2.7.1角的和与差及角平分线 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
2.7.1角的和与差及角平分线
第二章 几何图形的初步认识
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
2.7.1 角的和与差及角平分线
—— 深入探究角的运算与等分
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在前面对角的学习中，我们已经初步了解了角的和与差以及角平分线的概念。本节课我们将进一步深入学习这些知识，重点掌握角的和与差的具体计算方法，以及角平分线在解决几何问题中的灵活应用。通过本节课的学习，我们能更熟练地处理与角相关的各种运算和推理。
第三页：角的和与差的深化理解
角的和与差是基于角的度数的运算，其核心是利用角之间的位置关系确定度数关系。
角的和的扩展：
当多个角共用一个顶点，且相邻角的边重合时，这些角的和等于由起始边和最终边组成的大角的度数。
例如，\(\angle AOB + \angle BOC + \angle COD = \angle AOD\)，其中\(OB\)是\(\angle AOB\)与\(\angle BOC\)的公共边，\(OC\)是\(\angle BOC\)与\(\angle COD\)的公共边。
角的差的扩展：
若一个大角包含多个小角，那么其中一个小角的度数等于大角的度数减去其他小角的度数之和。
例如，在\(\angle AOD\)中，若包含\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)，则\(\angle COD = \angle AOD - \angle AOB - \angle BOC\)。
实例：已知\(\angle AOB = 20 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，\(\angle COD = 40 °\)，且它们共用顶点\(O\)，并依次相邻，则\(\angle AOD = 20 ° + 30 ° + 40 ° = 90 °\)。
第四页：角的和与差的计算技巧
结合图形分析：在计算角的和与差时，首先要根据图形明确角与角之间的位置关系，确定哪些角是组成部分，哪些是整体。
利用代数方法：当角的度数未知时，可以设未知数表示角的度数，再根据和差关系列出方程求解。
例题 1：如图，已知\(\angle AOC = 120 °\)，\(\angle BOD = 80 °\)，且\(\angle AOB = \angle COD\)，求\(\angle AOB\)的度数。
解：设\(\angle AOB = \angle COD = x\)。
由图形可知\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = x + \angle BOC = 120 °\)，所以\(\angle BOC = 120 ° - x\)。
又因为\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = (120 ° - x) + x = 120 °\)，但题目中\(\angle BOD = 80 °\)，这说明我们的图形分析有误。重新观察图形，发现\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，而\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，所以\(\angle AOC + \angle COD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = \angle AOB + \angle BOD\)，即\(120 ° + x = x + 80 °\)，显然矛盾。正确的图形关系应为\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，且\(\angle AOC\)与\(\angle BOD\)有重叠部分\(\angle BOC\)，所以\(\angle AOC + \angle BOD = \angle AOB + 2\angle BOC + \angle COD\)，但由于\(\angle AOB = \angle COD = x\)，则\(120 ° + 80 ° = x + 2\angle BOC + x\)，而\(\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 2x + \angle BOC\)，此处条件不足，重新假设图形为\(O\)为公共顶点，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)依次排列，则\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，两式相减得\(\angle AOC - \angle BOD = \angle AOB - \angle COD\)，因为\(\angle AOB = \angle COD\)，所以\(\angle AOC = \angle BOD\)，与题目矛盾，说明题目图形中\(B\)在\(A\)、\(C\)之间，\(C\)在\(B\)、\(D\)之间，则\(\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = \angle AOB + \angle BOD\)，设\(\angle AOB = x\)，则\(\angle COD = x\)，\(\angle AOD = 120 ° + x = x + 80 °\)，矛盾，故题目应为\(\angle AOC = 120 °\)，\(\angle BOD = 80 °\)，\(O\)为顶点，\(A\)、\(D\)在两侧，\(B\)、\(C\)在中间，此时\(\angle AOB + \angle COD = \angle AOC + \angle BOD - 360 °\)（若为周角内），显然不合理，因此正确解法应为：由题意可知\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，\(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD\)，两式相加得\(\angle AOC + \angle BOD = \angle AOB + 2\angle BOC + \angle COD\)，又因为\(\angle AOB = \angle COD\)，设为\(x\)，则\(120 + 80 = 2x + 2\angle BOC\)，即\(x + \angle BOC = 100\)，而\(\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 120\)，即\(x + \angle BOC = 120\)，矛盾，说明题目数据有误，正确例题应为已知\(\angle AOC = 100 °\)，\(\angle BOD = 60 °\)，则\(100 + 60 = 2x + 2\angle BOC\)，\(x + \angle BOC = 80\)，又\(x + \angle BOC = 100\)，仍矛盾，故放弃该例题，换为例题 2。
例题 2：已知\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，求\(\angle AOD\)的度数。
解：因为\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 90 ° + 30 ° = 120 °\)，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC = 60 °\)。
第五页：角平分线的性质拓展
角平分线的对称性：角平分线所在的直线是角的对称轴，沿着这条直线对折，角的两边能够完全重合。
角平分线的判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上（后续将详细学习）。
例题 3：如图，\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，\(OE\)是\(\angle BOC\)的平分线，求\(\angle DOE\)与\(\angle AOB\)的关系。
解：因为\(OC\)平分\(\angle AOB\)，所以\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\)。\(OD\)平分\(\angle AOC\)，则\(\angle DOC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{4}\angle AOB\)。\(OE\)平分\(\angle BOC\)，则\(\angle EOC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{4}\angle AOB\)。
所以\(\angle DOE = \angle DOC + \angle EOC = \frac{1}{4}\angle AOB + \frac{1}{4}\angle AOB = \frac{1}{2}\angle AOB\)。
第六页：角的和差与角平分线的综合应用
例题 4：已知\(\angle AOB = 150 °\)，\(OC\)在\(\angle AOB\)的内部，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，\(OE\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle DOE\)的度数。
解：因为\(OD\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle DOC = \frac{1}{2}\angle AOC\)。\(OE\)平分\(\angle BOC\)，所以\(\angle EOC = \frac{1}{2}\angle BOC\)。
则\(\angle DOE = \angle DOC + \angle EOC = \frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC) = \frac{1}{2}\angle AOB\)。
因为\(\angle AOB = 150 °\)，所以\(\angle DOE = \frac{1}{2} 150 ° = 75 °\)。
例题 5：如图，\(\angle AOB = 80 °\)，\(\angle BOC = 40 °\)，\(OM\)平分\(\angle AOC\)，\(ON\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle MON\)的度数。
解：\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 80 ° + 40 ° = 120 °\)。
因为\(OM\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle MOC = \frac{1}{2}\angle AOC = 60 °\)。\(ON\)平分\(\angle BOC\)，所以\(\angle NOC = \frac{1}{2}\angle BOC = 20 °\)。
则\(\angle MON = \angle MOC - \angle NOC = 60 ° - 20 ° = 40 °\)。
第七页：课堂练习
填空题：
已知\(\angle AOB = 70 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，且\(OC\)在\(\angle AOB\)内部，则\(\angle AOC=\)______°，若\(OC\)在\(\angle AOB\)外部，则\(\angle AOC=\)______°。
若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，且\(\angle AOB = 100 °\)，则\(\angle COD=\)______°。
如图，\(\angle AOD = 150 °\)，\(\angle AOB = \angle COD = 30 °\)，则\(\angle BOC=\)______°。
选择题：
下列说法中，正确的是（ ）
A. 若\(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180 °\)，则\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\)互补
B. 若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，则\(\angle AOC = \angle BOC\)
C. 一个角的平分线把这个角分成两个锐角
D. 角的大小与角的两边画出的长短有关
已知\(\angle AOB = 60 °\)，过点\(O\)作射线\(OC\)，使\(\angle AOC = 20 °\)，则\(\angle BOC\)的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 40° 或 80° D. 以上都不对
解答题：
（1）已知\(\angle AOB = 120 °\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，求\(\angle BOD\)的度数。
（2）如图，\(\angle AOC = \angle BOD = 75 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，求\(\angle AOD\)的度数。
（3）已知\(\angle AOB = 90 °\)，\(OC\)是一条射线，\(OM\)平分\(\angle AOC\)，\(ON\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle MON\)的度数。
第八页：课堂小结
角的和与差：多个角可以通过位置关系组成和或差的关系，计算时要结合图形明确角之间的包含关系。
角平分线的性质：不仅能将角分成两个相等的角，还具有对称性，在综合问题中常用来转化角的度数关系。
综合应用：解决角的和差与角平分线的问题时，要善于利用图形分析，必要时设未知数建立方程，将几何问题代数化。
第九页：作业布置
教材第 XX 页相关习题第 1、2、3 题。
填空题：
已知\(\angle \alpha\)和\(\angle \beta\)互为补角，且\(\angle \alpha = 2\angle \beta\)，则\(\angle \alpha=\)______°，\(\angle \beta=\)______°。
如图，\(O\)是直线\(AB\)上一点，\(OC\)是射线，\(OD\)平分\(\angle AOC\)，\(OE\)平分\(\angle BOC\)，则\(\angle DOE=\)______°。
解答题：
（1）已知\(\angle AOB = 160 °\)，\(OC\)在\(\angle AOB\)的外部，\(\angle AOC = 90 °\)，求\(\angle BOC\)的度数。
（2）如图，\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，\(OM\)平分\(\angle AOC\)，\(ON\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle MON\)的度数，并说明理由。
（3）一个角的余角的 3 倍比这个角的补角大 10°，求这个角的度数。
思考：在一个角的内部有\(n\)条射线，此时共有多少个角？若其中有\(k\)条射线是角平分线，会对角度关系产生怎样的影响？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义,并会进行角的和差运算，发展运算能力.
2.了解角平分线的概念及其表示方法，通过折纸活动进一步理解角平分线的意义,积累数学活动经验,发展推理能力.
学习目标
AB=BC+AC
BC=AB－AC
AC=AB－BC
线段的和、差
线段中点
那么 AC=BC
AC=BC= AB
AB=2AC=2BC
若点C是线段AB的中点
复习
课堂导入
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，
记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它们的关系：
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，
记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.
A
B
O
C
新知探究
知识点1 角的和与差
总结：
1.如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和．
2.如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差.
新知探究
知识点1 角的和与差
例1 如图，如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD与∠COB相等吗？
解：因为∠AOC=∠DOB，
所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD，
所以∠AOD=∠COB.
B
A
O
C
D
新知探究
知识点1 角的和与差
(2) 如图2，若∠AOB= 60°，∠BOC=40°，则 ∠AOC= °．
(1) 如图1，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，则 ∠AOB= °．
75
20
A
B
O
C
A
B
O
C
图1 图2
计算下列角的度数.
新知探究
知识点1 角的和与差
例2
(3) 若∠AOB =60°，∠AOC =30°，则∠BOC= °．
90或30
O
B
A
C
C
提示：无图条件下要分情况讨论.
新知探究
知识点1 角的和与差
例3 已知∠1＝103°24′28" ，∠2＝ 30°54"，
求∠1+∠2 和∠1－∠2的度数.
解：
∠1+∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" .
103°24′ 28"
＋30° 54"
133°24′ 82"
(82" ＝ 1′22" )
所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" .
新知探究
知识点1 角的和与差
∠1 － ∠2 ＝ 103°24′28" -30°54" .
103°24′ 28"
－30° 54"
73°23′ 34"
(24′28"＝ 23′88")
所以∠1-∠2 ＝ 73°23′34" .
进行角的度数的计算时，注意角的度、分、秒是60进制的.
新知探究
知识点1 角的和与差
B
A
O
C
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=____∠AOC.
=
2
新知探究
知识点2 角的平分线
如果从一个角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线.
几何语言
O
B
A
C
因为 OC 是∠AOB 的角平分线，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线
新知探究
知识点2 角的平分线
(2)折纸，使角的两边重合；
(3)把纸展开，以点O为端点，沿折痕画射线OP.
如图：如何利用纸作角平分线？
(1)在半透明的纸上画一个角（∠AOB）；
新知探究
知识点2 角的平分线
角平分线的判定方法
当 OD 在∠AOB 的内部且满足下列情况之一时，就可以判定 OD 是∠AOB的平分线：
① ∠AOD=∠BOD；
② ∠AOD= ∠AOB；
③ ∠BOD= ∠AOB；
④ ∠AOB=2∠AOD；
⑤ ∠AOB=2∠BOD.
新知探究
知识点2 角的平分线
类似地，还有角的三等分线等.
O
B
A
C
因为 OB，OC 是∠AOD 的三等分线，
所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD，
∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD.
D
新知探究
知识点2 角的平分线
例4 射线 OC 在∠AOB的内部，下列给出的条件不能
得出 OC 是∠AOB的平分线的是( )
A. ∠AOC=∠BOC
B. ∠AOC+∠BOC=∠AOB
C. ∠AOB=2∠AOC
D. ∠BOC= ∠AOB
B
C
B
A
新知探究
知识点2 角的平分线
O
判断角的平分线的方法
射线是否在角的内部
是否将角平分
是角的平分线
是
否
是
否
不是角的平分线
新知探究
知识点2 角的平分线
1.如图，下列各式中错误的是（　　）
A.∠AOC=∠AOB+∠BOC
B.∠AOC=∠AOD-∠COD
C.∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC
D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC
C
随堂练习
2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 ( )
A
O
A
B
C
D
随堂练习
3.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　)
A．50° B．60°
C．140° D．150°
C
随堂练习
4．如图，把一张长方形的纸条折叠后，折痕OE是∠BOB′的 ．
5．如图，OC是∠AOB内的一条射线．
(1)∠AOB＝∠BOC＋ ，∠AOC＝ －∠BOC.
(2)若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝____．
平分线
∠AOC
∠AOB
10°
随堂练习
（1） 120°-38°41′；
（2）67°31′+48°49′.
解：（1）原式 = 119°60′-38°41′
= 81°19′ .
（2）原式 = (67+48)°+(31+49)′
= 115°80′
= 116°20′ .
6.计算:
随堂练习
7.如图，OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：（1）因为 OB 平分∠AOC，
∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
所以∠BOC= ∠AOC
= ×80°
=40°.
随堂练习
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD
是多少度？
（2）因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
O
A
B
C
D
E
随堂练习
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB
是多少度？
（3）因为 ∠COD=30°，OD 平分∠COE，
所以 ∠COE=2∠COD=60°，
所以 ∠AOC=∠AOE-∠COE
=140°-60°= 80°.
因为 OB 平分∠AOC，
O
A
B
C
D
E
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
随堂练习
知识点1 角的和差
1. 如图.
(第1题)
(1)∠ AOB ＝∠ AOD ＋ ＝ ＋∠ BOC ；
∠ BOD 　
∠ AOC 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)∠ BOD －∠ BOC ＝ .
∠ DOC 　
2. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ COD ＝90°，∠ AOC ＝
120°，则∠ BOD 的大小为(　A　)
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
(第2题)
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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3. 计算：
(1)90°－28°12'36″；
【解】原式＝89°59'60″－28°12'36″＝61°47'24″.
(2)180°－56°23'48″.
【解】原式＝179°59'60″－56°23'48″＝123°36'12″.
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知识点2 角的平分线
4. [新考法·定义辨析法]如图， AM 为∠ BAC 的平分线，下
列等式中，错误的是(　C　)
B. ∠ BAM ＝∠ CAM
C. ∠ BAM ＝2∠ CAM
D. 2∠ CAM ＝∠ BAC
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【点拨】
因为 AM 为∠ BAC 的平分线，所以∠ CAM ＝∠ BAM
＝ ∠ BAC ，所以错误的等式是∠ BAM ＝2∠ CAM ，故
选C.
C
【答案】
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5. [2023·乐山]如图，点 O 在直线 AB 上， OD 是∠ BOC 的平
分线，若∠ AOC ＝140°，则∠ BOD 的度数为 .
(第5题)
20°　
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知识点3 角的运算
6. 如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ BOD ，若∠
COB ＝35°，则∠ AOD 等于(　C　)
A. 35° B. 70°
C. 110° D. 145°
(第6题)
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【点拨】
C
因为 OC 平分∠ BOD ，所以∠ BOD ＝2∠ COB ＝
2×35°＝70°，所以∠ AOD ＝180°－70°＝110°，故
选C.
【答案】
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7. [新考法·方程思想]如图，已知∠ AOC ∶∠ AOB ＝1∶5， OD
平分∠ AOB ，且∠ COD ＝36°，求∠ AOB 的度数.
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【解】设∠ AOC ＝ x °，则∠ AOB ＝5 x °.
因为 OD 平分∠ AOB ，
所以∠ BOD ＝∠ AOD ＝ ∠ AOB .
所以 x ＋36＝ x .解得 x ＝24.
所以∠ AOB ＝120°.
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易错点 对没有给出图形的题目考虑不全而漏解
8. [新考法·分类讨论法]已知∠ AOB ＝70°，以 O 为端点作
射线 OC ，使∠ AOC ＝42°，则∠ BOC 的度数为(　C　)
A. 28° B. 112°
C. 28°或112° D. 68°
C
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利用分类讨论求角的度数
9. [2024·唐山路北区期末]如图，点 O 为直线 AB 上一点，∠ BOC ＝130°， OM 平分∠ AOC .
(1)求∠ AOM 的度数；
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【解】因为∠ AOB ＝180°，∠ BOC ＝130°，
所以∠ AOC ＝∠ AOB －∠ BOC ＝50°.
因为 OM 平分∠ AOC ，所以∠ AOM
＝ ∠ AOC ＝25°.
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(2)作射线 OP ，若∠ BOP 与∠ AOM 的和为90°，求∠
COP 的度数.
【解】因为∠ BOP 与∠ AOM 的和
为90°，∠ AOM ＝25°，
所以∠ BOP ＝90°－∠ AOM ＝65°.
当射线 OP 在∠ BOC 内部时，如图①，
则∠ COP ＝∠ BOC －∠ BOP ＝130°－65°＝65°；
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当射线 OP 在∠ BOC 外部时，如图②，
则∠ AOP ＝180°－∠ BOP ＝180°－65°＝115°，
所以∠ COP ＝∠ AOP ＋∠ AOC ＝115°＋50°＝165°.
综上，∠ COP 的度数为65°或165°.
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角的
和与差
角的和与差
如果一个角的度数是另两个角的度数的和,那么这个角就叫作另两个角的和．
如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差．
如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线.
角的平分线
角的计算
课堂小结
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