4.1.1单项式 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
4.1.1单项式
第四章 整式的加减
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
4.1.1 单项式
—— 认识代数式的基本构成单元
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在前面学习的代数式中，我们遇到过像\(3x\)、\(5a^2\)、\(-7xy\)、\(2\)这样的式子。它们有着共同的特点，都是由数与字母的乘积组成的，或者是单独的一个数。这些式子在代数式中有着重要的地位，我们把它们叫做单项式。本节课我们就来深入学习单项式的定义、系数和次数，理解单项式的本质特征。
第三页：单项式的定义
定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
实例：
数与字母的积：\(3x\)（3 与\(x\)的积）、\(-5a^2\)（-5 与\(a^2\)的积）、\(2xy\)（2 与\(x\)、\(y\)的积）等都是单项式。
单独的一个数：\(5\)、\(-3\)、\(0\)等都是单项式。
单独的一个字母：\(a\)、\(b\)、\(x\)、\(y\)等都是单项式。
注意：
单项式中只含有乘法（包括乘方）运算，不能含有加法、减法或除法运算（除非除数是一个数，且可转化为乘法形式，如\(\frac{x}{2}\)可看作\(\frac{1}{2}x\)，是单项式；但\(\frac{2}{x}\)不是单项式，因为它含有除法运算且除数是字母）。
例如，\(3x + 2\)不是单项式（含有加法），\(a - b\)不是单项式（含有减法），\(\frac{x + y}{3}\)不是单项式（可转化为\(\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y\)，含有加法）。
第四页：单项式的系数
定义：单相加，不能遗漏任何一个字母的指数（指数为 1 时通常省略不写，但计算时要算作 1）。
第六页：例题解析（一）—— 判断单项式及确定系数和次数
例题 1：判断下列各式是不是单项式，若是，请指出其系数和次数。
（1）\(3x^2\)；（2）\(-\frac{2}{3}xy\)；（3）\(a + b\)；（4）\(\frac{1}{x}\)；（5）\(-7\)；（6）\(m\)。
解：（1）是单项式。系数是 3，次数是 2（字母\(x\)的指数是 2）。
（2）是单项式。系数是\(-\frac{2}{3}\)，次数是 2（\(x\)的指数 1 加上\(y\)的指数 1）。
（3）不是单项式，因为含有加法运算。
（4）不是单项式，因为含有除法运算且除数是字母。
（5）是单项式。系数是 - 7，次数是 0（没有字母）。
（6）是单项式。系数是 1（省略不写），次数是 1（字母\(m\)的指数是 1）。
例题 2：指出单项式\(-4x^2y^3\)的系数和次数。
解：单项式\(-4x^2y^3\)的数字因数是 - 4，所以系数是 - 4。
字母\(x\)的指数是 2，字母\(y\)的指数是 3，所有字母指数的和是\(2 + 3 = 5\)，所以次数是 5。
第七页：例题解析（二）—— 根据条件写单项式
例题 3：写出一个系数是\(-2\)，次数是 3 的单项式。
解：要写出系数为\(-2\)，次数为 3 的单项式，只需保证数字因数是\(-2\)，且所有字母的指数和是 3 即可。
例如：\(-2x^3\)（\(x\)的指数是 3）、\(-2x^2y\)（\(x\)的指数 2 加上\(y\)的指数 1 等于 3）、\(-2xy^2\)（\(x\)的指数 1 加上\(y\)的指数 2 等于 3）、\(-2xyz\)（\(x\)、\(y\)、\(z\)的指数都是 1，和为 3）等。
例题 4：若单项式\(ax^2y^b\)的系数是 3，次数是 5，求\(a\)和\(b\)的值。
解：因为单项式\(ax^2y^b\)的系数是\(a\)，且已知系数是 3，所以\(a = 3\)。
该单项式的次数是所有字母指数的和，即\(2 + b\)，已知次数是 5，所以\(2 + b = 5\)，解得\(b = 3\)。
第八页：易错点分析
在学习单项式的系数和次数时，容易出现以下错误：
忽略系数的符号：例如，把单项式\(-5x\)的系数误认为是 5，而正确系数是 - 5。
混淆系数和次数的概念：例如，把单项式\(3x^2\)的次数误认为是 3（系数），而正确次数是 2。
遗漏字母的指数：例如，计算单项式\(4xy^2\)的次数时，只算\(y\)的指数 2，忽略\(x\)的指数 1，误得次数是 2，正确次数是\(1 + 2 = 3\)。
错误判断非单项式：例如，认为\(\frac{x}{3}\)不是单项式（实际上\(\frac{x}{3} = \frac{1}{3}x\)，是数与字母的积，属于单项式），或认为\(2x + 3\)是单项式（含有加法，不属于单项式）。
例题 5：判断下列说法是否正确，若不正确请改正。
（1）单项式\(5x^3\)的系数是 5，次数是 3。
（2）单项式\(-xy^2\)的系数是 1，次数是 2。
（3）单项式\(\frac{2}{3}a^2b\)不是单项式。
解：（1）正确。
（2）不正确。单项式\(-xy^2\)的系数是 - 1，次数是\(1 + 2 = 3\)。
（3）不正确。\(\frac{2}{3}a^2b\)是数\(\frac{2}{3}\)与字母\(a^2b\)的积，是单项式。
第九页：课堂练习
填空题：
单项式\(6a\)的系数是______，次数是______。
单项式\(-\frac{1}{2}x^2y\)的系数是______，次数是______。
单项式\(10\)的系数是______，次数是______。
若单项式\(mx^n\)的系数是 - 3，次数是 4，则\(m =\)，\(n =\)。
选择题：
下列各式中，是单项式的是（ ）
A. \(a + 1\) B. \(\frac{1}{x}\) C. \(-5xy^2\) D. \(x - y\)
单项式\(-3x^2y^3z\)的次数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
解答题：
（1）指出下列单项式的系数和次数：
①\(4x^4\)；②\(-\frac{3}{5}a^2b^3\)；③\(m\)；④\(-8\)。
（2）写出满足下列条件的单项式：
①系数是 5，次数是 2；②系数是 - 1，含有字母\(x\)、\(y\)，次数是 4。
（3）若单项式\(2x^a y^b\)与\(-3x^3 y^2\)的次数相同，求\(a + b\)的值。
第十页：课堂小结
单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式，或单独的一个数、一个字母。
单项式的系数：单项式中的数字因数，包括前面的符号，1 或 - 1 时 “1” 通常省略。
单项式的次数：所有字母的指数的和，与数字因数无关，单独的一个数的次数是 0。
注意区分单项式与非单项式，避免在确定系数和次数时出现符号错误、遗漏指数等问题。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 4.1 第 1、2 题。
填空题：
单项式\(-7x^2y\)的系数是______，次数是______。
若一个单项式的系数是\(\frac{2}{3}\)，次数是 5，且含有字母\(m\)、\(n\)，则这个单项式可以是______（写出一个即可）。
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）：
单项式一定是代数式，代数式一定是单项式。（ ）
单项式\(x\)的系数和次数都是 1。（ ）
单项式\(-\frac{1}{3}x^2\)的系数是\(-\frac{1}{3}\)，次数是 2。（ ）
解答题：
（1）指出单项式\(5a^3b^2c\)的系数和次数。
（2）写出 3 个不同的单项式，使它们的系数都是 - 2，次数都是 3。
（3）已知单项式\(mx^2y^n\)的系数是 2，次数是 5，求\(m + n\)的值。
思考：单项式与我们之前学过的代数式有什么关系？请举例说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解单项式的概念，能正确识别单项式，并能准确说出单项式的系数、次数.
2.分析具体问题中的数量关系并能用单项式表示,逐步建立数学符号意识，提升抽象能力.
学习目标
据了解“天宫一号”在太空中绕地球飞行的速度约为7.5千米每秒.绕地球一圈只需要一个小时.
“天宫一号”飞行10秒能飞_____千米；飞行1分钟能飞______千米；飞行t秒能飞______千米.
75
450
7.5t
课堂导入
想一想：
用含有字母的式子填空，并观察特点：
1.小亮家的电冰箱平均每天耗电量为m千瓦时，那么n天耗电量为_______千瓦时.
2.某物品包装箱的形状是长方体，如果包装箱的宽和高都是a ，长是b ，那么它的体积是_________.
3.一个两位数，个数数字是x，十位数字是y，这个两位数可表示为_________，如果个位数字与十位数字交换位置，所得的两位数可表示为____________.
mn
10y+x
10x+y
新知探究
知识点1 单项式的概念
4.为了保护环境，促进生态平衡，某地计划逐 年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林 a公顷，第二年比第一年增加了10%，那么第二年比第一年的植树造林面积增加了 公顷.
5.如图，在边长为a的正方形内，挖去一个底为b，高为 的三角形，则剩下部分的面积为___________.
10%a
新知探究
知识点1 单项式的概念
观察思考：
观察下面得到的代数式，并尝试按照运算分类
新知探究
知识点1 单项式的概念
观察列出的式子有什么共同特点
a2b
mn
10%x
字母×
字母
10%×x
m×n
数×
字母
字母
上面各式的运算中数字和字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示数字与字母、字母与字母的积).
这样的代数式叫作单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
例如:像 2024, x , 等是单项式.
×
字母
a×a×b
新知探究
知识点1 单项式的概念
例1 判断下列式子是不是单项式，并说明理由.
③
④
①
②
abc
y＋x
－5
⑤
⑥
⑦
⑧
－xy
m
新知探究
知识点1 单项式的概念
思考：单项式中的数字和字母各有何意义呢
a
2
6
系数
次数
__
1
5
=-
ab
系数
二次
次数
所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.
新知探究
知识点2 单项式的系数和次数
例2 用代数式表示，是单项式的指出系数和次数，不是的说明理由.
1.某商店8月的营业额为m万元，9月的营业额比8月增加了25%，那么9月的营业额是多少？
2.某汽车原价为a元/辆，现按九折出售，如果一周售出b辆，那么这周的销售额是多少元？
3.一长方体零件，它的底面边长分别是a cm和b cm，高h cm,该零件的体积是多少立方厘米？
解：（1+25%）m，系数是（ 1+25% ），次数是1.
解： 0.9ab，系数是0.9，次数是2.
解： abh，系数是1，次数是3.
二次单项式
三次单项式
新知探究
知识点2 单项式的系数和次数
2.圆周率π是常数.
3.单项式的系数应包括它前面的性质符号.
1.当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写.
系数问题
4.当单项式的系数不容易看出时，一定要先将单项式写成数×字母的形式.
次数问题
1.切记所有字母的指数的和.
2.当字母指数为1时，不要忽略.
=
新知探究
知识点2 单项式的系数和次数
例3 你能写出一个含有x,y,而且系数是-3,次数是4的单项式吗？
-3xy3
-3x2y2
-3x3y
x，y的指数之和为4即可
新知探究
知识点2 单项式的系数和次数
例4 若 　　 是关于 x，y 的一个四次单项式，m，n应满足的条件？　
单项式次数是2+n
所以m≠2，n=2.
2+n=4，
m-2 ≠ 0，
为什么？
解：m，n要满足
新知探究
知识点2 单项式的系数和次数
1. 用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
（1）每包书有12册,n包书有_____册；
（2）底边长为a,高为h的三角形的面积是 _____；
（3）一个长方体的长和宽都是a,高为h,它的体积是_____；
（4）一台电视机原价为a元,现按原价的九折出售,这台电
视机现在的售价为____；
（5）一个长方形的长为0.9,宽为a,面积是 ____.
12n
0.9a
0.9a
同一个式子可以表示不同的含义
12，一次
，二次
1，三次
0.9，一次
0.9，一次
随堂练习
2.判断下列各说法是否正确，将错误的改正过来.
（1）单项式 的系数是0, 次数是2. (　　　)
（2）单项式 的系数是2, 次数是10 . (　　　)
（3）单项式 的系数是 ,次数是n+1 . (　　　)
×
×
√
3.若axyb-1关于x,y的单项式，系数为6，次数是3，则a=( ),b=( ).
6
2
随堂练习
4.写出下列单项式的系数和次数.
单项式
系数
次数
解：
-15
3
1
2
4
-1
1
2
随堂练习
知识点1 单项式的定义
1. 下列式子中，单项式的个数是(　C　)
0， xy2，－ ， ，－ x ， ( a ＋1)， ，8.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 下列说法不正确的是(　D　)
A. 2 a 是2个数 a 的和 B. 2 a 是2和数 a 的积
C. 2 a 是单项式 D. 2 a 是偶数
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 按一定规律排列的单项式： x ，3 x2，5 x3，7 x4，9
x5，…，第 n 个单项式是(　A　)
A. (2 n －1) xn B. (2 n ＋1) xn
C. ( n －1) xn D. ( n ＋1) xn
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
知识点2 单项式的系数与次数
4. [母题 教材P133练习T2]填表：
单项式 0.2 n －24 x2 y －5
系数 0.2 －24 －5
次数 1 6 2 3 0
0.2
－
π
－24
－5
1
6
2
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. [2023·江西]单项式－5 ab 的系数为 .
－5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 下列式子中，是二次单项式的是(　B　)
A. x2＋1 B. xy
C. x2 y D. －3 x
【点拨】
x2＋1不是单项式，故A不符合题意； xy 是二次单项
式，故B符合题意； x2 y 是三次单项式，故C不符合题
意；－3 x 是一次单项式，故D不符合题意.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 下列说法中，正确的是(　B　)
A. a 的系数为0
C. ab2 c 的次数是2 D. －5是一次单项式
【点拨】
a 的系数为1，故A不符合题意； π xy3的系数是 π，
故B符合题意； ab2 c 的次数是4，故C不符合题意；－5是
零次单项式，故D不符合题意.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
易错点 因对单项式的系数和次数理解不透而出错
8. 下列说法中正确的是(　B　)
A. 2不是单项式
B. － a2 b 的系数是－1，次数是3
C. 6π x3的系数是6
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
利用单项式的相关概念求单项式
9. (1)写出所有系数是2，且只含字母 x 和 y 的五次单项式；
【解】由题意可得2 xy4，2 x2 y3，2 x3 y2，2 x4 y .
(2)写出系数是－5，次数是6，只含 a ， b 两个字母，且 a
的指数是2的单项式；
【解】由题意可得－5 a2 b4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(3)写出系数是－ ，次数是3，只含 x ， y 两个字母，且 y
的指数是2的单项式.
【解】由题意可得－ xy2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
利用特例探求单项式的排列规律
10. 按一定规律排列的单项式：5 a ，8 a2，11 a3，14 a4，….
则按此规律排列的第 n 个单项式为 .(用含
n 的代数式表示)
(3 n ＋2) an 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. [新考法·猜想探求法]观察下列单项式：－ x ，3 x2，－5
x3，7 x4，…，－37 x19，39 x20，….回答问题：
(1)这组单项式的系数的符号规律是什么？
【解】这组单项式的系数的符号规律是－，＋，
－，＋，….
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
【解】这组单项式的次数的规律是1，2，3，4，5，….
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第 n 个单项式是
什么吗？
【解】第 n 个单项式是(－1) n (2 n －1) xn .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(4)请你根据猜想，写出第2 024，2 025个单项式.
【解】第2 024个单项式是4 047 x2 024，
第2 025个单项式是－4 049 x2 025.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
单项式及其有关概念
有关概念
定义
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数
单项式中所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数.
由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式.
单独一个数或字母也是单项式.
课堂小结
谢谢观看！