3.2.2 列代数式 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
3.2.2列代数式
第三章 代数式
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
3.2.2 列代数式
—— 精准表达数量关系的技巧
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在 3.2.1 中我们认识了代数式，而列代数式是把实际问题中的数量关系转化为代数式的过程，这是解决代数问题的基础。无论是数学计算、科学研究还是日常生活，都需要用代数式清晰地表达数量之间的关系。比如，计算购买多种物品的总费用、描述图形的边长与面积的关系等，都离不开列代数式。本节课我们将深入学习列代数式的方法和技巧，提高准确表达数量关系的能力。
第三页：列代数式的关键 —— 抓住关键词
列代数式的核心是准确理解题目中描述数量关系的词语，这些关键词决定了运算符号的选择。常见的关键词及对应的运算如下：
和、加、加上、与、总共、合计：表示加法运算，如 “\(a\)与\(b\)的和” 表示为\(a + b\)。
差、减、减去、比…… 少、多…… 少：表示减法运算，如 “\(x\)比\(y\)少 5” 表示为\(y - x = 5\)（但列代数式时为\(x = y - 5\)，仅表示数量关系则是\(y - 5\)）。
积、乘、乘以、倍：表示乘法运算，如 “\(m\)的 3 倍” 表示为\(3m\)。
商、除、除以、分：表示除法运算，如 “\(a\)除以\(b\)的商” 表示为\(\frac{a}{b}\)（\(b\neq0\)）。
平方、立方、几次方：表示乘方运算，如 “\(n\)的平方” 表示为\(n^2\)，“\(t\)的立方” 表示为\(t^3\)。
一半、几分之几：表示乘法结合分数，如 “\(c\)的一半” 表示为\(\frac{1}{2}c\)。
实例：“\(a\)的 2 倍与\(b\)的 3 倍的和” 中，“2 倍”“3 倍” 对应乘法，“和” 对应加法，所以代数式为\(2a + 3b\)。
第四页：列代数式的步骤细化
在 3.2.1 提到的列代数式基本步骤基础上，我们进一步细化，确保每一步都准确无误：
通读题目，明确研究对象：确定题目中涉及哪些量，哪些是已知量，哪些是未知量。
用字母表示未知量：选择简洁、易记的字母（通常用\(a\)、\(b\)、\(x\)、\(y\)等）表示未知量，并用文字注明字母所代表的含义（在复杂问题中尤为重要）。
逐层分析数量关系：从关键词入手，分解复杂的数量关系，明确先算什么，后算什么，必要时借助括号改变运算顺序。
写出代数式并检查：根据分析写出代数式，检查是否符合书写规范，是否准确反映了题目中的数量关系。
实例解析：“一个数的 5 倍与这个数的平方的差”。
步骤 1：研究对象是 “一个数”，为未知量。
步骤 2：设数式技巧
当数量关系较为复杂时，可采用以下技巧：
分段处理：将复杂关系分解为几个简单部分，分别列代数式后再组合。
例如，“\(x\)的 3 倍与\(y\)的和的一半”，先算 “\(x\)的 3 倍与\(y\)的和” 为\(3x + y\)，再取一半，即\(\frac{3x + y}{2}\)。
借助括号明确运算顺序：当需要先进行加减运算再进行乘除或乘方运算时，必须添加括号。
例如，“\(a\)与\(b\)的差的平方” 是\((a - b)^2\)，而 “\(a\)的平方与\(b\)的差” 是\(a^2 - b\)，两者因括号位置不同而意义不同。
利用表格梳理关系：在涉及多个量且关系复杂时，列表格能清晰呈现各量之间的联系。
例如，某工厂有甲、乙两个车间，甲车间有\(m\)人，乙车间人数比甲车间的 2 倍少 5 人，求两个车间的总人数。列表如下：
车间
人数表达式
甲
\(m\)
乙
\(2m - 5\)
总人数为\(m + (2m - 5)=3m - 5\)。
例题 4：“比\(x\)的 2 倍与\(y\)的 3 倍的差大 5 的数”，列代数式。
解：先算 “\(x\)的 2 倍与\(y\)的 3 倍的差” 为\(2x - 3y\)，再算 “比这个差大 5 的数”，即\((2x - 3y) + 5 = 2x - 3y + 5\)。
第七页：例题解析（易错题辨析）
例题 5：判断下列列代数式是否正确，若不正确请改正。
（1）“\(a\)与\(b\)的平方和” 表示为\(a + b^2\)；
（2）“\(a\)与\(b\)的和的平方” 表示为\(a^2 + b^2\)；
（3）“\(a\)除以\(a\)与\(b\)的和” 表示为\(\frac{a + b}{a}\)（\(a\neq0\)）。
解：（1）不正确。“平方和” 是先平方再求和，应表示为\(a^2 + b^2\)。
（2）不正确。“和的平方” 是先求和再平方，应表示为\((a + b)^2\)。
（3）不正确。应为\(a\)除以 “\(a\)与\(b\)的和”，即\(\frac{a}{a + b}\)（\(a + b\neq0\)，\(a\neq0\)）。
例题 6：用代数式表示 “\(m\)的倒数与\(n\)的相反数的和”。
解：\(m\)的倒数是\(\frac{1}{m}\)（\(m\neq0\)），\(n\)的相反数是\(-n\)，所以代数式为\(\frac{1}{m} + (-n)=\frac{1}{m} - n\)。
第八页：课堂练习
填空题：
“\(x\)的\(\frac{1}{3}\)与\(y\)的 2 倍的差” 用代数式表示为______。
一个两位数，十位数字是\(a\)，个位数字比十位数字大 3，则这个两位数用代数式表示为______。
某商品原价为\(p\)元，现打八折销售，现价用代数式表示为______元。
选择题：
代数式\((a + b)(a - b)\)表示的意义是（ ）
A. \(a\)与\(b\)的和乘以\(a\)与\(b\)的差
B. \(a\)加上\(b\)乘\(a\)减去\(b\)
C. \(a\)与\(b\)的和乘\(a\)减去\(b\)
D. \(a\)加上\(b\)乘\(a\)与\(b\)的差
若一个长方形的长为\(x\)米，宽比长短 2 米，则这个长方形的周长用代数式表示为（ ）
A. \(2x - 2\) B. \(2x + 2\) C. \(4x - 4\) D. \(4x + 4\)
解答题：
（1）用代数式表示下列数量关系。
①比\(a\)的相反数小 3 的数；②\(x\)与\(y\)的积的 2 倍与\(z\)的和。
（2）一个梯形的上底为\(a\)厘米，下底为\(b\)厘米，高为\(h\)厘米，用代数式表示这个梯形的面积。
（3）某班有学生\(x\)人，其中女生占 40%，用代数式表示男生人数。
第九页：课堂小结
列代数式的关键是抓住表示运算关系的关键词，明确对应的运算符号。
细化后的列代数式步骤：明确研究对象、表示未知量、分析数量关系、写式并检查。
针对数字问题、几何图形问题、实际应用问题等不同类型，需结合其特点列代数式。
处理复杂数量关系时，可采用分段处理、借助括号、利用表格等技巧，避免出错。
易错题多因对关键词理解不准确或运算顺序混淆，需特别注意 “和的平方” 与 “平方和” 等的区别。
第十页：作业布置
教材第 XX 页习题 3.2 第 4、5、6 题。
填空题：
“\(a\)的平方的 2 倍与\(b\)的立方的差” 用代数式表示为______。
一辆汽车原计划每小时行驶\(v\)千米，实际每小时多行驶 5 千米，那么实际行驶\(s\)千米所用的时间用代数式表示为______小时。
解答题：
（1）用代数式表示下列数量关系。
①\(m\)与\(n\)的和的倒数（\(m + n\neq0\)）；②\(x\)的 3 倍与\(y\)的一半的差的平方。
（2）一个长方体的长、宽、高分别为\(a\)米、\(b\)米、\(c\)米，用代数式表示这个长方体的体积。
（3）某工厂第一个月生产零件\(x\)个，第二个月比第一个月增产 15%，第三个月比第二个月减产 10%，用代数式表示第三个月生产零件的个数。
思考：在列代数式时，如何区分 “\(a\)与\(b\)的差” 和 “\(b\)与\(a\)的差”？结合实例说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
能用代数式表示某些实际问题中的数量关系和某些数学规律,进一步发展符号意识,提高数学应用意识.
典例1：已知参加甲、乙两地植树的同学分别为52人和23人，现从甲、乙两地共抽调12人到丙地植树. 如果从甲地抽调x人，请用含x的代数式分别表示甲、乙两地剩下的人数.
解：将表示甲、乙两地剩下人数的代数式填入下表.
原来人数/人 抽调人数/人 剩下人数/人
甲地 52 x
乙地 23
52-x
12-x
23-(12-x)
方法一
方法二
两地共75人，调走12人，剩余63人，已知甲地剩余（52-x)人，所以乙地剩余[63-(52-x)]人.
新知探究
知识点 用代数式表示简单的数量关系
例2 如图，已知装满油时，桶和油的质量一共是a kg；当油用去一半时，桶和油的质量一共是b kg.
（1）当桶里装满油时，写出表示油的质量的代数式.
（2）写出表示桶的质量的代数式.
解：（1）由题意,一半油的质量为（a-b）kg.
所以，当桶里装满油时，油的质量为2（a-b）kg.
（2）桶的质量为[a-2（a-b）] kg.
思考：本题的基本数量关系是什么？
油桶总质量=油的质量+桶的质量
新知探究
知识点 用代数式表示简单的数量关系
例3 填空：
（1）如果汽车以85 km/h的速度在高速公路上匀速行驶，那么x h行驶的路程为_________ km；
（2）如果某工程队平均每天修路0.8 km，那么x天可以修路___________ km；
（3）如果一套学生桌椅的价钱是380元，那么买x套这种学生桌椅需要__________元；
85x
0.8x
380x
新知探究
知识点 用代数式表示简单的数量关系
（4）如果某期5年期国债的年利率是5.6％，小颖的爷爷买了这期国债x元，那么到期后可得利息 元，本息为 元；
（5）如果一项工程要求30天完成，那么x天后完成了工程量的 .
5×5.6%x
（x+5×5.6%x）
知识点 用代数式表示简单的数量关系
新知探究
思考：
1.请用文字的形式概括上述数量关系.
2.上面列出的这些代数式都有怎样的特点？
行程问题：路程=速度×时间.
工程问题：工作量=工效×时间.
商品价格问题：总价=单价×数量
利息问题：利息=本金×利率×期数.
本息=本金×利息.
都符合kx的形式.
新知探究
知识点 用代数式表示简单的数量关系
例4 小兰的家离学校5千米，她步行的速度是v千米/时.
（1）小兰从家到学校需要走多长时间？
（2）为了提前到校，她每小时多走了0.5千米，那么她能提前多长时间到校？(用含v的式子表示)
解：（1）小兰从家到学校需要的时间为 小时.
（2）若小兰每小时多走0.5千米，则到学校所需要的时间是
小时，所以能提前 小时到校.
新知探究
知识点 用代数式表示简单的数量关系
新知探究
知识点 用代数式表示简单的数量关系
例5 一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到一个新数．用式子分别表示这两个数及它们的和.
分析：用字母表示多位数，可以先画出数位图.
10b+a
10a+b
解：原来的两位数可表示为：10b+a.
新两位数可表示为：10a+b.
两数之和为：（10b+a）+（10a+b）.
1.火车平均每小时运行vkm， 用代数式表示：
（1）经过2h，火车运行了________km；
（2）如果火车行驶400 km， 那么需要__________h．
2.汽车厂去年生产汽车a 台， 今年比去年增产ｐ％， 那么今年生产了汽车 _______________台.
随堂练习
知识点1 用代数式表示实际问题中的倍数关系
1. [2024·保定校级期中]某班共有 x 个学生，其中女生人数占
53％，用代数式表示该班的男生人数是 .
(1－53％) x 　
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2. [2024·张家口期末]某商品原价为 a 元，因销量下滑，经营
者连续两次降价，每次降价10％，后因供不应求，又一次
提高20％，则现在这种商品的价格是(　C　)
A. (1－10％)(1＋20％) a 元
B. (1＋10％)(1－20％) a 元
C. (1－10％)2(1＋20％) a 元
D. (1＋10％)2(1－20％) a 元
C
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3. [2024·厦门莲花中学期末]某企业今年3月份的产值为 m 万
元，4月份比3月份减少了8％，预测5月份比4月份增加9
％，则5月份的产值是(　B　)
A. ( m －8％)( m ＋9％)万元
B. (1－8％)(1＋9％) m 万元
C. ( m －8％＋9％)万元
D. ( m －8％＋9％) m 万元
B
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知识点2 用代数式表示实际问题中的和差关系
4. [2024·唐山友谊中学月考]已知某轿车的油箱容量是60 L，
每公里耗油0.07 L，此轿车在加满油的情况下行驶 x
km，油箱内剩余油量为(　C　)
A. 0.07 x L B. 60 x L
C. (60－0.07 x )L D. (60＋0.07 x )L
【点拨】
轿车行驶 x km耗油0.07 x L，故油箱内剩余油量为(60
－0.07 x )L.
C
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5. 甲、乙两地相距 n km，李师傅骑摩托车从甲地驶往乙地.
原计划每小时行驶 x km，但实际每小时行驶40 km( x ＜
40)，则李师傅从甲地到乙地所需要的实际时间比原计划
减少了(　C　)
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【点拨】
原计划从甲地到乙地所需时间为 h，实际所需时间
为 h，则所用时间减少了( － ) h.
C
【答案】
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6. 已知出租车行驶3 km以内(包括3 km)的车费是6元，以后
每行驶1 km收费1.5元，如果某人坐出租车行驶了 m
km( m 是整数，且 m ≥3)，则车费是(　A　)
A. (1.5 m ＋1.5)元 B. (1.5 m －1.5)元
C. (1.5 m ＋3)元 D. (1.5 m －3)元
【点拨】
因为 m ≥3，所以车费是6＋1.5· ＝(1.5 m ＋
1.5)元.
A
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知识点3 用代数式表示图形的边长、面积
7. [2024·保定期中]如图，一个窗户的上部是由4个相同的扇
形组成的半圆形，下部是由边长为 a 的4个完全相同的小
正方形组成的正方形，则做这个窗户需要的材料总长为
(　B　)
A. 15 a B. 15 a ＋π a
C. 15 a ＋2π a D. π a ＋6 a
(第7题)
B
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8. [母题·2024·唐山期末·教材P112习题C组T5]如图①，一个
长为4 a 、宽为 b 的长方形，沿虚线用剪刀平均分成四个
小长方形，则每个小长方形的宽为 ；然后用四个小
长方形拼成一个大正方形(图②)，则图中阴影部分的面积
为 .
a 　
( b － a )2或( a ＋ b )2－4 ab 　
(第8题)
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【点拨】
由题易知，每个小长方形的宽为 a ，观察题图②，
解法一：阴影部分是一个小正方形，边长为 b － a ，
所以题图中阴影部分的面积为( b － a )2.
解法二：拼成的大正方形的面积－四个小长方形的面
积＝阴影部分的面积，即( a ＋ b )2－4 ab .
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易错点 列代数式时因审题不清而致错
9. 某工厂第一年生产 a 件产品，第二年比第一年增产了20％，则两年生产的产品总件数为(　D　)
A. 20％ a B. a
C. a (1＋20％) D. a ＋ a (1＋20％)
D
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利用代数式表示剩余问题
10. 一堆桃子共有 x 个，小彬拿走 后又多拿了1个；小颖拿
走剩余部分的 后，也多拿了1个.用含 x 的代数式表示最
后剩余的桃子个数.
【解】小彬拿走了 个，小颖拿走了{ ［ x －
］＋1}个，故最后剩余的桃子个数为 x －( ＋
1)－{ ＋1}.
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利用代数式表示计费问题
11. 国庆期间，一旅游团到某旅游景点游玩，看到售票
处旁边的公告栏如图所示，请根据公告栏的内容解答
下列问题：
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(1)若旅游团人数为18人，门票费用是 元；若旅
游团人数为22人，门票费用是 元 .
(2)设旅游团人数为 x (人)，试用含 x 的代数式表示该旅游
团门票费用 y (元).
【解】该旅游团门票费用 y (元)表示为
y ＝
2 700　
3 180　
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利用代数式探求购物问题
12. [新考法·分段分析法]某超市在春节期间对顾客实行优
惠，规定如下表：
一次性购物 优惠办法
低于200元 不予优惠
低于500元但不低于
200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
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(1)王老师一次性购物600元，他实际付款 元；
(2)若顾客在该超市一次性购物 x 元，当 x 小于500但不小
于200时，他实际付款 元，当 x 大于或等于
500时，他实际付款 元；(用含 x 的代
数式表示)
530　
0.9 x 　
(0.8 x ＋50)　
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(3)如果王老师两次购物(优惠之前)合计820元，第一次购
物为 a 元(200≤ a ＜300)，用含 a 的代数式表示两次购
物王老师实际付款多少元.
【解】0.9 a ＋0.8(820－ a －500)＋500×0.9＝
(0.1 a ＋706)元，故两次购物王老师实际付款(0.1 a ＋706)元.
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课堂小结
用代数式表示简单的数量关系
文字语言转化为符号语言
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