2.8 平面图形的旋转 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
2.8 平面图形的旋转
第二章 几何图形的初步认识
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
2.8 平面图形的旋转
—— 探索旋转的奥秘，理解旋转的性质
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在我们的生活中，旋转现象无处不在。钟表上指针的转动、风车叶片的转动、摩天轮的旋转…… 这些都是平面图形旋转的具体体现。平面图形的旋转不仅给我们带来了视觉上的美感，还蕴含着丰富的数学知识。本节课我们将深入学习平面图形的旋转，了解其定义、要素和性质，感受旋转在生活和几何中的重要作用。
第三页：旋转的定义
定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
实例：
钟表上时针的转动，是以钟表的中心为旋转中心，时针转动的角度就是旋转角，转动方向是顺时针方向。
风车叶片的转动，是以风车的中心轴为旋转中心，叶片转动的角度为旋转角，转动方向可以是顺时针也可以是逆时针。
注意：
旋转是在平面内进行的图形运动，不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
旋转的方向有顺时针和逆时针两种。
第四页：旋转的要素
平面图形的旋转由三个要素决定：
旋转中心：图形绕着转动的定点，如钟表的中心、风车的中心轴等。旋转中心在旋转过程中位置保持不变。
旋转角：图形转动的角度，即对应点与旋转中心所连线段的夹角。例如，钟表上时针从数字 12 转到数字 3，旋转角是 90°。
旋转方向：包括顺时针方向和逆时针方向。与钟表指针转动方向相同的是顺时针方向，相反的是逆时针方向。
实例解析：分析摩天轮的旋转，其旋转中心是摩天轮的中心轴，旋转角是座舱转动的角度，旋转方向通常是顺时针方向。
第五页：旋转的性质
平面图形旋转具有以下性质：
对应点到旋转中心的距离相等：图形上的每一个点都绕旋转中心旋转了相同的角度，对应点与旋转中心的连线长度相等。
例如，将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度后，原三角形的顶点与旋转后对应顶点到该旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：图形上任意一对对应点与旋转中心构成的角，其度数等于旋转角。
如在旋转过程中，点 A 旋转后得到点 A'，则∠AOA'（O 为旋转中心）的度数就是旋转角。
旋转前后的图形全等：旋转不改变图形的形状和大小，旋转后的图形与原图形能够完全重合，对应线段相等，对应角相等。
一个正方形绕其中心旋转 90° 后，得到的图形与原正方形全等，边长和内角的度数都保持不变。
第六页：旋转的作图
根据旋转的定义和性质，我们可以进行平面图形旋转的作图，步骤如下：
确定旋转中心、旋转角和旋转方向。
找出图形的关键点（如多边形的顶点、线段的端点等）。
分别作出这些关键点绕旋转中心按指定方向和角度旋转后的对应点。
按照原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形。
实例：将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°。
步骤：①确定旋转中心 O，旋转角 90°，旋转方向顺时针。②分别作出点 A、B 绕点 O 顺时针旋转 90° 后的对应点 A'、B'。③连接 A'B'，则线段 A'B' 就是线段 AB 旋转后的图形。
第七页：例题解析（一）—— 旋转的识别与要素分析
例题 1：观察下列现象，哪些属于旋转现象？并指出其旋转中心、旋转角和旋转方向（若能确定）。
（1）电梯的上下运动；（2）电风扇叶片的转动；（3）汽车在平直公路上行驶；（4）钟摆的摆动。
解：（1）电梯的上下运动是平移现象，不属于旋转。
（2）电风扇叶片的转动是旋转现象，旋转中心是电风扇的中心轴，旋转角是叶片转动的角度，旋转方向是顺时针（或逆时针，取决于电风扇的实际转动方向）。
（3）汽车在平直公路上行驶是平移现象，不属于旋转。
（4）钟摆的摆动是旋转现象，旋转中心是钟摆的固定点，旋转角是钟摆左右摆动时形成的角度，旋转方向是左右交替（可看作顺时针和逆时针交替进行）。
第八页：例题解析（二）—— 利用旋转性质解决问题
例题 2：如图，△ABC 绕点 O 旋转后得到△A'B'C'，已知∠AOA' = 60°，OA = 3cm，求旋转角的度数和 OA' 的长度。
解：根据旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，所以旋转角的度数是∠AOA' = 60°。
又因为对应点到旋转中心的距离相等，OA = 3cm，所以 OA' = OA = 3cm。
例题 3：如图，正方形 ABCD 绕点 O 旋转后得到正方形 A'B'C'D'，若旋转角为 90°，求证：AB = A'B'，∠B = ∠B'。
证明：因为正方形 ABCD 绕点 O 旋转后得到正方形 A'B'C'D'，根据旋转的性质，旋转前后的图形全等，所以正方形 ABCD≌正方形 A'B'C'D'。
因此，对应边相等，对应角相等，即 AB = A'B'，∠B = ∠B'。
第九页：课堂练习
填空题：
平面图形的旋转由______、______和______三个要素决定。
旋转不改变图形的______和______，只改变图形的______。
如图，△DEF 是△ABC 绕点 O 旋转得到的，则旋转中心是______，旋转角是______，点 A 的对应点是______，线段 AB 的对应线段是______。
选择题：
下列关于旋转的说法，正确的是（ ）
A. 旋转中心一定在图形上
B. 旋转角越大，图形旋转后变化越大
C. 旋转后的图形与原图形对应线段相等
D. 旋转方向只有顺时针一种
将一个等边三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，这个旋转角最小是（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
解答题：
（1）画出△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 后的图形△A'B'C。
（2）已知一个图形绕点 O 旋转 180° 后得到的图形与原图形重合，这个图形有什么特点？请举例说明。
（3）如图，四边形 ABCD 绕点 O 旋转后得到四边形 A'B'C'D'，已知∠AOB = 50°，OA = 4cm，求∠A'OB' 的度数和 OA' 的长度，并说明理由。
第十页：课堂小结
旋转的定义：在平面内，将图形绕一个定点按某个方向转动一个角度的运动。
旋转的要素：旋转中心、旋转角和旋转方向。
旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转前后的图形全等（对应线段相等，对应角相等）。
旋转的作图：确定要素、找出关键点、作出对应点、连接对应点。
旋转在生活中应用广泛，理解旋转的性质有助于我们解决几何中的旋转问题。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 2.8 第 1、2、3、4 题。
填空题：
钟表上的分针从数字 12 转到数字 6，旋转角是______°，旋转方向是______。
一个图形绕旋转中心旋转______° 后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，旋转中心叫做______。
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）：
旋转改变图形的形状和大小。（ ）
旋转中心一定在图形外部。（ ）
对应点与旋转中心的距离相等是旋转的性质之一。（ ）
解答题：
（1）画出一个长方形绕其一个顶点逆时针旋转 180° 后的图形。
（2）已知△ABC 绕点 O 旋转 60° 后得到△A'B'C'，若 AB = 5cm，∠A = 70°，求 A'B' 的长度和∠A' 的度数，并说明理由。
（3）观察生活中的旋转现象，选择一个实例，分析其旋转中心、旋转角和旋转方向，并说明旋转前后图形的变化情况。
思考：一个正六边形绕其中心旋转多少度后能与自身重合？请写出所有可能的旋转角度。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.结合具体实例认识旋转,培养抽象能力和几何直观.
2.经过探索和操作，发现并理解图形旋转的性质,发展空间想象能力.
3.在观察、思考、概括旋转及其性质的过程中,进一步发展空间观念.
4.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,培养作图能力.
学习目标
这些运动有什么共同的特点？
课堂导入
12
6
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
o
A
B
图1
图2
O
M
N
2.观察图2,类比钟表指针的转动过程,请说出风车的叶片是怎样从OM转到ON位置的
1.观察图1,钟表的指针是怎样从OA转到OB位置的
可看作由射线OA绕端点O按顺时针方向旋转到OB位置.
可看作由射线OM绕端点O按逆时针方向旋转到ON位置.
新知探究
知识点1 图形的旋转
旋转角
旋转中心
A
o
B
．
．
．
．
．
．
．
旋转方向
60°
线段OA与OB是对应线段.
在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针（或逆时针）方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转.这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角.
点A与点B是对应点；
顺时针方向
新知探究
知识点1 图形的旋转
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时,
旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向、旋转角”称之为旋转的三要素.
新知探究
知识点1 图形的旋转
问题1 如图，已知A，B是射线OM上的两点，且OA=1cm，OB=2.5cm.
(1)当OM旋转到ON位置时，点A，B分别旋转到点 A′，B′，的位置，请画
出点 A′，B′.
A′
B′
新知探究
知识点2 旋转的性质
(2) OA和OA′ ，OB和OB′ 分别有怎样的数量关系？
OA=OA′ ，OB=OB′
问题2 如图，三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转后得到三角形COD，E是线段BA上一点．
(1)对应线段OB与OD，OA与OC，AB与CD都相等吗？
相等
(2)∠BOD与∠AOC相等吗？
相等
新知探究
知识点2 旋转的性质
(3)画出点E的对应点F.
方法一：用圆规以C点为圆心，以线段AE长
为半径画弧，与CD交于点F.
方法二：用圆规以D为圆心，以线段BE长为
半径画弧，与CD交于点F.
方法三：根据旋转角，通过射线旋转作出点F.
新知探究
知识点2 旋转的性质
问题2 如图，三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转后得到三角形COD，E是线段BA上一点．
旋转的性质
在平面内，旋转前后的两个图形有如下的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；
两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于旋转角.
新知探究
知识点2 旋转的性质
B'
B
A
已知线段AB，请利用三角板、刻度尺或量角器等工具，画出线段AB绕点A逆时针旋转90°后的图形AB′.
90°
想一想：若再加上一个点M，与A，B连成三角形ABM ，你能做出它绕点A逆时针旋转90°后的三角形AB′M′吗？试着做一做.
M
C
D
M'
新知探究
知识点3 旋转作图
旋转作图的步骤：
（1）确定旋转中心、旋转方向及旋转角的大小；
（2）确定已知图形的关键点(比如线段的两个端点、三角形的三个顶点等)；
（3）确定各关键点的对应点.(将图形的各关键点与旋转中心连接，按规定方向旋转规定角度，找到该点的对应点)；
（4）按原图顶点的顺序连接各对应点，即得旋转后的图形.
新知探究
知识点3 旋转作图
1.下列现象中，属于旋转的是（　　）
A.钟摆的摆动 B.飞机在飞行
C.汽车在奔驰 D.小鸟飞翔
A
随堂练习
2.如图，三角形ABC按顺时针方向旋转到三角形ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（　　）
A.点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B.点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C.点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D.点D是旋转中心，点A和点D是对应点
C
随堂练习
知识点1 旋转及相关概念
1. [情境题·生活应用]有下列现象：①钟表上时针的转动；②
电风扇风叶的转动；③擦黑板；④升降电梯的运动.其
中，属于旋转的是(　A　)
A. ①② B. ②③
C. ①④ D. ③④
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 如图，在三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝100°，
D 是边 BC 上一点，连接 AD ，三角形 ABD 经过旋转后到
达三角形 ACE 的位置，则旋转中心是点 ，∠ BAD
的对应角是 ，线段 AD 的对应线段
是 ，∠ DAE ＝ °.
A 　
∠ CAE 　
AE 　
100　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. [母题·2023·宁波节选·教材P93习题B组T4]在4×4的方格纸
中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).图
中的格点三角形 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转90°，画
出旋转后的三角形 A ' B ' C .
【解】如图，三角形A'B'C即为所求.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
知识点2 旋转的性质
4. 在平面内，一个图形旋转后得到的图形与原来的图形之间
有如下性质：对应点到旋转中心的距离 ；每对对
应点与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于
.
相等　
旋转
角　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. [2023·南充]如图，将直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋
转到三角形AB'C'，点B'恰好落在 CA 的延长线上，∠ B
＝30°，∠ C ＝90°，则∠BAC'为(　B　)
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
(第5题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
【点拨】
因为∠ B ＝30°，∠ C ＝90°，所以∠ CAB ＝180°
－∠ B －∠ C ＝60°.因为将直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺
时针旋转到三角形AB'C'，所以∠C'AB'＝∠ CAB ＝60°.
因为点B'恰好落在 CA 的延长线上，所以∠BAC'＝180°
－∠ CAB －∠C'AB'＝60°.
B
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 如图，将三角形 OAB 绕点 O 逆时针旋转得到三角形
OA'B'，点 B 恰好在边A'B'上.若 AB ＝4 cm，BB'＝1
cm，则A'B的长是(　C　)
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
(第6题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
将三角形 OAB 绕点 O 逆时针旋转得到三角形OA'B'，
所以三角形 OAB 与三角形OA'B'的形状和大小完全一样，
所以 AB ＝A'B'＝4 cm，所以A'B＝A'B'－BB'＝4－1＝
3(cm).
【点拨】
C
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. [2023·天津]如图，把三角形 ABC 以点 A 为中心逆时针旋
转得到三角形 ADE ，点 B ， C 的对应点分别是点 D ，
E ，且点 E 在 BC 的延长线上，连接 BD ，则下列结论一
定正确的是(　A　)
A. ∠ CAE ＝∠ BED B. AB ＝ AE
C. ∠ ACE ＝∠ ADE D. CE ＝ BD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
【点拨】
设 AD 与 BE 的交点为 O ，
因为把三角形 ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到三
角形 ADE ，
所以∠ ABC ＝∠ ADE ，∠ BAD ＝∠ CAE .
又易得∠ AOB ＝∠ DOE ，
所以∠ BED ＝∠ BAD ＝∠ CAE .故选A.
A
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
易错点 分辨不清旋转角导致错误
8. 如图， P 是等边三角形 ABC 内一点，且∠ PBC ＝15°，
若将三角形 PBC 绕点 B 按逆时针方向旋转到三角形P'BA
的位置，则旋转角为(　C　)
A. 15° B. 45°
C. 60° D. 75°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
平面图形的旋转
旋转的定义
旋转的性质
在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针（或逆时针）方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转. 这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角.
1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.
2.对应点到旋转中心的距离相等
3.两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于旋转角，
课堂小结
谢谢观看！