3.1用字母表示数 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
3.1用字母表示数
第三章 代数式
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
3.1 用字母表示数
—— 开启代数世界的大门
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在我们的生活和学习中，经常会遇到一些不确定的数量。比如，一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿…… 如果有很多只青蛙，我们该如何简洁地表示它们的嘴、眼睛和腿的数量呢？这就需要用到用字母表示数的知识。用字母表示数不仅能简洁地表达数量关系，还能为我们解决复杂的数学问题带来便利。本节课我们就来学习如何用字母表示数。
第三页：用字母表示数的意义
简洁性：用字母表示数可以把数量关系简明地表达出来，避免重复表述。
例如，上面提到的青蛙问题，若用\(n\)表示青蛙的只数，那么嘴的数量就是\(n\)张，眼睛的数量是\(2n\)只，腿的数量是\(4n\)条。
一般性：字母可以表示任意的数或特定范围内的数，具有普遍意义。
比如，用\(a\)表示一个数，那么\(a + 5\)就表示比这个数大 5 的数，这里的\(a\)可以是任意整数、小数或分数。
抽象性：用字母表示数是从具体情境中抽象出数量关系的过程，是代数学习的基础。
像长方形的长用\(a\)表示，宽用\(b\)表示，那么长方形的面积就可以表示为\(ab\)，这个式子适用于所有长方形面积的计算。
第四页：用字母表示数的书写规则
在用字母表示数时，需要遵循一定的书写规则，以保证表达的规范和清晰：
数字与字母相乘：数字要写在字母的前面，乘号可以省略不写，也可以记作 “ ”。
例如，\(5 x\)可以写作\(5x\)或\(5 ·x\)，但不能写作\(x5\)。
字母与字母相乘：乘号可以省略不写，也可以记作 “ ”。
例如，\(a b\)可以写作\(ab\)或\(a ·b\)。
带分数与字母相乘：带分数要先化成假分数，再与字母相乘。
例如，\(1\frac{1}{2} x\)要写作\(\frac{3}{2}x\)，而不能写作\(1\frac{1}{2}x\)。
字母与 1 或 - 1 相乘：1 可以省略不写。
例如，\(1 x\)写作\(x\)，\(-1 x\)写作\(-x\)。
字母除以数：要写成分数的形式。
例如，\(x ·5\)写作\(\frac{x}{5}\)。
含有字母的式子表示数量时：若式子后面有单位，且式子是和或差的形式，要给式子加括号。
例如，\((a + 3)\)米，不能写作\(a + 3\)米。
第五页：用字母表示常见的数量关系
路程、速度、时间的关系：路程 = 速度 × 时间。若用\(s\)表示路程，\(v\)表示速度，\(t\)表示时间，则\(s = vt\)。
总价、单价、数量的关系：总价 = 单价 × 数量。若用\(c\)表示总价，\(p\)表示单价，\(n\)表示数量，则\(c = pn\)。
工作总量、工作效率、工作时间的关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。若用\(w\)表示工作总量，\(e\)表示工作效率，\(t\)表示工作时间，则\(w = et\)。
实例：一辆汽车的速度是每小时\(v\)千米，行驶了\(t\)小时，那么它行驶的路程\(s = vt\)千米。如果\(v = 60\)千米 / 小时，\(t = 2\)小时，那么\(s = 60 2 = 120\)千米。
第六页：用字母表示运算定律和计算公式
运算定律：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为\(a + b = b + a\)。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为\((a + b) + c = a + (b + c)\)。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为\(ab = ba\)。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为\((ab)c = a(bc)\)。
乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为\((a + b)c = ac + bc\)。
计算公式：
正方形的周长：若用\(a\)表示正方形的边长，\(C\)表示周长，则\(C = 4a\)。
正方形的面积：若用\(a\)表示正方形的边长，\(S\)表示面积，则\(S = a^2\)（读作 “\(a\)的平方”，表示\(a a\)）。
长方形的周长：若用\(a\)表示长，\(b\)表示宽，\(C\)表示周长，则\(C = 2(a + b)\)。
长方形的面积：若用\(a\)表示长，\(b\)表示宽，\(S\)表示面积，则\(S = ab\)。
第七页：例题解析（一）—— 用字母表示数的基本应用
例题 1：用含有字母的式子表示下列数量关系。
（1）比\(x\)大 8 的数；（2）\(a\)的 5 倍与\(b\)的和；（3）\(m\)的平方减去\(n\)的 3 倍。
解：（1）比\(x\)大 8 的数表示为\(x + 8\)。
（2）\(a\)的 5 倍与\(b\)的和表示为\(5a + b\)。
（3）\(m\)的平方减去\(n\)的 3 倍表示为\(m^2 - 3n\)。
例题 2：一个商店原有苹果\(a\)千克，卖出了 30 千克，又运来\(b\)千克，现在这个商店有苹果多少千克？
解：原有苹果\(a\)千克，卖出 30 千克后还剩\((a - 30)\)千克，又运来\(b\)千克，所以现在有苹果\((a - 30 + b)\)千克。
第八页：例题解析（二）—— 代入求值
例题 3：已知长方形的长\(a = 5\)厘米，宽\(b = 3\)厘米，求长方形的周长\(C\)和面积\(S\)。
解：根据长方形的周长公式\(C = 2(a + b)\)，把\(a = 5\)厘米，\(b = 3\)厘米代入得：\(C = 2 (5 + 3) = 2 8 = 16\)（厘米）。
根据长方形的面积公式\(S = ab\)，把\(a = 5\)厘米，\(b = 3\)厘米代入得：\(S = 5 3 = 15\)（平方厘米）。
所以长方形的周长是 16 厘米，面积是 15 平方厘米。
例题 4：当\(x = 10\)时，求\(3x + 20\)的值。
解：把\(x = 10\)代入\(3x + 20\)得：\(3 10 + 20 = 30 + 20 = 50\)。
第九页：课堂练习
填空题：
用字母表示乘法分配律是______。
小明今年\(a\)岁，爸爸比他大 28 岁，爸爸今年______岁。
一个三角形的底是\(a\)厘米，高是\(h\)厘米，它的面积是______平方厘米。
选择题：
下列式子中，符合书写规则的是（ ）
A. \(a5\) B. \(1\frac{1}{3}x\) C. \(x ·5\) D. \(2a + 3\)
当\(a = 4\)，\(b = 5\)时，\(ab + 2\)的值是（ ）
A. 22 B. 18 C. 11 D. 9
解答题：
（1）用含有字母的式子表示下面的数量关系。
①\(x\)与\(y\)的和的 3 倍；②比\(a\)的 4 倍少 5 的数。
（2）一个正方形的边长是\(a\)米，它的周长是多少米？面积是多少平方米？当\(a = 6\)时，周长和面积各是多少？
（3）一辆自行车每小时行驶\(v\)千米，行驶了\(t\)小时，一共行驶了多少千米？如果\(v = 15\)，\(t = 2\)，一共行驶了多少千米？
第十页：课堂小结
用字母表示数的意义：具有简洁性、一般性和抽象性，能简洁表达数量关系。
用字母表示数的书写规则：注意数字与字母、字母与字母的乘除表示方法，以及带分数、1 或 - 1 与字母相乘的规则等。
用字母表示常见的数量关系、运算定律和计算公式，能帮助我们更方便地解决问题。
代入求值是用字母表示数的重要应用，将字母的具体数值代入式子中，可求出式子的值。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 3.1 第 1、2、3、4 题。
填空题：
每支铅笔\(a\)元，买了 5 支，应付______元。
一个数是\(x\)，另一个数比它的 3 倍多 2，另一个数是______。
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）：
\(a a\)可以写作\(2a\)。（ ）
因为\(2^2 = 2 2\)，所以\(a^2 = a 2\)。（ ）
式子\(5x + 6\)可以表示 5 与\(x\)的和的 6 倍。（ ）
解答题：
（1）用含有字母的式子表示下列各题的数量关系。
①\(a\)除以\(b\)的商减去\(c\)；②\(m\)与\(n\)的差的平方。
（2）一个长方形的长是\(2x\)米，宽是\(x\)米，它的周长和面积各是多少？当\(x = 3\)时，周长和面积分别是多少？
（3）某工厂每天生产\(a\)个零件，生产了 7 天，还剩下\(b\)个没生产，这批零件一共有多少个？如果\(a = 120\)，\(b = 300\)，这批零件一共有多少个？
思考：用字母表示数和用具体数字表示数有什么联系和区别？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
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中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.理解用字母表示数的意义，体会用字母表示数的必要性和优越性.
2.能用字母表示运算律、计算公式及各种数与数量关系.
3.逐步深化对字母表示数的意义的认识，体验用数学符号表达数量关系的过程,增强符号意识.
小明上小学时，在一堂数学课上，发现了下列等式：
1+2=2+1
3.5+5.6=5.6+3.5
（1）这几个式子反映了什么规律？
a + b = b + a
（2）能用更简明的方法表示出来吗？
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.
课堂导入
观察下表回答下列问题
（1）请算出他们每个人100米短跑的速度，并将结果填入表中（结果保留两位小数）.
姓名 小帆 大林 小明
成绩/s 16 14.5 15.2
速度/(m/s)
做一做：
6.25
6.90
6.58
（2）写出计算速度时所用的公式.
其中v表示速度，s表示路程，t表示时间
新知探究
知识点1：用字母表示数
如何用字母表示它们 　
运算律 字 母 表 示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
a + b = b + a
(a + b) +c= a +(b + c)
ab = ba
(ab)c =a(bc)
a (b+ c )=ab+ac
新知探究
知识点2：用字母表示数的常见应用
1.长方形的面积公式S＝ab
S 表示面积，a、b分别表示长与宽
2.圆的面积计算公式S＝πr
S 表示面积，r表示圆的半径
3.长方体的体积计算公式V＝abc
a，b，c分别表示长方体的长、宽、高
4.圆柱体积计算公式V＝πr h.
V表示体积，r表示底面半径，h表示圆柱的高
新知探究
知识点2：用字母表示数的常见应用
在自然数范围内，回答下列问题.
（1）请用字母表示偶数和奇数.
偶数用字母表示为2m，奇数用字母表示为2m+1（m为自然数）.
（2）两个偶数之和具有怎样的特征？两个奇数之和又具有怎样的特征？请你提出猜想，并证明猜想的正确性.
两个偶数的和是偶数,两个奇数的和也是偶数.
一起探究：
（3）如果P是正整数，那么与P相邻的两个自然数之和是偶数吗？请说明理由.
与P相邻的两个自然数之和是偶数.
知识点2：用字母表示数的常见应用
新知探究
用字母表示数，说明：
（1）任意两个奇数之和是偶数.
问题引导：(m，n为自然数)
（1）一个奇数怎么表示？
2m+ 1
（2）两个相邻的奇数怎么表示？
2m-1、2m+1
（3）任意两个奇数怎么表示？
2m+1和 2n+1
解：(2m+1)+(2n+1)
=2（m+ n+1）.
新知探究
知识点2：用字母表示数的常见应用
（2）如果m为自然数，那么与m相邻的两个自然数之和是偶数.
问题引导：(m为自然数)
与m相邻的两个自然数怎么表示？
m-1和m+1
解：(m+1)+(m-1)
=2m.
新知探究
知识点2：用字母表示数的常见应用
（1）用字母表示数，同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示.
（2）用字母表示实际问题中的某一数量时，字母的取值需使这个问题有意义，并且符合实际.
（3）用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等.
1. 填空：
（1）-6℃下降2℃后是____℃；温度由t℃下降2℃度后是_____℃；
（2）今年李华m岁，去年李华_____ 岁，五年后李华 ____ 岁；
（3）三个连续偶数中间一个为2n，则其余两个为_____、 ；
（t -2）
（m-1）
（m+5）
2n-2
2n+2
随堂练习
-8
（4）某商店上月收入a元，本月收入比上月2 倍多10元，本月收入 元；
（5）城市市区人口a万人，市区绿化面积m万㎡,则平均每个人拥有绿地 ㎡；
（6）某城市5年前人均年收入为n元，预计今年人均年收入是5年前的2倍多500元，那么今年人均年收入将达________ 元.
（2a+10）
（2a+10）
（2n+500）
随堂练习
2.选择
（1）用字母表示乘法对加法的分配律是( )
A.a(b+c) B.ab+ac
C.a(b+c)=ab+ac D. ab=ba
C
（2）昨天的最高温度是27℃，今天气温比昨天下降t℃，今天的最高气温是（ ）
A．27+t B．27-t℃
C．（27+t）℃ D．（27-t）℃
D
随堂练习
（3）购买1个单价为a元的面包 和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为( )
A．(a＋b)元． B．3(a＋b)元．
C．(3a＋b)元． D．(a＋3b)元．
D
随堂练习
知识点1 用字母表示数字的数量关系
1. 如果某天石家庄的最低气温为 a ℃，中午12点的气温比最
低气温高了10℃，那么中午12点的气温为(　C　)
A. (10－ a )℃ B. ( a －10)℃
C. ( a ＋10)℃ D. ( a ＋12)℃
C
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2. [2024·重庆一中模拟]用式子表示： a 的2倍与3的和，下列
表示正确的是(　B　)
A. 2 a －3 B. 2 a ＋3
C. 2( a －3) D. 2( a ＋3)
B
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3. (1)一个两位数，它的十位数字是 x ，个位数字是 y ，那么
这个两位数是(　D　)
A. x ＋ y B. 10 xy
C. 10( x ＋ y ) D. 10 x ＋ y
【点拨】
十位上的数字乘10，再加上个位上的数字即可得到这
个两位数，故选D.
D
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(2)设 x 表示两位数， y 表示三位数，如果把 x 放在 y 的左
边组成一个五位数，那么这个五位数可表示为(　B　)
A. xy B. 1 000 x ＋ y
C. x ＋ y D. 100 x ＋ y
B
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知识点2 用字母表示图形中的数量关系
4. [母题·2024·石家庄第四十二中学期末·教材P104习题B组
T3]如图，边长为 m 的正方形纸片上剪去四个直径都为 d
的半圆，则阴影部分的周长是(　D　)
A. m2－π d2 B. m2－ π d2
C. 4 m －π d D. 4 m ＋2π d －4 d
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【点拨】
原正方形的周长为4 m ，四个直径都为 d 的半圆的长
度和为2π d ，则阴影部分的周长是4 m ＋2π d －4 d .
D
【答案】
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5. [2023·山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相
同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案
中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图
案中有10个白色圆片，…，依此规律，第 n 个图案中
有 个白色圆片(用含 n 的式子表示).
(2＋2 n )　
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【点拨】
第1个图案中有2＋2×1＝4(个)白色圆片；
第2个图案中有2＋2×2＝6(个)白色圆片；
第3个图案中有2＋2×3＝8(个)白色圆片；
…
第 n 个图案中有(2＋2 n )个白色圆片.
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知识点3 用字母表示实际中的数量关系
6. 某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活
动，现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中
甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设
购买甲种读本 x 本，则购买乙种读本的费用为(　C　)
A. 8 x 元 B. 10(100－ x )元
C. 8(100－ x )元 D. (100－8 x )元
C
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7. [2023·河南]某校计划给每个年级配发 n 套劳动工具，则3
个年级共需配发 套劳动工具.
3 n 　
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8. [情境题·2023·河南·生活应用]2023长春马拉松于5月21日
在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项
目，他从起点开始以平均每分钟 x 公里的速度跑了10分
钟，此时他离健康跑终点的路程为 公
里.(用含 x 的式子表示)
(7.5－10 x )　
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易错点 因混淆平方和(差)与和(差)的平方而致错
9. “ a 的2倍与 b 的和的平方”用式子表示为 .
(2 a ＋ b )2　
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课堂小结
用字母表示数
用字母表示数
用字母表示实际问题中的数量
谢谢观看！