4.2.1 合并同类项 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
4.2.1合并同类项
第四章 整式的加减
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
4.2.1 合并同类项
—— 简化多项式的重要方法
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在多项式中，我们常常会遇到一些结构相似的项。例如，在多项式\(3x^2 + 2x - 5x^2 + 7x\)中，\(3x^2\)与\(-5x^2\)都含有字母\(x\)，且\(x\)的指数都是 2；\(2x\)与\(7x\)都含有字母\(x\)，且\(x\)的指数都是 1。这些具有相同特征的项就是同类项。把同类项合并成一项，能使多项式变得更简洁，这种方法就是合并同类项。本节课我们将学习同类项的定义、合并同类项的法则和具体步骤。
第三页：同类项的定义
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
特征：
所含字母相同：例如，\(3x\)与\(5x\)都含有字母\(x\)，是同类项；而\(3x\)与\(5y\)所含字母不同，不是同类项。
相同字母的指数相同：例如，\(2x^2y\)与\(-4x^2y\)中，\(x\)的指数都是 2，\(y\)的指数都是 1，是同类项；而\(2x^2y\)与\(2xy^2\)中，\(x\)的指数分别是 2 和 1，\(y\)的指数分别是 1 和 2，不是同类项。
注意：
同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。例如，\(5ab\)与\(-3ba\)是同类项（所含字母相同，相同字母的指数相同，只是字母顺序不同）。
几个常数项也是同类项。例如，\(5\)与\(-7\)是同类项。
实例：
是同类项的有：\(3a\)与\(-2a\)、\(x^2y^3\)与\(5x^2y^3\)、\(-6\)与\(8\)。
不是同类项的有：\(2x\)与\(3x^2\)（相同字母的指数不同）、\(4ab\)与\(4ac\)（所含字母不同）。
第四页：合并同类项的定义和法则
合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
实例解析：
合并同类项\(3x + 5x\)：根据法则，系数相加\(3 + 5 = 8\)，字母和指数不变，所以\(3x + 5x = 8x\)。
合并同类项\(-2x^2y + 6x^2y\)：系数相加\(-2 + 6 = 4\)，字母和指数不变，所以\(-2x^2y + 6x^2y = 4x^2y\)。
合并同类项\(7 - 3\)：常数项是同类项，系数相加\(7 - 3 = 4\)，所以\(7 - 3 = 4\)。
注意：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母和字母的指数与合并前保持一致。
第五页：合并同类项的步骤
合并同类项一般遵循以下步骤：
找出同类项：在多项式中，用不同的标记（如波浪线、下划线等）标出同类项，避免遗漏或重复。
移动同类项：根据加法交换律和结合律，把同类项移到一起（通常把同类项放在一起，中间用 “+” 连接）。移动时要注意带着项的符号一起移动。
合并同类项：按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变。
整理结果：合并后，按某一字母的指数从高到低（或从低到高）的顺序排列多项式（通常按降幂排列）。
实例解析：合并多项式\(3x^2 + 2x - 5x^2 + 7x - 1\)的同类项。
步骤 1：找出同类项。\(3x^2\)与\(-5x^2\)是同类项，\(2x\)与\(7x\)是同类项，\(-1\)是常数项（无同类项）。
步骤 2：移动同类项。\(3x^2 - 5x^2 + 2x + 7x - 1\)。
步骤 3：合并同类项。\((3 - 5)x^2 + (2 + 7)x - 1 = -2x^2 + 9x - 1\)。
步骤 4：整理结果。已经是按\(x\)的降幂排列，结果为\(-2x^2 + 9x - 1\)。
第六页：例题解析（一）—— 基本类型
例题 1：合并下列多项式中的同类项。
（1）\(5a + 4b - 3a - 7b\)；（2）\(4x^2 - 8x + 5 - 3x^2 + 6x - 2\)。
解：（1）找出同类项：\(5a\)与\(-3a\)是同类项，\(4b\)与\(-7b\)是同类项。
移动并合并：\((5a - 3a) + (4b - 7b) = (5 - 3)a + (4 - 7)b = 2a - 3b\)。
（2）找出同类项：\(4x^2\)与\(-3x^2\)是同类项，\(-8x\)与\(6x\)是同类项，\(5\)与\(-2\)是同类项。
移动并合并：\((4x^2 - 3x^2) + (-8x + 6x) + (5 - 2) = (4 - 3)x^2 + (-8 + 6)x + 3 = x^2 - 2x + 3\)。
例题 2：合并多项式\(3x^2y - 2xy^2 + 5x^2y - xy + 4xy^2\)的同类项。
解：找出同类项：\(3x^2y\)与\(5x^2y\)是同类项，\(-2xy^2\)与\(4xy^2\)是同类项，\(-xy\)无同类项。
移动并合并：\((3x^2y + 5x^2y) + (-2xy^2 + 4xy^2) - xy = (3 + 5)x^2y + (-2 + 4)xy^2 - xy = 8x^2y + 2xy^2 - xy\)。
第七页：例题解析（二）—— 含括号的同类项合并
例题 3：合并多项式\(2(x + y) - 3(x + y) + 5(x + y)\)的同类项。
解：把\((x + y)\)看作一个整体，它是同类项。
合并：\((2 - 3 + 5)(x + y) = 4(x + y) = 4x + 4y\)。
例题 4：合并多项式\(3a^2 - [2a - (5a^2 - 1) + 2a^2]\)中的同类项（先去括号，再合并）。
解：先去括号（去括号法则：括号前是 “+”，去括号后各项符号不变；括号前是 “-”，去括号后各项符号改变）：\(3a^2 - [2a - 5a^2 + 1 + 2a^2] = 3a^2 - [2a - 3a^2 + 1] = 3a^2 - 2a + 3a^2 - 1\)。
再合并同类项：\((3a^2 + 3a^2) - 2a - 1 = 6a^2 - 2a - 1\)。
第八页：易错点分析
在合并同类项时，容易出现以下错误：
误判同类项：例如，认为\(3x^2y\)与\(5xy^2\)是同类项（相同字母的指数不同，不是同类项），从而错误合并。
合并时改变字母或指数：例如，合并\(2x^2 + 3x^2\)时，错误地写成\(5x^4\)（字母指数应不变，正确结果是\(5x^2\)）。
遗漏项：例如，合并多项式\(3x + 2y - 3x\)时，只合并\(3x - 3x = 0\)，而遗漏\(2y\)，错误结果为\(0\)（正确结果是\(2y\)）。
移动项时忘记带符号：例如，合并\(5x - 3 + 2x\)时，错误地写成\(5x + 2x + 3 = 7x + 3\)（应带着 “-” 号移动\(-3\)，正确结果是\(7x - 3\)）。
例题 5：判断下列合并同类项是否正确，若不正确请改正。
（1）\(2x + 3x = 5x^2\)；（2）\(3a + 2b = 5ab\)；（3）\(7x^2 - 3x^2 = 4\)；（4）\(5xy - 5yx = 0\)。
解：（1）不正确。合并同类项时字母和指数不变，应改为\(2x + 3x = 5x\)。
（2）不正确。\(3a\)与\(2b\)不是同类项，不能合并。
（3）不正确。系数相加后字母和指数不变，应改为\(7x^2 - 3x^2 = 4x^2\)。
（4）正确。\(5xy\)与\(-5yx\)是同类项，合并后系数为\(5 - 5 = 0\)，结果为\(0\)。
第九页：课堂练习
填空题：
下列各组中的两项是不是同类项？是的打 “√”，不是的打 “×”。
①\(2x^2y\)与\(-3x^2y\)（ ）；②\(3a\)与\(3b\)（ ）；③\(-5\)与\(8\)（ ）；④\(4x^2\)与\(4x\)（ ）。
合并同类项：\(3x - 5x = \)；\(-2ab + 5ab = \)；\(x^2 + x^2 = \)______。
多项式\(3x^2 - 2x + 1 - x^2 + 5x - 7\)合并同类项后为______。
选择题：
下列合并同类项正确的是（ ）
A. \(3x + 2x = 5x^2\) B. \(5a^2 - a^2 = 5\) C. \(3x^2 + 4x^3 = 7x^5\) D. \(7xy - 7yx = 0\)
多项式\(2x^2 - xy + 3y^2\)与\(-x^2 + xy + 2y^2\)合并同类项后，结果为（ ）
A. \(x^2 + 5y^2\) B. \(x^2 + 2xy + 5y^2\) C. \(x^2 + 5y^2\) D. \(3x^2 + 2xy + 5y^2\)
解答题：
（1）合并下列多项式中的同类项：
①\(4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 3b^2\)；②\(3x^2 - 1 - 2x - 5 + 3x - x^2\)。
（2）先去括号，再合并同类项：\(3(2x^2 - y^2) - 2(3y^2 - 2x^2)\)。
（3）已知多项式\(ax^2 + bx + c\)与多项式\(2x^2 - 3x + 5\)合并同类项后不含\(x^2\)项和\(x\)项，且常数项为\(10\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
第十页：课堂小结
同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，常数项也是同类项。
合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
合并同类项的步骤：找出同类项、移动同类项、合并同类项、整理结果。
易错点：误判同类项、合并时改变字母或指数、遗漏项、移动项时忘记带符号等，需特别注意。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 4.2 第 1、2、3 题。
填空题：
合并同类项：\(5m^2n - 3mn^2 + 2m^2n - mn^2 = \)______。
多项式\(3(x - y) + 5(x - y) - 2(x - y)\)合并同类项后为______。
解答题：
（1）合并下列多项式中的同类项：
①\(2x^3 + 3x^3 - 4x^3\)；②\(6a^2b + 5ab^2 - 4ab^2 - 7a^2b\)。
（2）先去括号，再合并同类项：\(5x - [3x - (2x - 1)]\)。
（3）若\(2x^{3m - 1}y^3\)与\(-5x^5y^{2n + 1}\)是同类项，求\(5m + 3n\)的值。
（4）已知多项式\(2x^2 + my - 12\)与多项式\(nx^2 - 3y + 6\)合并同类项后不含有\(x^2\)项和\(y\)项，求\(m + n + mn\)的值。
思考：合并同类项与整式的加减有什么关系？合并同类项在简化计算中有什么作用？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.结合具体情境,经历合并同类项的过程，理解同类项的概念,形成数学抽象能力.
2.理解并掌握合并同类项法则，能准确合并同类项.
3.类比数的运算探究合并同类项的方法，从中体会“数式通性”和类比思想.
学习目标
观察下图中的物体，对它们进行分类.
水果
蔬菜
课堂导入
a
a
a
a
a
b
现有以下两种积木，它们的各边长如图所示
小亮用　型和　 型的积木块搭成了下图两个不同形状的“桥”。
新知探究
知识点1 同类项
你能分别用代数式表示两座桥的体积吗？
怎样计算两个“桥”的体积之和？
=
4a3+a2b
3a3+2a2b
4a3+a2b+3a3+2a2b
7a3+3a2b
新知探究
知识点1 同类项
+
与
与
能合并在一起的两项具有怎样的特征？
每一项所含字母相同，相同字母的指数也相同.
新知探究
知识点1 同类项
指数3
指数2
相同字母的指数相同
所含字母相同
单项式
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项.
同类项：
特殊地：所有的常数项都是同类项.
注意这有三个“相同”
同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关
注意这有两个“无关”
新知探究
知识点1 同类项
例1 下列各组中的两项是不是同类项？
√
×
×
×
√
√
新知探究
知识点1 同类项
根据乘法对加法的分配律，可以得到
观察下面图示中的式子，说说你的发现.
同类项
合并
同类项
合并
新知探究
知识点2 合并同类项
2.合并同类项的法则：
在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变.
1.把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项.
3 ab + 5 ab = 8 ab
相加
不变
新知探究
知识点2 合并同类项
例2 合并同类项：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
1.将同类项在底下划线标出；
2.运用加法的交换律和结合律，把同类项放在一起；
3.合并同类项.
新知探究
知识点2 合并同类项
（2）
（3）
注意：对于不同的同类项，分别用不同的线标出.
当同类项的系数互为相反数时，合并后的结果为0
新知探究
知识点2 合并同类项
例3 合并下式中的同类项：
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
新知探究
知识点2 合并同类项
合并同类项的方法
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
系数相加，字母及其指数不变.
新知探究
知识点2 合并同类项
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．-2a与a2 B．2a2b与3ab2
C．5ab2c与-b2ac D．-ab2和4ab2c
2.下列运算中正确的是（ ）
A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1
C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
C
A
随堂练习
3．如果5x2y与xmyn是同类项，那么m =____，n =____．
4．合并同类项：
（1）-a-a-2a=________；
（2）-xy-5xy+6yx=______；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______ ；
（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=______________．
1
-4a
0
ab2-a2b
2
8a2b-2ab2+3
随堂练习
随堂练习
5.合并同类项：
(1)5x+4x； (2) yy+2y；
(3) -7ab+6ab； (4) 10y2-0.5y2；
(5)mn2+3mn2； (6) -3x2y+3xy2+2x2y-2xy2.
=(5+4)x
=9x.
=( +2)y
= y.
=(-7+6)ab
=-ab.
=(10-0.5) y2
=9.5y2.
=(1+3) mn2
=4mn2.
=(3-2) xy2+(-3+2) x2y
=xy2-x2y.
知识点1 同类项
1. [母题 教材P140练习] 下列整式与 ab2为同类项的是(　B　)
A. a2 b B. －2 ab2
C. ab D. ab2 c
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. [新命题·题组训练法]下列各式不是同类项的是(　C　)
B. －2与π
C. 4 x2 y 与－2 xy2 D. 5 m2 n 与－3 nm2
【点拨】
本题中要注意π是数，不是字母，故－2与π是同类
项.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. [母题 教材P140习题A组T1]若4 a2 b2 n＋1与 a｜ m｜ b3是同类
项，则 m －2 n 的值为(　D　)
A. 0 B. 0或4
C. ±4 D. 0或－4
【点拨】
由同类项的定义得｜ m ｜＝2，2 n ＋1＝3，解得 m ＝
±2， n ＝1.当 m ＝2时， m －2 n ＝2－2×1＝0；当 m ＝
－2时， m －2 n ＝－2－2×1＝－4.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 若单项式3 xmy 与－2 x6 y 是同类项，则 m ＝ .
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知识点2 合并同类项
5. [2023·株洲]计算：3 a2－2 a2＝ .
a2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. [2023·宜宾]下列计算正确的是(　B　)
A. 4 a －2 a ＝2 B. 2 ab ＋3 ba ＝5 ab
C. a ＋ a2＝ a3 D. 5 x2 y －3 xy2＝2 xy
【点拨】
合并同类项只需把系数相加，所得的结果作为系数，
字母和指数都不变.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 合并同类项：
(1)－5 x2＋3 x －1＋2 x2－3 x ＋9；
【解】原式＝－5 x2＋2 x2＋3 x －3 x －1＋9＝－3 x2＋8.
(2)7 a2－2 ab ＋2 a2＋ b2＋3 ab －2 b2.
【解】原式＝7 a2＋2 a2＋ b2－2 b2－2 ab ＋3 ab ＝9 a2－ b2＋ ab .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知识点3 合并同类项的应用
8. [母题 教材P141习题A组T1]如果多项式3 x2－7 x2＋ x ＋ k2
x2－5中不含 x2项，则 k 的值为(　D　)
A. 2 B. －2
C. 0 D. 2或－2
【点拨】
由题意得3－7＋ k2＝0，则 k ＝2或－2.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. [情境题·2023·宜昌·生活应用]在日历上，某些数满足一定
的规律，如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的
含4个数字的方框部分，设右上角的数字为 a ，则下列叙
述中正确的是(　D　)
D
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. 左上角的数字为 a ＋1
B. 左下角的数字为 a ＋7
C. 右下角的数字为 a ＋8
D. 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. [新考法·2023·重庆·新定义法] 如果一个四位自然数
的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 － ＝
，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4
129，因为41－12＝29，所以4 129是“递减数”；又
如：四位数5 324，因为53－32＝21≠24，所以5 324不是
“递减数”，若一个“递减数”为 ，则这个数
为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三
位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9整
除，则满足条件的数的最大值是 .
4 312　
8 165　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
合并同类项
与系数无关
与所含字母的顺序无关
同类项
两相同
两无关
相同字母的指数相同
所含字母相同
合并同类项
法则
字母连同它的指数不变
步骤
一找、二移、三合
课堂小结
系数相加
谢谢观看！