4.2.2 求整式的值 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
4.2.2求整式的值
第四章 整式的加减
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
4.2.2 求整式的值
—— 从整式到具体数值的转化
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
我们已经学习了整式的相关知识，包括单项式、多项式以及合并同类项。在实际应用中，常常需要根据字母的具体取值，求出整式的结果，这就是求整式的值。例如，当知道一个长方形的长和宽时，我们可以根据面积公式（整式）求出它的面积。求整式的值不仅是对前面知识的综合运用，也是解决实际问题的重要工具。本节课我们将学习求整式值的方法和技巧，特别是先化简再求值的方法。
第三页：求整式的值的一般步骤
求整式的值的基本思路是用具体数值代替代数式中的字母，然后计算得出结果。一般步骤如下：
代入：把整式中各个字母所取的具体数值代入整式中，注意代入时要保持原有的运算符号和数字不变，省略的乘号要补全。
计算：按照整式中规定的运算顺序进行计算，得出结果。运算顺序遵循先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。
实例解析：求整式\(3x^2 - 2x + 1\)当\(x = 2\)时的值。
步骤 1：代入，将\(x = 2\)代入整式中，得到\(3 2^2 - 2 2 + 1\)。
步骤 2：计算，先算乘方\(2^2 = 4\)，再算乘法\(3 4 = 12\)，\(2 2 = 4\)，最后算加减\(12 - 4 + 1 = 9\)。所以当\(x = 2\)时，该整式的值是 9。
第四页：先化简再求值
当整式较为复杂时，直接代入计算会比较繁琐，此时可以先对整式进行化简（主要是合并同类项），再代入求值，这样能简化计算过程。
先化简再求值的步骤：
化简整式：通过合并同类项等方法，将整式化为最简形式（即不含同类项的形式）。
代入计算：把字母的具体数值代入化简后的整式中，按照运算顺序计算得出结果。
实例解析：先化简，再求值：\(3x^2 + 2x - 5x^2 + 7x - 1\)，其中\(x = 1\)。
步骤 1：化简整式，合并同类项：\((3x^2 - 5x^2) + (2x + 7x) - 1 = -2x^2 + 9x - 1\)。
步骤 2：代入\(x = 1\)，得到\(-2 1^2 + 9 1 - 1 = -2 + 9 - 1 = 6\)。
对比：如果直接代入\(x = 1\)到原式计算：\(3 1^2 + 2 1 - 5 1^2 + 7 1 - 1 = 3 + 2 - 5 + 7 - 1 = 6\)，结果相同，但化简后计算更简便，尤其当字母取值较复杂时，优势更明显。
第五页：例题解析（一）—— 直接代入求值
例题 1：求整式\(2a + 3b\)的值，其中\(a = 4\)，\(b = -5\)。
解：将\(a = 4\)，\(b = -5\)代入整式\(2a + 3b\)得：\(2 4 + 3 (-5) = 8 - 15 = -7\)。
例题 2：求整式\(x^2 - 2xy + y^2\)的值，其中\(x = 3\)，\(y = 1\)。
解：把\(x = 3\)，\(y = 1\)代入整式得：\(3^2 - 2 3 1 + 1^2 = 9 - 6 + 1 = 4\)。
第六页：例题解析（二）—— 先化简再求值
例题 3：先化简，再求值：\(5a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 3b^2\)，其中\(a = -1\)，\(b = 2\)。
解：化简整式，合并同类项：\((5a^2 - 4a^2) + (3b^2 - 3b^2) + 2ab = a^2 + 2ab\)。
代入\(a = -1\)，\(b = 2\)得：\((-1)^2 + 2 (-1) 2 = 1 - 4 = -3\)。
例题 4：先化简，再求值：\(3(2x^2 - y^2) - 2(3y^2 - 2x^2)\)，其中\(x = -2\)，\(y = 1\)。
解：先去括号：\(6x^2 - 3y^2 - 6y^2 + 4x^2\)。
再合并同类项：\((6x^2 + 4x^2) + (-3y^2 - 6y^2) = 10x^2 - 9y^2\)。
代入\(x = -2\)，\(y = 1\)得：\(10 (-2)^2 - 9 1^2 = 10 4 - 9 1 = 40 - 9 = 31\)。
第七页：例题解析（三）—— 整体代入求值
当整式中字母的取值未直接给出，或字母的取值较为复杂时，可以将一个代数式作为一个整体代入求值。
例题 5：已知\(x + y = 5\)，求整式\(2(x + y) - 3\)的值。
解：把\(x + y = 5\)看作一个整体，代入整式得：\(2 5 - 3 = 10 - 3 = 7\)。
例题 6：若\(a^2 - 2a = 3\)，求整式\(2a^2 - 4a + 5\)的值。
解：观察发现\(2a^2 - 4a = 2(a^2 - 2a)\)，已知\(a^2 - 2a = 3\)，将其整体代入得：\(2 3 + 5 = 6 + 5 = 11\)。
第八页：易错点分析
在求整式的值时，容易出现以下错误：
代入时符号错误：例如，当\(x = -2\)时，求\(-x^2\)的值，误算为\((-(-2))^2 = 4\)，而正确结果是\(-(-2)^2 = -4\)。
运算顺序错误：例如，求整式\(2x^2\)当\(x = 3\)时的值，误算为\((2 3)^2 = 36\)，正确结果是\(2 3^2 = 18\)。
化简不彻底：例如，在进行先化简再求值时，没有完全合并同类项，导致计算复杂且容易出错。
整体代入时漏乘系数：例如，已知\(x - y = 2\)，求\(3x - 3y + 1\)的值，误算为\(2 + 1 = 3\)，而正确结果是\(3 2 + 1 = 7\)。
例题 7：判断下列计算是否正确，若不正确请改正。
当\(x = -1\)时，求整式\(x^3 - 2x + 3\)的值。
错误解法：\((-1)^3 - 2 (-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\)（此解法正确，以下为错误示例）。
错误示例：\((-1)^3 - 2 (-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\)（错误原因：\((-1)^3\)计算错误，应为 - 1 而不是 1）。
第九页：课堂练习
填空题：
当\(x = 3\)时，整式\(2x - 5\)的值是______。
若\(a = 2\)，\(b = -3\)，则整式\(a^2 + b^2\)的值是______。
先化简，再求值：整式\(3x^2 - 2x + 1 - x^2 + 5x - 7\)，当\(x = -2\)时，值为______。
选择题：
当\(x = 2\)，\(y = -1\)时，整式\(x - 2y\)的值是（ ）
A. 0 B. 4 C. -4 D. 2
先化简，再求值：\(5a^2 - (3b^2 + 5a^2) + (4b^2 + 7ab)\)，其中\(a = 2\)，\(b = -1\)，结果为（ ）
A. -3 B. 3 C. -11 D. 11
解答题：
（1）求整式\(\frac{1}{2}x - 2(x - \frac{1}{3}y^2) + (-\frac{3}{2}x + \frac{1}{3}y^2)\)的值，其中\(x = -2\)，\(y = \frac{2}{3}\)。
（2）已知\(a + b = 3\)，\(ab = 2\)，求整式\(a^2 + b^2\)的值（提示：\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)）。
（3）先化简，再求值：\(2(xy - 5xy^2) - (3xy^2 - xy)\)，其中\(x = 1\)，\(y = -1\)。
第十页：课堂小结
求整式的值的一般步骤：代入和计算，代入时要注意补全乘号，计算时要遵循运算顺序。
先化简再求值的优势：能简化计算过程，减少计算错误，尤其适用于复杂整式。
整体代入求值：当字母取值未直接给出或较复杂时，将代数式作为整体代入，简化计算。
易错点：代入时符号错误、运算顺序错误、化简不彻底、整体代入漏乘系数等，需特别注意。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 4.2 第 4、5、6 题。
填空题：
当\(x = -3\)时，整式\(x^2 - 3x + 1\)的值是______。
先化简，再求值：整式\(5m^2n - 3mn^2 + 2m^2n - mn^2\)，当\(m = 1\)，\(n = -1\)时，值为______。
解答题：
（1）先化简，再求值：\(3x^2 - [7x - (4x - 3) - 2x^2]\)，其中\(x = -1\)。
（2）已知\(2x - y = 4\)，求整式\(6x - 3y + 5\)的值。
（3）若多项式\(2x^2 + my - 12\)与多项式\(nx^2 - 3y + 6\)合并同类项后不含有\(x^2\)项和\(y\)项，求当\(x = -1\)时，合并后整式的值。
（4）已知\(a^2 + 2ab = -10\)，\(b^2 + 2ab = 16\)，求整式\(a^2 + 4ab + b^2\)和\(a^2 - b^2\)的值。
思考：求整式的值与求代数式的值有什么异同？在解决实际问题时，如何选择合适的方法求整式的值？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.能准确合并同类项并求多项式的值，提高运算能力.
2.能用合并同类项解决一些简单的实际问题.
学习目标
复习：1.下列各组中的单项式是不是同类项？
两相同：字母相同，相同字母的指数相同！
两无关：与系数无关，与字母的排列顺序无关！
×
√
√
×
×
√
课堂导入
2.下列合并同类项对吗？不对的，说明理由.
(1)a+a=2a (2)3a+2b=5ab (3)5y2-3y2=2
(4)4x2y-5xy2=-x2y (5)3x2+2x3=5x5 (6)a+a-5a=-3a
×
√
×
×
×
√
课堂导入
问题：某学校校园的总体规划图如下(单位：m)
1.用代数式表示该校的土地面积是多少？
2.如果a=120，b=60，计算该校的土地面积是多少？
课堂导入
1.用代数式表示该校的土地面积是多少？
300a+300b
2.如果a=120，b=6 0，计算该校的土地面积是多少？
300a+300b=300×120+300×60
=54 000.
课堂导入
解：3xy2-5xy+0.5x2y-3xy2-4.5x2y=-5xy-4x2y.
例1 当x=1，y= 时，求多项式3xy2-5xy+0.5x2y-3xy2-4.5x2y的值.
当x=1，y= 时，
原式=
新知探究
知识点 多项式的化简求值
例2 求代数式5(x－2y)－3(x－2y)＋8(x－2y)－4(x－2y)
的值，其中x＝　，y＝　．
解：原式=（5-3+8-4）（x-2y）=6（x-2y）.
当x= ,y= 时，6（ x-2y ）=6×（ ）=-1.
将（x-2y）看成一个整体
新知探究
知识点 多项式的化简求值
例3 某学校组织七、八年级全体同学参观革命圣地西柏坡.七年级租用45座（不含司机座位，下同）大巴车x辆，60座大巴车y辆；八年级租用60座大巴车x辆，30座中巴车y辆.当每辆车恰好坐满时：
（1）请用含x，y的代数式表示该学校七、八年级学生的总数；
（2）当x=4，y=7时，该学校七、八年级共有多少名学生？
解：（1）由题意可知七年级有学生(45x+60y)人，八年级有学生（60x+30y)名.
所以，七、八年级学生的总数为45x+60y+60x+30y=105x+90y.
（2）当x=4，y=7时，105x+90y=105×4+90×7=1 050.
所以，七、八年级共有1 050名学生.
新知探究
知识点 多项式的化简求值
1.多项式-5x2-2x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A.-5，-2，0 B.5，-2，0
C.-5，-2，1 D.-5，2，1
A
随堂练习
2．如果多项式x2－7ab＋b2＋kab－1不含ab项，那么k的值为( )
A．0 B．7 C．1 D．不能确定
B
3. 三角形三边长分别为5x，12x，13x ，则这个三角形的周长为 .当时 x=2cm ，周长为 cm.
30x
60
随堂练习
4. 已知a=-0.5，b=4，求多项式2a2b-3a-3a2b+2a的值．
解： 2a2b-3a-3a2b+2a
= 2a2b-3a2b-3a+2a
=(2-3)a2b+(-3+2)a
=-a2b-a．
当a=-0.5，b=4时，
原式=-(-0.5)2×4－(-0.5)=-0.25×4+0.5=-1+0.5=-0.5．
随堂练习
5．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x的代数式表示地面总面积；
(2)当x＝4，y＝2时，铺1 m2地砖的平均费用为30元，那么铺地砖的总费用为多少元？
随堂练习
解：(1)4xy＋2y＋4y＋8y＝(14y＋4xy)m2.　
(2)当x＝4，y＝2时，原式＝14×2＋4×4×2＝60(m2)，
总费用＝60×30＝1 800(元)，所以铺地砖的总费用是1 800元.
随堂练习
(1)用含x的代数式表示地面总面积；
(2)当x＝4，y＝2时，铺1 m2地砖的平均费用为30元，
那么铺地砖的总费用为多少元？
知识点1 先合并同类项再求值
1. [2024·石家庄月考]当 y ＝－4时，代数式 y －1＋5 y 的值为
(　B　)
A. －24 B. －25
C. 79 D. －17
B
1
2
3
4
5
6
7
2. [2024·廊坊四中月考]式子－3 x2 y －10 x3＋3 x3＋6 x3 y ＋3
x2 y －6 x3 y ＋7 x3－8的值(　A　)
A. 与 x ， y 的值都无关
B. 只与 x 的值有关
C. 只与 y 的值有关
D. 与 x ， y 的值都有关
A
1
2
3
4
5
6
7
3. 已知｜ a ＋1｜＋( b －4)2＝0，则 ab2－5 a2 b － a2 b ＋
0.75 ab2＝ .
【点拨】
由｜ a ＋1｜＋( b －4)2＝0，
得 a ＋1＝0， b －4＝0，所以 a ＝－1， b ＝4.
则 ab2－5 a2 b － a2 b ＋0.75 ab2
－39　
1
2
3
4
5
6
7
＝ ab2－5 a2 b － a2 b ＋ ab2
＝ ab2＋ a2 b
＝ ab2－ a2 b ，
当 a ＝－1， b ＝4时，原式＝(－1)×16－ ×1×4＝
－39.
1
2
3
4
5
6
7
知识点2 先列式再求值
4. 有三个工程队合作挖水渠，第一队挖了 x 米，第二队挖的
比第一队的2倍还多7米，第三队挖的比第一队的3倍少12
米，则三个队一共挖了 米.当 x ＝25时，三个
队一共挖了 米.
(6 x －5)　
145　
1
2
3
4
5
6
7
第三队挖了(3 x －12)米，
则三个队一共挖了 x ＋(2 x ＋7)＋(3 x －12)＝(6 x －5)
米.当 x ＝25时，6 x －5＝6×25－5＝145.
【点拨】
根据题意可得，
第二队挖了(2 x ＋7)米，
1
2
3
4
5
6
7
5. [情境题·地域文化]西柏坡位于河北省石家庄市平山县中
部，曾是中共中央所在地，为我国革命圣地之一，是国家
重点文物保护单位，又是5A级景区.某学校组织七、八年
级全体学生去西柏坡参观.七年级租用45座大巴车 x 辆，
55座大巴车 y 辆；八年级租用30座大巴车 x 辆，55座大巴
车 y 辆.当每辆车恰好坐满时.
1
2
3
4
5
6
7
(1)用关于 x ， y 的整式表示该学校七、八年级的总人数
为 ；
(2)当 x ＝4， y ＝6时，该学校七、八年级的总人数
为 .
75 x ＋110 y 　
960　
1
2
3
4
5
6
7
利用阅读法探求整式的值
6. 阅读理解：已知5 a ＋3 b ＝－4，求代数式2( a ＋ b )＋4(2 a
＋ b )的值.小颖提出了一种解法如下：原式＝2 a ＋2 b ＋8
a ＋4 b ＝10 a ＋6 b ＝2(5 a ＋3 b ).因为5 a ＋3 b ＝－4，所
以原式＝2×(－4)＝－8.
依照小颖的解题方法，解决下面的问题：
(1)如果－ a2＝ a ，那么 a2＋ a ＋1＝ ；
1　
1
2
3
4
5
6
7
(2)已知 a － b ＝－3，则3( a － b )－5 a ＋5 b ＋5的值
为 ；
【点拨】
3( a － b )－5 a ＋5 b ＋5＝3( a － b )－5( a － b )＋5
＝－2( a － b )＋5.
因为 a － b ＝－3，
所以原式＝－2×(－3)＋5＝11.
11　
1
2
3
4
5
6
7
(3)已知 a2＋2 ab ＝－2， ab － b2＝－4，求2 a2＋ ab ＋
b2的值.
【解】因为 a2＋2 ab ＝－2， ab － b2＝－4，
所以2 a2＋ ab ＋ b2＝2 a2＋4 ab － ab ＋ b2＝2( a2＋
2 ab )－ ( ab － b2)＝2×(－2)－ ×(－4)＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
先合并同类项再求值，可以简化多项式的求值
利用代数式求值解决实际问题时，要注意数量单位的统一和取值的实际意义.
课堂小结
多项式的
化简求值
谢谢观看！