3.4 代数式的值 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
3.4 代数式的值
第三章 代数式
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
3.4 代数式的值
—— 从表达式到具体数值的转化
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
我们已经学习了如何用代数式表示数量之间的关系，比如用\(3x + 5\)表示 “比\(x\)的 3 倍多 5 的数”。但在实际问题中，我们往往需要知道当\(x\)取某个具体数值时，这个代数式的结果是多少。例如，当\(x = 2\)时，\(3x + 5\)的值是多少？这个具体的结果就是代数式的值。本节课我们将学习代数式的值的概念、求法以及它在实际中的应用。
第三页：代数式的值的定义
定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
注意：
代数式的值是由代数式中字母的取值决定的，不同的字母取值可能会得到不同的代数式的值。
字母的取值必须使代数式有意义，同时也要符合实际问题的意义。例如，在代数式\(\frac{1}{x}\)中，\(x\)不能取 0；在表示人数的代数式中，字母的取值只能是正整数。
实例：对于代数式\(2x + 3\)，当\(x = 1\)时，代入可得\(2 1 + 3 = 5\)，则 5 就是当\(x = 1\)时代数式\(2x + 3\)的值；当\(x = 0\)时，其值为\(2 0 + 3 = 3\)。
第四页：求代数式的值的步骤
求代数式的值的一般步骤可分为 “代入” 和 “计算” 两步：
代入：把代数式中各个字母所取的具体数值代入代数式中，注意代入时要把相应的字母换成给定的数值，其他的运算符号、数字和原来的字母都保持不变。如果代数式中省略了乘号，代入数值后要添上乘号。
例如，对于代数式\(3a - b\)，当\(a = 2\)，\(b = 1\)时，代入后为\(3 2 - 1\)。
计算：按照代数式中规定的运算顺序进行计算，得出结果。运算顺序遵循先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。
例如，对于代数式\((x + y)^2\)，当\(x = 3\)，\(y = 2\)时，先算括号里的\(3 + 2 = 5\)，再算乘方\(5^2 = 25\)。
实例解析：求代数式\(2x^2 - 3x + 1\)当\(x = 2\)时的值。
步骤 1：代入，将\(x = 2\)代入代数式中，得到\(2 2^2 - 3 2 + 1\)。
步骤 2：计算，先算乘方\(2^2 = 4\)，再算乘法\(2 4 = 8\)，\(3 2 = 6\)，最后算加减\(8 - 6 + 1 = 3\)。所以当\(x = 2\)时，该代数式的值是 3。
第五页：直接代入法求代数式的值
直接代入法是最基本的求代数式值的方法，适用于代数式结构相对简单，且字母取值明确的情况。
例题 1：当\(a = 4\)，\(b = 5\)时，求下列代数式的值：
（1）\(3a + 2b\)；（2）\(\frac{a + b}{a - b}\)。
解：（1）将\(a = 4\)，\(b = 5\)代入\(3a + 2b\)得：\(3 4 + 2 5 = 12 + 10 = 22\)。
（2）将\(a = 4\)，\(b = 5\)代入\(\frac{a + b}{a - b}\)得：\(\frac{4 + 5}{4 - 5} = \frac{9}{-1} = -9\)。
例题 2：当\(x = -1\)时，求代数式\(x^3 - 2x + 3\)的值。
解：把\(x = -1\)代入代数式得：\((-1)^3 - 2 (-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\)。
第六页：整体代入法求代数式的值
当代数式中字母的取值未直接给出，或代数式结构复杂，直接代入计算繁琐时，可采用整体代入法，即将一个代数式看作一个整体，代入到另一个代数式中求值。
例题 3：已知\(x + y = 5\)，求代数式\(2(x + y) - 3\)的值。
解：把\(x + y = 5\)看作一个整体，代入代数式\(2(x + y) - 3\)得：\(2 5 - 3 = 10 - 3 = 7\)。
例题 4：若\(a^2 - 2a = 3\)，求代数式\(2a^2 - 4a + 5\)的值。
解：观察发现\(2a^2 - 4a = 2(a^2 - 2a)\)，已知\(a^2 - 2a = 3\)，将其整体代入得：\(2 3 + 5 = 6 + 5 = 11\)。
第七页：利用代数式的值解决实际问题
代数式的值在实际生活中有着广泛的应用，通过求代数式的值可以解决与数量关系相关的实际问题。
例题 5：某商店销售一种商品，其利润\(y\)（元）与销售数量\(x\)（件）的关系可以用代数式\(y = 20x - 50\)表示。当销售数量为 10 件时，利润是多少元？
解：将\(x = 10\)代入代数式\(y = 20x - 50\)得：\(y = 20 10 - 50 = 200 - 50 = 150\)（元）。
所以当销售数量为 10 件时，利润是 150 元。
例题 6：一个长方形的长为\(a\)米，宽为\(b\)米，其面积\(S\)（平方米）可以用代数式\(S = ab\)表示。当\(a = 6\)，\(b = 3\)时，求这个长方形的面积。
解：把\(a = 6\)，\(b = 3\)代入\(S = ab\)得：\(S = 6 3 = 18\)（平方米）。
所以这个长方形的面积是 18 平方米。
第八页：易错点分析
在求代数式的值时，容易出现以下错误，需要特别注意：
代入时漏写乘号：例如，将\(a = 2\)代入\(3a\)时，误写成\(32\)，而正确的应该是\(3 2\)。
运算顺序错误：例如，求代数式\(2x^2\)当\(x = 3\)时的值，误算为\((2 3)^2 = 36\)，而正确的应该是\(2 3^2 = 18\)。
符号错误：例如，当\(x = -2\)时，求\(-x^2\)的值，误算为\((-(-2))^2 = 4\)，而正确的应该是\(-(-2)^2 = -4\)。
字母取值使代数式无意义：例如，在代数式\(\frac{1}{x - 1}\)中，代入\(x = 1\)进行计算，导致分母为 0，代数式无意义。
例题 7：判断下列计算是否正确，若不正确请改正。
当\(x = -1\)时，求代数式\(x^2 - 2x + 1\)的值。
错误解法：\((-1)^2 - 2 (-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2\)。
正确解法：\((-1)^2 - 2 (-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4\)。（错误原因：\((-1)^2\)计算错误，应为 1 而不是 - 1）
第九页：课堂练习
填空题：
当\(x = 3\)时，代数式\(2x - 5\)的值是______。
若\(a = 2\)，\(b = -3\)，则代数式\(a^2 + b^2\)的值是______。
已知\(m - n = 3\)，则代数式\(3(m - n) + 4\)的值是______。
选择题：
当\(x = 2\)，\(y = -1\)时，代数式\(x - 2y\)的值是（ ）
A. 0 B. 4 C. -4 D. 2
若\(a^2 + a = 1\)，则代数式\(2a^2 + 2a + 2023\)的值是（ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
解答题：
（1）当\(a = -2\)，\(b = 5\)时，求代数式\(\frac{2a + b}{a - b}\)的值。
（2）已知\(x + 2y = 5\)，求代数式\(3x + 6y - 10\)的值。
（3）某工厂生产一批零件，每个零件的成本为\(c\)元，售价为\(d\)元，生产\(n\)个零件的利润\(P\)（元）可以表示为\(P = n(d - c)\)。当\(n = 100\)，\(d = 50\)，\(c = 30\)时，求利润\(P\)。
第十页：课堂小结
代数式的值的定义：用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算得出的结果。
求代数式的值的步骤：代入和计算，代入时要注意添上适当的运算符号，计算时要遵循运算顺序。
求代数式值的方法：直接代入法和整体代入法，整体代入法可简化计算过程。
利用代数式的值可以解决实际问题，体现了从代数表达式到具体数值的转化。
注意避免代入时漏写乘号、运算顺序错误、符号错误以及字母取值使代数式无意义等易错点。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 3.4 第 1、2、3、4 题。
填空题：
当\(x = -3\)时，代数式\(x^2 - 3x + 1\)的值是______。
若\(2x - y = 4\)，则代数式\(6x - 3y + 5\)的值是______。
解答题：
（1）当\(a = 3\)，\(b = -2\)时，求下列代数式的值：
①\(a^2 - 2ab + b^2\)；②\((a - b)^2\)。
观察这两个代数式的值，你发现了什么？
（2）已知\(x = 2\)是方程\(2x + m = 7\)的解，求代数式\(m^2 - 2m + 1\)的值。
（3）某出租车的收费标准为：起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米的部分每千米收费 2 元。设行驶的路程为\(x\)千米（\(x > 3\)），应付车费为\(y\)元，则\(y = 8 + 2(x - 3)\)。当\(x = 10\)时，应付车费多少元？
（4）若代数式\(3x^2 - 4x + 6\)的值为 9，求代数式\(x^2 - \frac{4}{3}x + 6\)的值。
思考：代数式的值与代数式中字母的取值有什么关系？当字母的取值变化时，代数式的值一定随之变化吗？举例说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.会求代数式的值,提高运算能力.
2.通过求代数式的值，体会代数式实际上是由计算程序反映的一种数量关系.
学习目标
课堂导入
如图所示，由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为4n-4,4(n-l),2n +2(n- 2).请你谈谈当字母n是一个具体数值的时候，能算出这个空心方阵总点数吗
...
...
...
...
方阵的总点数的一种表示形式为：
n个点
n个点
4n－4
问题：此时我们能知道这个代数式的值是多少吗？
新知探究
知识点 求代数式的值
（1）当n取4, 10, 13,25等值时，分别代入上面的代数式，计算出代数式4n-4相应的值．
n=4时，4×4-4=12;
n=10时，4×10-4=36;
n=13时，4×13-4=48;
n=25时，4×25-4=96.
新知探究
知识点 求代数式的值
思考：
（2）对于n的同一个值，同学们得到的结果都相同吗？
相同
（3）总结：从上面我们可以看到，对代数式中的字母代入不同的值，都可以求出代数式相应的值．一个代数式，可以看做一个计算程序．
新知探究
知识点 求代数式的值
数值转换机
输入x
输入x
输出
输出
×6
－3
×6
－3
问题 观察下面的过程，完成表格.
新知探究
知识点 求代数式的值
数值转换机
输入x
输入x
输出
输出
×6
－3
×6
－3
输入x -2 -1/2 0 0.26 1/3 5/2 4.5
机器1的输出结果
机器2的输出结果
-15
-6
-3
-1.44
-1
12
24
-30
-21
-18
-16.44
-16
-3
9
新知探究
知识点 求代数式的值
定 义：
像这样，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给出的运算计算出的结果，叫作代数式的值.这个过程叫作求代数式的值.
求代数式的值的概念
新知探究
知识点 求代数式的值
例1：求下列代数式的值时，代入过程正确的是（ ）
A.当 时，
B.当 时，
C.当 时，
D.当 时，
D
新知探究
知识点 求代数式的值
新知探究
知识点 求代数式的值
在代入数值时的注意点
(1)代入时，要“对号入座”，避免代错字母，其他符号不变；
(2)代数式中，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原；
(3)若字母的值是负数或分数，将字母的值代入代数式时，应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变．
例2 根据下面a，b的值，求代数式 的值.
(1) a=2，b=-6；
写出条件：当……时
抄写代数式
代入数值
计算
新知探究
知识点 求代数式的值
(2)a=-10，b=4
新知探究
知识点 求代数式的值
例2 根据下面a，b的值，求代数式 的值.
例3 如图，已知长方体的高为h，底面是边长为a的正方形．(1)请求出用a和h表示长方体的体积V和表面积S的代数式.
解： (1) V=a2h，S=2a2+4ah.
新知探究
知识点 求代数式的值
(2)当h=3，a=2时，分别求其体积V和表面积S．
(2)当h=3，a=2时，
V=a2h=22×3=12，
S=2a2+4ah=2×22+4×2×3=32.
拓展 整体代入法求代数式的值
例4 已知x+y=5，xy=2，求代数式(x+y)2-5xy的值.
解：因为x+y=5，xy=2，
所以(x+y)2-5xy
=52-5×2
=25-10
=15.
相同的代数式可以看作一个字母——整体代入
新知探究
知识点 求代数式的值
1.当x＝1时，代数式4－3x的值是(　 　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若 则x2-y3的值为(　　　)
A.1 B.-1 C. D.2
3.如果2a+3b=5，那么4a+6b-7= .
已知a+b=5,ab=6 ,则ab-（a+b)=___.
A
C
3
1
随堂练习
4.根据下面a，b的值，求代数式a2-2ab-b2 和(a-b)2 的值：
（1）a= ，b=3；
（1）当a= ，b=3时，
解：
随堂练习
4.根据下面a，b的值，求代数式a2-2ab-b2 和(a-b)2 的值：
（2）a=5，b=3.
（2）当a=5，b=3时，
a2-2ab-b2=52-2×5×3+32=25-30+9=4.
(a-b)2 =(5-3)2 =4.
随堂练习
思考：通过计算，你发现了什么规律？
5.某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张.
（1）一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？
（2）把x＝37，y＝15代入代数式，得
10x＋5y =10×37＋5×15 ＝445.
因此，他们应付445元门票费.
（1）该旅游团应付的门票费是（10x＋5y）元.
解：
随堂练习
知识点1 代数式的值
1. 当 x ＝ ， y ＝－5时，代数式2 x2－ y 的值为 　5 　.
【点拨】
当 x ＝ ， y ＝－5时，2 x2－ y ＝2× －(－5)＝
2× ＋5＝5 .
5 　
1
2
3
4
5
6
2. [2023·重庆]用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个
图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案
中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律
排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为(　B　)
A. 14 B. 20
C. 23 D. 26
B
1
2
3
4
5
6
知识点2 求代数式值的应用
3. [2024·重庆渝中区月考]如图所示的运算程序，能使输出的
结果为16的是(　C　)
A. x ＝5， y ＝－3 B. x ＝7， y ＝3
C. x ＝3， y ＝－1 D. x ＝4， y ＝1
C
1
2
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4
5
6
4. 如下表，观察两个代数式的值的变化情况.
m 1 2 3 4 5 6 7
6 m ＋8 14 20 26 32 38 44 50
2 m2＋1 3 9 19 33 51 73 99
1
2
3
4
5
6
(1)随着 m 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
【解】由表格知，随着 m 的值逐渐变大，两个代数
式的值都变大.
(2)估计哪个代数式的值先超过200.
【解】由表格可估计2 m2＋1的值先超过200.
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6
利用验证法探求两代数式间的关系
5. [新考法·规律探究法](1)根据表中所给 a ， b 的值，计算( a
－ b )2与 a2－2 ab ＋ b2的值，并将计算结果填入表中；
a 1 2 3 4
b －1 1 －2 6
( a － b )2 4 1 25 4
a2－2 ab ＋ b2 4 1 25 4
4
1
25
4
4
1
25
4
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2
3
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(2)结合(1)的计算结果，你能够得出的结论为(用含 a ， b
的式子表示)； ；
(3)请你利用你发现的结论进行简便运算：
7892－2×789×689＋6892.
【解】原式＝(789－689)2＝1002＝10 000.
( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2　
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利用求代数式值法解实际应用
6. [新考法·对比推理法]公安人员在破案时常常根据案发现场
作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用 a cm表示
脚印长度， b cm表示身高，那么关系近似为 b ＝7 a －
3.07.
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【解】当 a ＝24.5时，
b ＝7 a －3.07＝7×24.5－3.07＝168.43.
答：他的身高约为168.43 cm.
(1)某人脚印长度为24.5 cm，则他的身高约为多少？
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【解】当 a ＝26.3时，
b ＝7 a －3.07＝7×26.3－3.07＝181.03.
因为1.79 m更接近181.03 cm，所以身高为1.79 m的可
疑人员作案的可能性更大.
(2)在某次案件中，抓获了两个可疑人员，一个身高为
1.87 m，另一个身高为1.79 m，现场测量的脚印长度
为26.3 cm.请你帮助公安人员判断一下，哪个可疑人
员作案的可能性更大？
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课堂小结
代数式的值
求代数式的值
利用代数式的值解决实际问题
谢谢观看！