3.3 数量之间的关系 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
3.3 数量之间的关系
第三章 代数式
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
3.3 数量之间的关系
—— 探寻变化中的规律
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在我们的生活中，数量之间往往存在着千丝万缕的联系。比如，随着时间的推移，汽车行驶的路程会不断增加；购买商品的数量越多，所花费的总钱数也会相应增多。这些都是数量之间关系的具体体现。了解数量之间的关系，能帮助我们更好地理解世界的变化规律，做出合理的判断和决策。本节课我们将深入研究数量之间的关系，学习如何用不同的方式表示和分析这些关系。
第三页：数量之间的依存关系
数量之间的关系首先表现为依存关系，即一个数量的变化会引起另一个数量的相应变化。
两个数量的依存关系：
例如，在路程问题中，当速度一定时，时间是自变量，路程是因变量，路程随着时间的变化而变化，即\(s = vt\)（\(v\)为常数）。
在购物问题中，当单价一定时，购买数量是自变量，总价是因变量，总价随着数量的变化而变化，即\(c = pn\)（\(p\)为常数）。
多个数量的依存关系：
例如，长方体的体积由长、宽、高共同决定，体积\(V = abc\)，当长、宽、高中的任意一个或多个发生变化时，体积都会发生变化。
实例解析：一个水池有一个进水管，进水管每小时可向水池注水\(2\)立方米。设注水时间为\(t\)小时，水池中的水量为\(V\)立方米。这里，注水时间\(t\)是自变量，水量\(V\)是因变量，\(V\)随着\(t\)的变化而变化，它们之间的关系可以表示为\(V = 2t\)（假设水池初始水量为\(0\)）。
第四页：用代数式表示数量关系
用代数式表示数量之间的关系是最基本也是最常用的方法，它能简洁、准确地反映数量之间的规律。
直接关系：根据数量之间的直接运算关系列出代数式。
例如，“一个数比\(x\)的 3 倍多 5”，可表示为\(3x + 5\)。
间接关系：需要通过多个步骤的分析才能得出代数式。
例如，“一个两位数，十位数字是\(a\)，个位数字是十位数字的 2 倍，这个两位数是多少？” 首先，个位数字是\(2a\)，然后根据两位数的表示方法，这个两位数可表示为\(10a + 2a = 12a\)。
例题 1：某城市的出租车起步价为\(8\)元（3 千米以内），超过 3 千米的部分，每千米收费\(2.5\)元。设行驶的路程为\(x\)千米（\(x > 3\)），用代数式表示应付的车费。
解：行驶路程超过 3 千米的部分为\((x - 3)\)千米，这部分的费用为\(2.5(x - 3)\)元，再加上起步价 8 元，所以应付的车费为\(8 + 2.5(x - 3)\)元，化简后为\(2.5x + 0.5\)元。
第五页：用表格表示数量关系
表格能清晰地展示两个或多个数量在不同情况下的对应值，便于观察数量的变化趋势。
制作表格（3）蓄水量是增加还是减少的时间段分别是哪些？
解：（1）从图像中可以看出，第 3 天对应的蓄水量是\(500\)万立方米。
（2）蓄水量在第 5 天到第 8 天这段时间内保持不变，均为\(600\)万立方米。
（3）蓄水量在第 1 天到第 5 天是增加的，在第 8 天到第 10 天是减少的。
第九页：课堂练习
填空题：
小明每分钟走\(60\)米，设他走的时间为\(t\)分钟，走的路程为\(s\)米，则\(s\)与\(t\)的关系式是______，其中______是自变量，______是因变量。
某工厂每月生产\(x\)台机器，每台机器的成本为\(2000\)元，售价为\(3500\)元，每月的利润\(y\)（元）与\(x\)的关系式是______。
对于关系式\(y = 5x - 2\)，当\(x = 3\)时，\(y =\)；当\(y = 13\)时，\(x =\)。
选择题：
下列关系式中，\(y\)随\(x\)的增大而减小的是（ ）
A. \(y = 2x + 1\) B. \(y = x - 3\) C. \(y = -3x\) D. \(y = 5x\)
某商品的原价为\(a\)元，连续两次降价\(10\%\)后的价格为（ ）
A. \(0.81a\)元 B. \(0.9a\)元 C. \(1.21a\)元 D. \(1.1a\)元
解答题：
（1）一个长方形的长为\(x\)厘米，宽为\(5\)厘米，用代数式表示长方形的周长\(C\)（厘米）和面积\(S\)（平方厘米），并分析周长和面积随长的变化趋势。
（2）制作一个表格，表示关系式\(y = -2x + 4\)在\(x = -1\)、\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)时的对应值。
（3）如图是某汽车的行驶路程与时间的关系图像，根据图像回答：汽车在出发后第 2 小时行驶了多少千米？汽车在哪个时间段内行驶的速度最快？
第十页：课堂小结
数量之间存在着依存关系，一个数量的变化会引起另一个数量的变化，其中自变量是主动变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量。
表示数量关系的方法有代数式、表格和图像，它们各有特点：代数式简洁准确，表格清晰直观，图像形象生动。
分析数量关系的变化趋势包括递增、递减和恒定三种情况，通过观察代数式、表格或图像可以判断变化趋势。
在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方式表示数量关系，并能从不同的表示方式中获取有用的信息。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 3.3 第 1、2、3、4 题。
填空题：
某种活期储蓄的月利率是\(0.3\%\)，存入本金\(p\)元，本息和（本金与利息的和）\(y\)（元）与存款月数\(n\)的关系式是______（利息 = 本金 × 利率 × 时间）。
已知关系式\(y = kx + b\)，当\(x = 1\)时，\(y = 3\)；当\(x = 2\)时，\(y = 5\)，则\(k =\)，\(b =\)。
解答题：
（1）某地区的手机通话费为每分钟\(0.2\)元，月租费为\(15\)元，设每月通话时间为\(t\)分钟，每月的费用\(y\)（元）与\(t\)的关系式是什么？当每月通话时间为\(100\)分钟时，费用是多少？
（2）一个三角形的底为\(10\)厘米，高为\(h\)厘米，用代数式表示三角形的面积\(S\)（平方厘米），并分析面积随高的变化趋势。制作表格表示当\(h = 2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)、\(10\)时的面积。
（3）根据下面的表格，写出\(y\)与\(x\)的关系式。
\(x\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(y\)
\(3\)
\(6\)
\(9\)
\(12\)
\(15\)
思考：在实际生活中，还有哪些数量之间存在着特殊的关系？如何用我们学过的方法表示这些关系？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.通过对具体对象的观察,发现一般规律,发展抽象能力.
2.会用代数式表示数、式及图形中的数量之间的关系，
体会从特殊到一般、转化等数学思想方法.
3.会从不同角度分析和解决问题，体会同一量可以用不同代数式来表示.
观察下列等式：
1×3=22-1；2×4=32-1；3×5=42-1；……
请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.
观察每个等式的特征，这些等式可以改写成：
1×（2+1）=（1+1）2-1；2×(2+2)=（2+1）2-1；3×(2+3)=（3+1）2-1；……
用n表示自然数，则规律是：n(n+2)=(n+1)2-1.
新知探究
知识点1 用代数式表示数的变化规律
用代数式表示数的变化规律
1.数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律;
2.数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系；
3.若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
新知探究
知识点1 用代数式表示数的变化规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
1.请找出同一直线上相邻数之间的关系:
（1）横行三个相邻数的关系；
（2）竖列三个相邻数的关系.
后者比前者多1.
用代数式表示为：a-1,a,a+1
下者比上者多7.
新知探究
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
一起探究:
用代数式表示为：b-7,b,b+7
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
(3) 左上右下对角线上三个相邻数;
（4）左下右上对角线上三个相邻数.
左上者比右下者多8.
用代数式表示为：c-8,c,c+8
右上者比左下者多6.
用代数式表示为：d-6,d,d+6
新知探究
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
日历中相邻三数之间有什么相等关系？
同一直线上无论位置怎样的相邻三个数，
首尾两数之和= 2×中间数.
问题1
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
新知探究
a-1,a,a+1
(1)水平相邻的三个数
(2) 竖直相邻的三个数
b-7,b,b+7
(3) 斜下相邻的三个数
c-8,c,c+8
(4)斜上相邻的三个数
d-6,d,d+6
(a-1) +(a+1)=2a.
(b-7) +(b+7)=2b.
(c-8)+(c+8)=2c.
(d-6)+(d+6)=2d.
用代数式表示为：
新知探究
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
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日历中3×3方框内九数之和与方框中正中间的数有何等量关系？
2+3+4+9+10+11+16+17+18=90=9×10.
九数之和=9 × 中间数
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
新知探究
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
这个关系在其它方框中成立吗
8+9+10+15+16+17+22+23+24=144=9×16.
成立!
新知探究
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
探索规律的一般步骤：
猜 想 规 律
表 示 规 律
验 证 规 律
具 体 问 题
观察、比较
成立
得出结论
不成立
头 回
新 重
索 探
归 纳:
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
新知探究
图3-2-3是由点组成的n行n列的方阵，图3-2-4是由每条边上n个点围成的空心方阵．
1. 图3-2-3方阵的总点数为多少？
2. 图3-2-4方阵的总点数是什么？
观察与思考
新知探究
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
1. 图3-2-3方阵的总点数为多少？
2. 图3-2-4方阵的总点数是什么 ？
n行n列的实心方阵的点数为n×n=
由每条边上n个点围成的空心方阵的总点数等于n×n实心方阵的点数减去（n-2）×（n-2）实心方阵的点数的差为
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
新知探究
方法1 如图（1）每边n个点，4个边共4n个点，减去重复计算的4个点，方阵的总点数为4n-4.
新知探究
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
方法2：如图（2）将点阵分成不重叠的4组，每组有(n-1)个点，方阵的总点数为4（n-1）.
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
新知探究
方法3：如图（3）将点阵分成不重叠的4组，其中两组各有n个点，另两组各有(n-2）个点，方阵的总点数为2n＋2（n-2）．
新知探究
知识点2 用代数式表示数阵的变化规律
用小棒按下图的方式搭三角形.
三角形 个数 1 2 3 4 5 … n
小棒 根数 …
填写下表:
新知探究
知识点3 用代数式表示图形的变化规律
3
+2
+2
+2
+2
+2
1+2
三角形个数 火柴棒根数
1
2
3
4
5
… …
n
3=1+2
5=1+2+2
7=1+2+2+2
9=1+2+2+2+2
11=1+2+2+2+2+2
2n+1=1+2+2+2+2+ +2
新知探究
知识点3 用代数式表示图形的变化规律
用代数式表示图形的变化规律：
1.通过列表，将每个图形所研究的量利用表格的反映出来，然后根据数字变化获取规律；
2.直接观察出图形之间的位置变化或数量变化，获取规律.
知识点3 用代数式表示图形的变化规律
新知探究
1.一组按规律排列的数： ，请你推断第7个数是________；第n（n为正整数）个数是_____________.
随堂练习
2.观察下列等式:
32-12=4×2；
42-22=4×3；
52-32=4×4；
（1）第4个等式为 ；
（2）第n（n为正整数）个等式为__________________.
62-42=4×5
(n+2)2-n2=4(n+1)
随堂练习
知识点1 数式的变化规律
1. 按规律排列的一组数据： ， ，　， ， ， ，…，
其中　内应填的数是(　D　)
1
2
3
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5
6
7
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10
观察这组数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号
的平方加1，所以第 n 个数为 .所以第3个数为 ＝
，即　内应填的数是 .
【点拨】
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. [母题 教材P117习题B组T3]将从1开始的连续自然数按如
图所示的方式排列：
则2 026在第 行.
【点拨】
因为452＝2 025，所以2 026在第46行.
46　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 阅读下列内容：
＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ，
＝ － ，…
根据观察到的规律解决以下问题：
(1)第5个等式是 ；
(2)若 n 是正整数，则第 n 个等式是
；
＝ － 　
＝ －
　
1
2
3
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5
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9
10
(3)计算： ＋ ＋ ＋ ＋…＋ .
【解】 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－
＋ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－
＝ .
1
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3
4
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9
10
知识点2 图形的变化规律
4. [母题 教材P115观察与思考T2]用同样规格的灰白两种颜
色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地板，则第 n 个图形中
需要灰色瓷砖的块数为(　B　)
A. 4 n B. 3 n ＋1
C. 4 n ＋3 D. 3 n ＋2
B
1
2
3
4
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9
10
5. [2024·重庆巴南区月考]下列图形都是由同样大小的桃心按
一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个
图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第
⑦个图形中桃心的个数为(　C　)
A. 17 B. 20
C. 23 D. 26
1
2
3
4
5
6
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9
10
【点拨】
第①个图形一共有5＝3×1＋2个桃心；
第②个图形一共有8＝3×2＋2个桃心；
第③个图形一共有11＝3×3＋2个桃心；
…
所以第 个图形一共有(3 n ＋2)个桃心.
所以第⑦个图形一共有3×7＋2＝23个桃心.
故选C.
C
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
易错点 找图形规律时易忽视图形重叠部分而导致重复计算
6. 将黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成
若干个图案.
(1)第④个图案中有白色地砖 块；
(2)第 个图案中有白色地砖 块.
18　
(2＋4 n )　
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10
利用代数式表示数据中的排列规律
7. [母题 教材P106一起探究]将连续的奇数1，3，5，7，
9，…，排列成如图所示的数表.
(1)十字形框中的五个数之和与中间数25有什么关系？
【解】25＋23＋27＋15＋35＝125，
125÷25＝5，所以十字形框中的五个数
之和是中间数25的5倍.
1
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10
(2)设中间的数为 a ，如何用代数式表示十字形框中五个数
之和？
【解】 a ＋10＋ a ＋ a －10＋ a －2＋ a
＋2＝5 a .
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
(3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这
五个数还有上述规律吗？
【解】有.
1
2
3
4
5
6
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8
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10
(4)十字形框中的五个数之和能等于2 020吗？能等于2
025吗？
【解】2 020÷5＝404，2 025÷5＝405.
因为404是偶数，所以十字形框中的五个
数之和不能等于2 020，能等于2 025.
1
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3
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10
课堂小结
用代数式表示规律
表示图形的规律
表示数阵的规律
表示数的规律
谢谢观看！