4.1.2多项式 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
4.1.2多项式
第四章 整式的加减
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
4.1.2 多项式
—— 由单项式组成的代数式
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在前面我们学习了单项式，知道像\(3x\)、\(-5a^2\)、\(2xy\)这样的式子是单项式。但在实际问题中，我们还会遇到更复杂的代数式，比如 “一个数\(x\)的 3 倍与 5 的和” 可以表示为\(3x + 5\)，“边长为\(a\)的正方形的面积与边长为\(b\)的正方形的面积的差” 可以表示为\(a^2 - b^2\)。这些式子是由几个单项式相加或相减组成的，它们就是我们今天要学习的多项式。本节课我们将学习多项式的定义、项、次数等知识，理解多项式的构成和特征。
第三页：多项式的定义
定义：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
实例：整式中只含有乘法（包括乘方）和加减法运算，不含有除法运算（除非除数是一个数）。
像\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{x}\)这样含有除法运算且除数是字母的式子不是整式。
第七页：例题解析（一）—— 判断多项式及确定项、次数
例题 1：判断下列各式是不是多项式，若是，请指出它的项、常数项和次数，并说明它是几次几项式。
（1）\(3x^2 - 2x + 1\)；（2）\(5a + b^2\)；（3）\(\frac{1}{x} + 2x\)；（4）\(4\)。
解：（1）是多项式。项是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(1\)；常数项是\(1\)；次数最高的项是\(3x^2\)，次数是 2；所以它是二次三项式。
（2）是多项式。项是\(5a\)、\(b^2\)；没有常数项（或常数项为 0）；次数最高的项是\(b^2\)，次数是 2；所以它是二次二项式。
（3）不是多项式，因为含有除法运算且除数是字母，不是整式。
（4）不是多项式，它是一个单项式（单独的一个数是单项式）。
例题 2：指出多项式\(-x^3y + 3x^2 - 7\)的项、次数，并说明它是几次几项式。
解：该多项式的项是\(-x^3y\)、\(3x^2\)、\(-7\)。
项\(-x^3y\)的次数是\(3 + 1 = 4\)，项\(3x^2\)的次数是 2，项\(-7\)的次数是 0，次数最高的项的次数是 4。
所以它是四次三项式。
第八页：例题解析（二）—— 根据条件写多项式
例题 3：写出一个二次三项式，使它的项分别为\(x^2\)、\(-2x\)、\(3\)。
解：二次三项式是指次数为 2，含有三项的多项式。根据要求，这个多项式可以是\(x^2 - 2x + 3\)（注意项的符号）。
例题 4：若多项式\(ax^2 + bx + c\)是关于\(x\)的二次三项式，求\(a\)、\(b\)、\(c\)满足的条件。
解：因为该多项式是关于\(x\)的二次三项式，所以：
次数最高的项的次数是 2，即\(ax^2\)的次数是 2，所以\(a \neq 0\)（若\(a = 0\)，则最高次项的次数不是 2）。
含有三项，即\(ax^2\)、\(bx\)、\(c\)都不能为 0（若其中一项为 0，则项数会减少），所以\(b \neq 0\)，\(c \neq 0\)。
第九页：易错点分析
在学习多项式时，容易出现以下错误：
忽略项的符号：例如，认为多项式\(2x^2 - 3x + 1\)的项是\(2x^2\)、\(3x\)、\(1\)，而正确的项是\(2x^2\)、\(-3x\)、\(1\)。
混淆多项式的次数和项的次数：例如，认为多项式\(x^3 + 2x^2y\)的次数是\(3 + 2 + 1 = 6\)，而正确的次数是项\(2x^2y\)的次数\(2 + 1 = 3\)（或项\(x^3\)的次数 3）。
错误判断多项式的项数：例如，认为多项式\(3x^2 + 5\)是三项式，而实际上它含有两项，是二项式（常数项是一项）。
将单项式误认为多项式：例如，认为\(5x\)是多项式，而实际上它是单项式。
例题 5：判断下列说法是否正确，若不正确请改正。
（1）多项式\(x^2 + 2x - 1\)的项是\(x^2\)、\(2x\)、\(1\)，次数是 2，是二次三项式。
（2）多项式\(3x^3y + 2xy\)的次数是\(3 + 3 + 1 + 1 = 8\)。
（3）单项式和多项式都是整式，整式都是多项式。
解：（1）不正确。多项式\(x^2 + 2x - 1\)的项是\(x^2\)、\(2x\)、\(-1\)，次数是 2，是二次三项式。
（2）不正确。多项式\(3x^3y + 2xy\)的次数是项\(3x^3y\)的次数\(3 + 1 = 4\)。
（3）不正确。单项式和多项式都是整式，但整式不一定都是多项式，单项式也是整式。
第十页：课堂练习
填空题：
多项式\(2x - 3\)的项是______，常数项是______，次数是______，是______次______项式。
多项式\(x^2y + 3xy - 5\)的项是______，常数项是______，次数是______，是______次______项式。
若多项式\(ax^3 + bx + c\)是关于\(x\)的三次三项式，则\(a\)，\(b\)，\(c\)______（填 “≠0” 或 “=0”）。
选择题：
下列各式中，是多项式的是（ ）
A. \(3x\) B. \(\frac{1}{x} + 1\) C. \(x^2 + 2x - 3\) D. \(5\)
多项式\(2x^3 - x^2y^2 + y^3\)的次数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
解答题：
（1）指出下列多项式的项、常数项、次数，并说明它们是几次几项式：
①\(4x^2 - 3x + 7\)；②\(-x^3 + 2x^2y - xy^2 + 1\)。
（2）写出一个三次四项式，使它含有项\(x^3\)、\(-2xy\)、\(5\)。
（3）若多项式\(x^{|m|} + (m - 2)x + 8\)是关于\(x\)的二次三项式，求\(m\)的值。
第十一页：课堂小结
多项式的定义：几个单项式的和组成的代数式。
多项式的项：多项式中的每个单项式，包括它前面的符号；不含字母的项是常数项。
多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数；含有几项就是几项式。
整式的概念：单项式和多项式统称为整式。
注意区分多项式的项与项的符号、多项式的次数与项的次数，避免将单项式误认为多项式。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 4.1 第 3、4、5 题。
填空题：
多项式\(-3x^2 + 5x - 1\)的项是______，次数是______，是______次______项式。
若一个多项式是五次三项式，则它的最高次项的次数是______，含有______项。
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）：
多项式都是整式，整式都是多项式。（ ）
多项式\(x^2 - 1\)的次数是 2，是二次二项式。（ ）
多项式\(3x + 2y\)的项是\(3x\)和\(2y\)，次数是 1，是一次二项式。（ ）
解答题：
（1）指出多项式\(5a^4b - 3a^3b^2 + 2a^2b^3 - ab^4 + 6\)的项、次数，并说明它是几次几项式。
（2）写出一个含有字母\(x\)、\(y\)的四次三项式。
（3）已知多项式\((m - 1)x^3 + 2x^2 + (n + 1)x + 1\)是关于\(x\)的二次二项式，求\(m\)、\(n\)的值。
思考：多项式与单项式有什么区别和联系？请举例说明。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.理解整式的概念,能说出单项式、多项式、整式之间的联系.
2.能正确识别多项式、整式，并能准确说出多项式的次数和项.
3.会分析具体问题中的数量关系并能用整式表示, 建立数学符号意识，提升抽象能力.
学习目标
复习
问题1：什么叫单项式？
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
问题2：怎么确定一个单项式的系数和次数？
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.
的系数为______，次数是_______,可以叫做____次单项式.



课堂导入
1.温度由t℃下降5℃后是 ℃.
2.买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元.
（3x+5y+2z）
（t-5）
列式表示下列数量
3.如图三角尺的面积为 .
4.如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是 ㎡.
（x2+2x+18）
课堂导入
3x+5y+2z
x2+2x+18
t-5
它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
t
-5
+
3x
5y
2z
+
+
+
x2
2x
18
+
+
像这些由单项式相加组成的代数式叫作多项式..
新知探究
知识点1 多项式的相关概念
4.多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式.
多项式： 3x3 +5x +8
常数项
次数
5.多项式的次数是几，这个多项式就叫作几次式.
三次三项式
1.多项式中的每一个单项式都叫作这个多项式的项.
2.不含字母的项叫作常数项..
3.多项式里，最高次项的次数，叫作这个多项式的次数..
项
新知探究
知识点1 多项式的相关概念
(1)多项式的各项应包括它前面的符号；
(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.
(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；
新知探究
知识点1 多项式的相关概念
解：（1）（ 150-m ），它的项是150和-m，次数是1.
（3）100c+10b+a，它的项是100c，10b和a，次数是1.
例1 写出多项式，并指出它们的项和次数.
（1）目前，在地球上生存的动物约有150万种.其中，无脊椎动物约有m万种，脊椎动物约有 万种.
（2）如图，城楼门口的形状，下部是长方形，上部是半圆形.它的面积是 .
（3）一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可表示为_________.
（2） 它的项是2ra和 ，次数是2.
新知探究
知识点1 多项式的相关概念
思考： 观察下面的式子，试着将它们分类：
3x+5y+2z，0.8p，v＋2.5，a2h，-n，mn，
多项式：
单项式：
0.8p
a2h
-n
mn
3x+5y+2z
v＋2.5
单项式和多项式统称为整式..
新知探究
知识点2 整式
解：（1）这个组合体的体积是a3+a2b.
（2）这个代数式是多项式，它是三次二项式.
例2 如图所示是一个正方体和一个长方体组成的组合体.
（1）请用代数式表示这个组合体的体积.
（2）这个代数式是多项式还是单项式？如果是多项式，请你说出它是几次几项式.
新知探究
知识点2 整式
1.多项式-5x2-2x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A.-5，-2，0 B.5，-2，0
C.-5，-2，1 D.-5，2，1
A
随堂练习
2.下列说法正确的是( )
A.多项式5x-23是三次二项式
B.多项式2x+y是二次二项式
C.多项式ax-by-3是二次三项式
D.多项式x2y+x2-1是二次三项式
C
随堂练习
3.有a名男生和b名女生在社区做义工.为建花坛，男生每人搬了40块砖，女生每人搬了30块砖，他们一共搬了 块砖.
(40a+30b)
随堂练习
多项式
项
次数
4.下列整式中哪些是多项式？是多项式的指出其项和次数：
解:
1
4
2
随堂练习
5.已知－5xm＋104xm+1－4xmy2是关于x，y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.
解：由题意得m＋2=6，所以m=4.
【分析】该多项式最高次项为－4xmy2，其次数为m＋2，故m＋2=6.
所以该多项式为－5x4＋104x5－4x4y2.
随堂练习
1. [新考法·定义识别法]在 x2－2，－1，－2 x －1，π， ，
x2＋ ＋1，4 x 中，多项式有(　C　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【点拨】
多项式有 x2－2，－2 x －1， .对于 x2＋ ＋1，由
于 不是单项式，所以 x2＋ ＋1不是多项式.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点1 多项式的定义
2. [新考法·规律探究法]一组按规律排列的代数式： a ＋2
b ， a2－2 b3， a3＋2 b5， a4－2 b7，…，则第 n 个式子
是 .
【点拨】
根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中 a 的次
数是式子的序数；第二项的符号是＋，－，＋，－，…；
第二项中 b 的次数是序数的2倍减1.
an ＋(－1) n＋1·2 b2 n－1　
1
2
3
4
5
6
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8
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16
知识点2 多项式的项与次数
3. 若多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y 的三次
多项式，则 mn ＝ .
【点拨】
因为多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y
的三次多项式，
所以 n －2＝0，1＋｜ m － n ｜＝3.
所以 n ＝2，｜ m － n ｜＝2.
所以 m － n ＝2或 n － m ＝2.
所以 m ＝4或 m ＝0.所以 mn ＝0或8.
0或8　
1
2
3
4
5
6
7
8
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4. 多项式－ x2－ x －1的各项分别是(　B　)
【点拨】
多项式的每一项都包括它前面的符号，故本题多项式
的各项分别是－ x2，－ x ，－1.
B
1
2
3
4
5
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16
5. [2024·成都青羊区模拟]多项式1＋2 xy －3 xy2的次数及最
高次项的系数分别是(　A　)
A. 3，－3 B. 2，－3
C. 5，－3 D. 2，3
A
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3
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5
6
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16
知识点3 整式及整式的值
6. 把下列各式分别填在相应的大括号里.
4， ， ＋ b ，π R2－π r2， x2，2 x －3，－ x2＋ yz ，
a2＋ ＋2.
单项式： ；
1
2
3
4
5
6
7
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15
16
多项式： ；
整式： .
1
2
3
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5
6
7
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15
16
7. 下列说法错误的是(　C　)
A. m 是单项式也是整式
C. 整式一定是单项式
D. 整式不一定是多项式
【点拨】
单项式是整式，多项式也是整式.整式中含加减运算
的是多项式，不含加减运算的是单项式.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
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16
8. [新考法·2023·南通·整体求值法]若 a2－4 a －12＝0，则2 a2
－8 a －8的值为(　D　)
A. 24 B. 20
C. 18 D. 16
D
1
2
3
4
5
6
7
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16
9. [2023·重庆]用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，
其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木
棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木
棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数
是(　B　)
A. 39 B. 44
C. 49 D. 54
1
2
3
4
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10. [2024·周口期末]已知关于 x 的多项式( a ＋ b ) x5＋( a －3)
x3－2( b ＋2) x2＋2 ax ＋1不含 x3和 x2项，则当 x ＝－1
时，这个多项式的值为 .
【点拨】
因为多项式不含 x3和 x2项，所以 a －3＝0， b ＋2＝
0.所以 a ＝3， b ＝－2.所以原多项式为 x5＋6 x ＋1.当 x
＝－1时，原式＝(－1)5＋6×(－1)＋1＝－6.
－6　
1
2
3
4
5
6
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15
16
多项式
及整式
多项式
由单项式相加组成的代数式叫作多项式
多项式中的每一个单项式都叫作这个多项式的项
单项式+多项式
整式
课堂小结
多项式里，最高次项的次数，叫作这个多项式的次数
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