3.2.1 代数式 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
3.2.1代数式
第三章 代数式
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
3.2.1 代数式
—— 从具体到抽象的数学表达
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在上一节课中，我们学习了用字母表示数，知道了字母可以简洁地表达数量关系。比如，“比\(x\)大 5 的数” 可以表示为\(x + 5\)，“\(a\)的 3 倍与\(b\)的和” 可以表示为\(3a + b\)。这些用字母和运算符号连接而成的式子，就是我们今天要学习的代数式。代数式是代数学习中的重要概念，它能帮助我们更系统地表示和研究数量关系。
第三页：代数式的定义
定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
注意：
单独的一个数或者一个字母也是代数式。例如，\(5\)、\(a\)、\(-3\)、\(x\)等都是代数式。
代数式中不含有等号或不等号（如\(=\)、\(\neq\)、\(>\)、\(<\)等）。例如，\(x + 2 = 5\)不是代数式，而是等式；\(3x > 7\)也不是代数式，而是不等式。
实例：
属于代数式的有：\(2x\)、\(a + b\)、\(\frac{m}{n}\)（\(n\neq0\)）、\(x^2 - 3\)、\(0\)、\(y\)等。
不属于代数式的有：\(x + 1 = 3\)、\(2y < 5\)、\(a \geq b\)等。
第四页：代数式的构成
代数式的构成包括以下几个部分：
数：如\(1\)、\(3.5\)、\(-2\)等。
字母：如\(a\)、\(b\)、\(x\)、\(y\)等，表示未知的数或特定的数量。
运算符号：包括加（\(+\)）、减（\(-\)）、乘（\(\times\)或省略不写）、除（\(\div\)或写成分数形式）、乘方（\(^2\)、\(^3\)等，如\(x^2\)表示\(x\times x\)）。
实例解析：代数式\(3x^2 + 2y - 5\)由数\(3\)、\(2\)、\(-5\)，字母\(x\)、\(y\)，以及运算符号\(+\)、\(-\)、乘方和乘法（\(3\)与\(x^2\)的乘法，\(2\)与\(y\)的乘法）构成。
第五页：代数式的书写规范
代数式的书写要遵循一定的规范，以保证表达清晰、统一，这些规范与用字母表示数的书写规则基本一致：
数字与字母相乘：数字在前，字母在后，乘号可省略。例如，\(5\times a\)写作\(5a\)，不写作\(a5\)。
字母与字母相乘：乘号可省略或写作 “ ”。例如，\(a\times b\)写作\(ab\)或\(a ·b\)。
带分数与字母相乘：带分数化为假分数。例如，\(1\frac{1}{2}\times x\)写作\(\frac{3}{2}x\)，不写作\(1\frac{1}{2}x\)。
除法运算：写成分数形式。例如，\(x\div 4\)写作\(\frac{x}{4}\)，\(m\div n\)写作\(\frac{m}{n}\)（\(n\neq0\)）。
含有加减运算的代数式带单位：要给代数式加括号。例如，\((a + 2)\)米，不写作\(a + 2\)米。
乘方的表示：相同字母相乘用乘方表示。例如，\(x\times x\)写作\(x^2\)，\(a\times a\times a\)写作\(a^3\)。
第六页：列代数式
列代数式就是把实际问题中的数量关系用代数式表示出来，步骤如下：
分析数量关系：明确题目中各数量之间的运算关系（如和、差、积、商、倍、分等）。
确定字母表示的量：选择合适的字母表示题目中的未知量。
写出代数式：根据数量关系，用运算符号把数和字母连接起来。
例题 1：用代数式表示下列数量关系。
（1）比\(a\)的 2 倍小 3 的数；
（2）\(x\)的平方与\(y\)的立方的和；
（3）\(m\)与\(n\)的差除以\(m\)与\(n\)的积的商。
解：（1）\(a\)的 2 倍是\(2a\)，比它小 3 的数是\(2a - 3\)。
（2）\(x\)的平方是\(x^2\)，\(y\)的立方是\(y^3\)，它们的和是\(x^2 + y^3\)。
（3）\(m\)与\(n\)的差是\(m - n\)，\(m\)与\(n\)的积是\(mn\)，商是\(\frac{m - n}{mn}\)（\(m\neq0\)，\(n\neq0\)）。
第七页：代数式的意义
代数式的意义包括两方面：一是代数式所表示的数量关系，二是代数式在具体情境中的实际含义。
1. 解释代数式的数量关系：
例如，代数式\(3a + 2b\)可以表示 “\(a\)的 3 倍与\(b\)的 2 倍的和”。
代数式\(\frac{s}{t}\)（\(t\neq0\)）可以表示 “\(s\)除以\(t\)的商”。
2. 结合情境解释代数式的实际含义：
若\(a\)表示一个苹果的质量（单位：克），则\(3a\)表示 “3 个苹果的总质量”。
若\(x\)表示一支铅笔的价格（单位：元），\(y\)表示一块橡皮的价格（单位：元），则\(2x + 3y\)表示 “买 2 支铅笔和 3 块橡皮的总价格”。
例题 2：说出下列代数式的意义。
（1）\(5x - y\)；（2）\(\frac{a + b}{2}\)。
解：（1）\(5x - y\)可以表示 “\(x\)的 5 倍与\(y\)的差”。若\(x\)表示每千克苹果的价格，\(y\)表示买其他物品的花费，则\(5x - y\)表示 “买 5 千克苹果比买其他物品多花的钱（若结果为正）或少花的钱（若结果为负）”。
（2）\(\frac{a + b}{2}\)可以表示 “\(a\)与\(b\)的和的一半”。若\(a\)、\(b\)分别表示两个数，则\(\frac{a + b}{2}\)表示 “这两个数的平均数”。
第八页：例题解析（综合应用）
例题 3：一个长方形的长为\(a\)厘米，宽为\(b\)厘米，用代数式表示这个长方形的周长和面积，并说明当\(a = 8\)，\(b = 5\)时，代数式的值的实际意义。
解：长方形的周长 = 2×（长 + 宽），用代数式表示为\(2(a + b)\)厘米；长方形的面积 = 长 × 宽，用代数式表示为\(ab\)平方厘米。
当\(a = 8\)，\(b = 5\)时，周长\(2(a + b)=2 (8 + 5)=26\)厘米，表示这个长方形的实际周长是 26 厘米；面积\(ab = 8 5 = 40\)平方厘米，表示这个长方形的实际面积是 40 平方厘米。
例题 4：某班有学生\(m\)人，其中男生有\(n\)人，用代数式表示女生人数，并说明当\(m = 45\)，\(n = 23\)时，代数式的值的意义。
解：女生人数 = 总人数 - 男生人数，用代数式表示为\((m - n)\)人。
当\(m = 45\)，\(n = 23\)时，\(m - n = 45 - 23 = 22\)人，表示这个班的女生实际有 22 人。
第九页：课堂练习
填空题：
下列式子中，是代数式的有______（填序号）。
①\(3x + 5\) ②\(x = 2\) ③\(7\) ④\(a\) ⑤\(2y > 1\)
用代数式表示 “\(x\)的 3 倍与\(y\)的和的平方” 是______。
若\(a\)表示每本练习本的价格，那么\(5a\)表示______。
选择题：
下列代数式的书写正确的是（ ）
A. \(a\times 3\) B. \(x\div 2\) C. \(2\frac{1}{2}m\) D. \(\frac{1}{2}ab\)
代数式\(2a - b\)的意义是（ ）
A. \(a\)的 2 倍与\(b\)的差 B. \(a\)与\(b\)的差的 2 倍
C. \(a\)的 2 倍与\(b\)的和 D. \(a\)与\(b\)的 2 倍的差
解答题：
（1）用代数式表示下列数量关系。
①比\(m\)的倒数小 5 的数；②\(a\)与\(b\)的平方和。
（2）说出代数式\(3(m + n)\)的意义（至少两种）。
（3）一个三角形的底为\(x\)厘米，高为\(h\)厘米，用代数式表示这个三角形的面积。当\(x = 6\)，\(h = 4\)时，这个三角形的面积是多少平方厘米？
第十页：课堂小结
代数式的定义：用运算符号把数和字母连接而成的式子，单独的一个数或字母也是代数式。
代数式的构成：包括数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）。
代数式的书写规范：遵循与用字母表示数类似的规则，如数字在前、乘号省略、除法写成分数形式等。
列代数式：分析数量关系，用代数式表示实际问题中的数量。
代数式的意义：既可以表示数量关系，也可以结合具体情境表示实际含义。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 3.2 第 1、2、3 题。
填空题：
用代数式表示 “\(a\)的相反数与\(b\)的绝对值的和” 是______。
若\(x\)表示一个数，那么 “这个数的平方与这个数的 3 倍的差” 用代数式表示为______。
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）：
代数式中一定含有字母。（ ）
\(x + 1 = 0\)是代数式。（ ）
\(ab\)表示\(a\)与\(b\)的积。（ ）
解答题：
（1）用代数式表示下列数量关系。
①\(x\)的一半与\(y\)的 3 倍的差；②\(m\)与\(n\)的和的倒数（\(m + n\neq0\)）。
（2）解释代数式\(\frac{1}{2}ah\)的意义（结合几何图形或实际情境）。
（3）某工厂第一季度生产零件\(a\)个，第二季度比第一季度多生产\(b\)个，用代数式表示上半年共生产零件的个数。当\(a = 5000\)，\(b = 500\)时，上半年共生产多少个零件？
思考：代数式与用字母表示数有什么联系？列代数式时，如何准确把握数量之间的关系？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.理解代数式的意义,体会代数式是表示数量和数量关系的数学模型,初步培养模型观念.
2.明确代数式的书写要求，并能按照要求正确书写代数式.
我们小时候都听过这样一段儿歌
“一只青蛙一张嘴，两只眼睛，四条腿，一声扑通跳下水……”请接下去.
n只青蛙， 张嘴， 只眼睛，
条腿， 声扑通跳下水.
n
2n
4n
n
课堂导入
代数式的概念
用运算符号连接数和字母的式子叫作代数式.（运算符号包括＋、－、×、÷、乘方）
1.单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式..
2.代数式中除了含有数，字母和运算符号外，还可以含有括号.
3.代数中不含有“＝”、“＞”、“＜”.
【注意】
新知探究
知识点1 代数式的概念
代数式的概念
用含有字母的式子表示下列数量关系：
（1）买一个足球需要a元，买一个篮球需要b元，则买一个足球和一个篮球共需要___________ 元；
（2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的3倍少20件，去年的产量是___________ 件；
（3）某一正方形菜地的边长为am，它的面积是另一菜地面积的2倍，另一菜地的面积为___________ m2 .
新知探究
知识点1 代数式的概念
例1： 下列式子中，哪些是代数式？
(1)x＋6；(2)x＝2x－1；(3)a；(4)2n>3；(5)0.
解： 因为代数式不能含有“＝”“＞”或“＜”，
所以是代数式的有：(1)(3)(5)．
注意：代数式中的式是指由＋、－、×、÷、乘方运算符号连接而成的式子．
新知探究
知识点1 代数式的概念
解：（1）2a+5表示的是a的2倍与5的和.
（2）2（a+5）表示的是a与5的和的2倍.
（3）a2+b2表示的是a的平方与b的平方的和.
（4）（a+b）2表示的是a与b的和的平方.
例2 指出下列各代数式的意义：
（1）2a+5； （2）2（a+5）；（3）a2+b2; （4）（a+b）2.
新知探究
知识点2 代数式的意义
大家谈谈：
观察下面代数式（a+8）（b-c）的生成过程，请用恰当的语言说出代数式（a+8）（b-c）的意义.
a
8
两数的和
a+8
b
c
两数的差
b-c
两数
的积
（a+8）（b-c）
新知探究
知识点2 代数式的意义
例3 请用代数式表示：
（1）a,b的差与c的平方的和.
（2）百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c的三位数.
（3）三个连续的的整数（用同一个字母表示），以及它们的和.
解：（1）（a-b)+ c2.
（2）100a+10b+ c.(其中a，b，c是0到9之间的整数，且a≠0.
（3）设m是正数，三个连续整数可表示为m-1,m,m+1，它们的和为(m-1)+m+(m+1).
新知探究
知识点3 列代数式
列代数式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言．
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序，一般按“先读先写”的原则列出式子.
③牢记一些概念和公式．
新知探究
知识点3 列代数式
1.字母与字母，数与字母相乘时，“×” 号通常省略不写或写“·”;
代数式的书写要求：
2.数与字母相乘时，数字通常写在字母的左边；
100×t
100t 或100·t
b×2a
2ab或2·a·b
新知探究
知识点4 代数式的书写要求
3.除法运算一般以分数的形式表示；
s÷v
s
v
4.带分数与字母相乘时，通常把带分数化成假分数；
1
3
1 n
4n
3
5.在实际问题中含有单位时，一般要把代数式用括号括起来，再写单位.
例如：长方形周长为（2a+4b)米.
例4：判断下列式子书写是否规范，不规范的请改正.
新知探究
知识点4 代数式的书写要求
1.用代数式表示：
（1）一个数x与6的和；
（2）比-5小a的数；
（3）某校买书25本,每本a元，该校应付书费多少元？
（4）容量为60L的铁桶，贮满油，取出(x+1)L后，桶内还剩油多少升？
解：
(1) x+6；
(2) -5-a；
(3) 25a元；
（4）[60-(x+1)]L.
随堂练习
知识点1 代数式的定义
1. 下列式子中，不属于代数式的是(　D　)
A. a ＋3 B. 2 mn
C. 0 D. x ＞ y
D
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2. 下列各式中，是代数式的有(　D　)
① ；② a －1＞0；③ ab ＝ ba ；
④ a ；⑤0；⑥ ( a2－ b2).
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
D
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知识点2 代数式的书写规则
3. [2024·石家庄外国语学校月考]下列含有字母的式子中，符
合书写规范要求的是(　C　)
A. －1 a
D. ( x ＋ y )÷ z
C
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4. 下面不符合用字母表示数的书写要求的有(　C　)
①3 a ；②( x － y )÷( x ＋ y )；③( a ＋ b )2；
④ x － y 米；⑤ ；⑥ .
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
C
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知识点3 代数式表示的意义
5. [2023·河北]代数式－7 x 的意义可以是(　C　)
A. －7与 x 的和 B. －7与 x 的差
C. －7与 x 的积 D. －7与 x 的商
C
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6. 一列火车长 m m，以每秒 n m的速度通过一个长为 p m的
桥洞，用代数式表示火车完全通过桥洞所需的时间，正确
的为(　D　)
D
1
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7. 用文字语言叙述代数式 － ，不正确的是(　A　)
A. 1除以 a 与 b 的差的商
B. 比 a 的倒数小1除以 b 的商的数
C. 1除以 a 的商与1除以 b 的商的差
D. a 的倒数与 b 的倒数的差
A
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8. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价 x 元的衣服以
元出售，则下列说法中，能正确表达该商店
促销方法的是(　B　)
A. 原价减去10元后再打八折
B. 原价打八折后再减去10元
C. 原价减去10元后再打两折
D. 原价打两折后再减去10元
B
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易错点 理解不透数量关系而致错
9. [2024·连云港期末]甲数比乙数的4倍少1，则下列说法：①
设乙数为 x ，则甲数为4 x －1；②设甲数为 x ，则乙数为
x ＋1；③设甲数为 x ，则乙数为 ( x ＋1)；④设甲数为
x ，则乙数为 ( x －1)，其中正确的是(　A　)
A. ①③ B. ①②
C. ②④ D. ①④
A
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13
利用代数式的特征说明其数学意义
10. 说出下列代数式的意义：
(1)8 a ＋7；(2)4－ ；
(3) a2－ b2；(4)( a － b )2.
【解】(1)8 a ＋7的意义是 a 的8倍与7的和.
(2)4－ 的意义是4与 a 除以 b 的商的差.
(3) a2－ b2的意义是 a 的平方与 b 的平方的差.
(4)( a － b )2的意义是 a 与 b 的差的平方.
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2
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利用图形的特征判断代数式表示阴影面积的方法
11. [母题 教材P104习题B组T3]下面四个代数式中，不能表
示图中阴影部分面积的是(　D　)
A. x2＋3 x ＋6
B. ( x ＋3)( x ＋2)－2 x
C. 3( x ＋2)＋ x2
D. x2＋5 x
D
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代数式
定义
应用
用运算符号连接数和字母的式子叫作代数式．单独一个数或一个表示数的字母也是代数式.
代数式所表示的意义
根据实际问题列代数式
课堂小结
谢谢观看！