角的度数是______°。
已知\(\angle \alpha = 25 °30'\)，\(\angle \beta = 25.5 °\)，则\(\angle \alpha\)______\(\angle \beta\)（填 “\(>\)”“\(<\)” 或 “\(=\)”）。
解答题：
（1）已知\(\angle AOB = 150 °\)，\(OC\)在\(\angle AOB\)的外部，\(\angle BOC = 60 °\)，求\(\angle AOC\)的度数。
（2）如图，\(OE\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(OD\)是\(\angle BOC\)的平分线，若\(\angle AOC = 100 °\)，求\(\angle DOE\)的度数。
（3）用尺规作一个角，使它等于已知角\(\angle \alpha\)的 2 倍。
思考：一个角的补角是它的 3 倍，求这个角的度数。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.会用估测、度量、 叠合的方法比较两个角的大小,积累数学活动经验.
2.能用直尺和圆规作一个角等于已知角,发展空间观念和空间想象力.
学习目标
D
C
B
(1) 度量法
(2) 叠合法
将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.
(A)
C D
A B
尺规作图
还记得怎样比较线段的长短吗？
课堂导入
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB CD.
(A)
B
＜
叠合法结论：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB_____CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
课堂导入
有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
课堂导入
同学们,你们有办法帮他们进行判断吗
A
B
C
D
E
F
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小
课堂导入
怎样比较图中两个角的大小？
可用量角器量
与线段长短的比较类似，可以把它们叠合在一起比较大小
（1）度量法：用量角器分别测量出两个角的度数，角的度数大，对应的角就大．
新知探究
知识点1 角的大小比较
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
1.若射线O'C与射线OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.
2.若射线O'C在∠AOB外部，那么∠DO'C___∠AOB.
3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.
=
>
<
O'
C
D
（2）叠合法
新知探究
知识点1 角的大小比较
O
A
B
A
1
O
1
量已知角
画射线
描点
B
1
对心，对线，读数
对心，对线
所以∠A O B 就是我们所要作的角.
1
1
1
如何作一个角等于已知角？
用量角器来作
新知探究
知识点1 作一个角等于已知角
O
A
B
C
D
用直尺和圆规来作
做一做： 如图，已知∠AOB，作一个角等于这个角.
已知： ∠AOB.
求作： ∠A'O'B' 使∠A'O'B' =∠AOB.
新知探究
知识点1 作一个角等于已知角
O
A
B
作法：
①以点 为圆心，以 长为 半径画弧，交OA于点C，交OB于点D.
O
任意
C
D
O'
M
A'
B'
④以点 为圆心， 为半径画弧，与已画的弧交于点 .连接 .
②画射线O' M.
③以点 为圆心， 为半径画弧，交 O' M于点 .
O'
A'
结论： 即为所求作的角.
OC长
A'
CD长
B'
∠A'O'B'
O'B'
新知探究
知识点1 作一个角等于已知角
　利用三角尺还可以画出哪些度数的角？
30°、45°、60°、90°、15°、75°、105°、120°、135°、150°、180°
（15的整数倍）
拓展：
75°
15°
新知探究
知识点1 作一个角等于已知角
1.下列说法正确的是（　 ）
A.角的边越长，则角越大；
B.角的大小与边的长短无关；
C.角的大小与顶点的位置有关；
D.角的大小决定于始边旋转的方向.
B
随堂练习
2.如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各判断错误的是( )
A.∠AOB＜∠AOD
B.∠BOC＜∠AOB
C.∠COD＞∠AOD
D.∠AOB＞∠AOC
C
随堂练习
3.用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数是（　　）
A.300°　 　B.30°　 　C.3° 　　D.无法确定
B
随堂练习
知识点1 比较角大小的方法
1. [2024·邯郸二十五中月考]在∠ AOB 的内部任取一点 C ，
作射线 OC ，那么有(　D　)
A. ∠ AOC ＝∠ BOC B. ∠ AOC ＞∠ BOC
C. ∠ BOC ＞∠ AOB D. ∠ AOB ＞∠ AOC
【点拨】
因为点 C 为∠ AOB 内任意一点，所以无法比较∠
AOC 与∠ BOC 的大小，但无论如何，这两个角都是小于
∠ AOB 的，故D正确.
D
1
2
3
4
5
6
7
2. 把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起.
(1)分别写出图中∠ A ，∠ B ，∠ ACB ，∠ D 的度数；
【解】∠ A ＝30°，∠ B ＝90°，∠ ACB ＝60°，∠ D ＝45°.
(2)用“＜”将上述各角连接起来.
【解】∠ A ＜∠ D ＜∠ ACB ＜∠ B .
1
2
3
4
5
6
7
知识点2 作一个角等于已知角
3. 作一个角等于已知角，可以用 量出已知角的度
数，再画出等于这个度数的角，还可以用
来作图.
量角器　
直尺和圆规　
1
2
3
4
5
6
7
4. [母题教材P84练习]如图，已知∠α，∠β.
(1)测量比较∠α和∠β的大小；
【解】用量角器量得∠α＝62°，∠β＝58°.
因为62°＞58°，
所以∠α＞∠β.
1
2
3
4
5
6
7
(2)利用尺规作图作出∠θ，使∠θ与∠α和∠β中较大的角
相等，不写作法但要保留作图痕迹.
【解】(2)如图，∠θ即为
所求.
1
2
3
4
5
6
7
易错点 对角的大小理解不透彻而致错
5. 下列说法中，正确的是(　B　)
A. 角的两边画得越长这个角就越大
B. 角的大小与角的两边所画出部分的长短无关
C. 角的大小与角的度数的大小不一致
D. 直线是一个平角
【点拨】
角的大小与角的两边所画出部分的长短无关，故A错
误，B正确；角越大，角的度数就越大，C错误；直线与
角是两个概念，直线不是一个平角，D错误.故选B.
B
1
2
3
4
5
6
7
利用测角工具比较角的大小
6. [新考法·测量操作法]如图，求解下列问题：
(1)比较∠ COD 和∠ COE 的大小；
【解】∠ COD ＜∠ COE .
1
2
3
4
5
6
7
(2)借助三角尺，比较∠ EOD 和∠ COD 的大小；
【解】用三角尺中30°的角分别和这
两个角比较，可以发现∠ EOD ＜30°，
∠ COD ＞30°，所以∠ EOD ＜∠ COD .
1
2
3
4
5
6
7
(3)利用量角器，比较∠ BOC 和∠ COD 的大小.
【解】通过度量可知∠ BOC ＝20°，
∠ COD ＝70°，所以∠ BOC ＜∠ COD .
1
2
3
4
5
6
7
利用画角比较角的大小
7. [新考法·教材P85习题B组T3·叠合法]如图，已知三角形 ABC .
(1)作∠ MOE ＝∠ A ，再在∠ MOE 的内部作∠ MOF ＝∠ B ，∠ MOG ＝∠ C ；(不写作法，但要保留作图痕迹)
【解】作出的∠ MOE ，
∠ MOF ，∠ MOG 如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
(2)根据(1)比较∠ A ，∠ B ，∠ C 的大小.
【解】根据(1)中作出的图形，可知
∠ MOE ＞∠ MOF ＞∠ MOG ，所以
∠ A ＞∠ B ＞∠ C .
1
2
3
4
5
6
7
角的
大小
角的比较
作一个角等于已知角
度量法：用量角器分别测量出两个角的度数,通过度数大小来判断两个角的大小.
叠合法：移动一个角使它的顶点和一条边与另一个角的顶点和一边重合,而其余的边在重合边的同侧,通过不重合两边的位置来判断两个角的大小.
作一个角等于已知角的两种方法：
一是用量角器作图；
二是用直尺和圆规作图(尺规作图)．
课堂小结
谢谢观看！