4.4 整式的加减 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
4.4 整式的加减
第四章 整式的加减
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
4.4 整式的加减
—— 整式运算的综合应用
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在前面的学习中，我们已经掌握了单项式、多项式的概念，以及合并同类项和去括号的方法。整式的加减是这些知识的综合运用，它在数学运算和实际问题解决中有着广泛的应用。例如，求两个多项式的和或差，化简复杂的整式表达式等，都需要用到整式的加减运算。本节课我们将学习整式加减的意义、法则和运算步骤，通过实例掌握整式加减的方法，提高整式运算的能力。
第三页：整式加减的意义和实质
整式加减的意义：整式的加减包括整式的加法和减法，其实质是求几个整式的和或差。
例如，求整式\(3x + 2\)与\(2x - 1\)的和，即\((3x + 2) + (2x - 1)\)；求整式\(5a^2 - 3a + 1\)与\(2a^2 + a - 4\)的差，即\((5a^2 - 3a + 1) - (2a^2 + a - 4)\)。
整式加减的实质：整式的加减实质上就是去括号和合并同类项。在进行整式的加减运算时，首先根据去括号法则去掉括号，然后再合并同类项，将整式化为最简形式（即不含同类项的形式）。
实例解析：求整式\(2x^2 + 3x - 1\)与\(x^2 - 2x + 3\)的和。
解：根据题意列式：\((2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x + 3)\)。
去括号：\(2x^2 + 3x - 1 + x^2 - 2x + 3\)。
合并同类项：\((2x^2 + x^2) + (3x - 2x) + (-1 + 3) = 3x^2 + x + 2\)。
第四页：整式加减的运算法则和步骤
运算法则：
几个整式相加时，用加号把它们连接起来，再去括号，合并同类项。
一个整式减去另一个整式时，用减号把它们连接起来，将减式的括号和前面的减号去掉后，括号内各项的符号都要改变，再合并同类项。
运算步骤：
列式：根- 2x^2) + (x^2 - 4y^2)\)。
解：先去括号：\(6x^2 - 3y - 6y^2 + 4x^2 + x^2 - 4y^2\)。
合并同类项：\((6x^2 + 4x^2 + x^2) + (-3y) + (-6y^2 - 4y^2) = 11x^2 - 3y - 10y^2\)。
例题 6：已知\(A = 2x^2 + 3xy - 2x - 1\)，\(B = -x^2 + xy - 1\)，求\(A - 2B\)。
解：将\(A\)和\(B\)代入\(A - 2B\)得：\((2x^2 + 3xy - 2x - 1) - 2(-x^2 + xy - 1)\)。
去括号：\(2x^2 + 3xy - 2x - 1 + 2x^2 - 2xy + 2\)。
合并同类项：\((2x^2 + 2x^2) + (3xy - 2xy) - 2x + (-1 + 2) = 4x^2 + xy - 2x + 1\)。
第八页：例题解析（四）—— 整式加减与求值结合
例题 7：先化简，再求值：\((4a^2 - 3a) - (2a^2 + a - 1) + (2 - a^2 + 4a)\)，其中\(a = -2\)。
解：先化简：
去括号：\(4a^2 - 3a - 2a^2 - a + 1 + 2 - a^2 + 4a\)。
合并同类项：\((4a^2 - 2a^2 - a^2) + (-3a - a + 4a) + (1 + 2) = a^2 + 3\)。
代入\(a = -2\)得：\((-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7\)。
例题 8：已知\(x = 2\)，\(y = -1\)，求\(5(2x^2y - 3xy^2) - (6x^2y - 2xy^2)\)的值。
解：先化简：
去括号：\(10x^2y - 15xy^2 - 6x^2y + 2xy^2\)。
合并同类项：\((10x^2y - 6x^2y) + (-15xy^2 + 2xy^2) = 4x^2y - 13xy^2\)。
代入\(x = 2\)，\(y = -1\)得：\(4 2^2 (-1) - 13 2 (-1)^2 = 4 4 (-1) - 13 2 1 = -16 - 26 = -42\)。
第九页：易错点分析
在进行整式的加减运算时，容易出现以下错误：
列式时忘记加括号：例如，求整式\(a - b\)减去整式\(c - d\)的差时，误写成\(a - b - c - d\)，而正确的列式应为\((a - b) - (c - d)\)。
去括号时符号错误：尤其是括号前是 “-” 号时，部分项的符号未改变。例如，\((2x - 3) - (x - 1)\)去括号后误写成\(2x - 3 - x - 1\)，正确结果应为\(2x - 3 - x + 1\)。
合并同类项时出错：包括系数计算错误、遗漏同类项等。例如，合并\(3x^2 + 2x^2\)时误算为\(5x^4\)，正确结果是\(5x^2\)。
代入求值时计算错误：在将字母的取值代入化简后的整式时，因符号或运算顺序问题导致结果错误。例如，当\(x = -1\)时，计算\(x^2\)误算为\(-1\)，正确结果是\(1\)。
例题 9：判断下列计算是否正确，若不正确请改正。
（1）\((x^2 + 3x) - (x^2 - 2x) = x^2 + 3x - x^2 - 2x = x\)；
（2）\(2(a + b) - 3(a - b) = 2a + b - 3a - b = -a\)。
解：（1）不正确。去括号时，\(-(x^2 - 2x)\)应变为\(-x^2 + 2x\)，正确计算：\((x^2 + 3x) - (x^2 - 2x) = x^2 + 3x - x^2 + 2x = 5x\)。
（2）不正确。去括号时，\(2(a + b)\)应变为\(2a + 2b\)，\(-3(a - b)\)应变为\(-3a + 3b\)，正确计算：\(2(a + b) - 3(a - b) = 2a + 2b - 3a + 3b = -a + 5b\)。
第十页：课堂练习
填空题：
整式\(3x + 2\)与\(2x - 5\)的和是______，差是______。
计算：\((2x^2 - 3x + 1) + (x^2 + 5x - 3) = \)；\((5a^2 - 2a) - (a^2 - 3a) = \)。
已知\(A = x^2 - 2x + 1\)，\(B = 3x^2 - 2x + 5\)，则\(A + B = \)，\(A - B = \)。
选择题：
下列计算正确的是（ ）
A. \((a + b) - (c - d) = a + b - c - d\) B. \(a - (b - c + d) = a - b - c + d\)
C. \((x + 2y) - (-2x - y) = 3x + 3y\) D. \(-(a - b) + (c - d) = -a - b + c - d\)
化简\(3(x - y) - 2(x + y)\)的结果是（ ）
A. \(x - y\) B. \(x - 5y\) C. \(x + y\) D. \(x + 5y\)
解答题：
（1）计算：
①\((3a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 5ab - 2b^2)\)；②\((5x^2 - 3xy + y^2) - (x^2 + 2xy - 3y^2)\)。
（2）先化简，再求值：\(2(3x^2y - xy^2) - (xy^2 + 3x^2y)\)，其中\(x = 2\)，\(y = -1\)。
（3）已知\(A = 2x^2 + xy - 3y^2\)，\(B = x^2 - xy + y^2\)，求：①\(A + 2B\)；②当\(x = 1\)，\(y = -2\)时，\(A + 2B\)的值。
第十一页：课堂小结
整式加减的意义：求几个整式的和或差。
整式加减的实质：去括号和合并同类项。
整式加减的步骤：列式（加括号）、去括号、合并同类项。
易错点：列式忘记加括号、去括号符号错误、合并同类项出错、代入求值计算错误等，需认真对待每一步运算。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 4.4 第 1、2、3、4 题。
填空题：
计算：\(3(x^2 - 2xy) - 2(3xy - x^2) = \)______。
若\(M = 3x^2 - 2x + 1\)，\(N = 2x^2 + 3x - 1\)，则\(M - N = \)______。
解答题：
（1）计算：
①\(4(a^2b - 2ab^2) - (a^2b + 2ab^2)\)；②\(3x^2 - [7x - (4x - 3) - 2x^2]\)。
（2）先化简，再求值：\((5a^2 - 3b^2) + (a^2 + b^2) - (5a^2 + 3b^2)\)，其中\(a = -1\)，\(b = 1\)。
（3）已知\(A = x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3\)，\(B = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3\)，求：①\(A + B\)；②\(A - B\)；③当\(x = 1\)，\(y = -1\)时，(A +
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.经历从具体情境中用代数式表示数量关系的过程，体会整式加减的意义,进一步发展符号意识.
2.掌握整式加减的一般步骤,能进行整式的加减运算，并能运用整式的加减运算解决问题,进一步发展运算能力,加强代数推理,发展推理能力.
学习目标
问题1 根据所学知识，完成下列内容：
甲数：______________________;
百位 十位 个位
甲数 a b c
乙数 1.5a 2b 2c
乙数：_____________________；
100a+10b+c
150a+20b+2c
甲数+乙数：________________________________；
（100a+10b+c）+（150a+20b+2c）
甲数-乙数：________________________________.
（100a+10b+c）-（150a+20b+2c）
如何计算
课堂导入
问题2 七年级（一）班分成三个组，利用星期日参加社会公益活动.第一组有学生m名；第二组的人数比第一组的2倍少10人；第三组的人数是第二组的一半，七年级（一）班一共有学生多少名？
解：七年级（一）班的学生总数是
m+（2m-10）+0.5（2m-10）
=m+2m-10+m-5 （去括号）
=4m-15(名). （合并同类项）
所以，七年级(一）班共有学生（4m-15）名.
新知探究
知识点 整式的加减
整式加减的一般步骤
（1） 如果有括号，那么按去括号法则先去括号.
（2） 如果有同类项，合并同类项，直到算式中没有同类项为止.
新知探究
知识点 整式的加减
例1 求整式4-5x2+3x与-2x +7x2-3的和.
解：(4-5x2+3x)+（-2x +7x2-3)
=4-5x2+3x-2x +7x2-3
=(-5x2+7x2)+(3x-2x)+(4-3)
=2x2+x+1.
有括号要先去括号
有同类项，合并同类项
结果中不能再有同类项
新知探究
知识点 整式的加减
例2 先化简，再求值.
，其中x=1,y=-2.
解：
当x=1,y=-2时，
新知探究
知识点 整式的加减
注意：
(1)整式的加减运算重点注意去括号时的符号、系数的处理，不要把符号弄错，不要漏乘括号外的系数；
(2)整式的化简求值题，能够化简的先化简，尽量不要直接把字母的值代入计算．
新知探究
知识点 整式的加减
例3 一个长方形的宽为a，长比宽的2倍小1.
（1） 写出这个长方形的周长.
（2） 当a=2时，这个长方形的周长是多少？
（3） 当a为何值时，这个长方形的周长是16？
解：（1）这个长方形的周长是2a+2(2a-1)=6a-2.
（2）当a=2时，6a-2=6×2-2=10.
所以这个长方形的周长是10.
（3）如果6a-2=16,那么6a=18,即a=3.
所以，当a=3时，这个长方形的周长是16.
新知探究
知识点 整式的加减
例4 设是一个四位数.若a+b+c+d 可以被9整除，则这个数可以被9整除.试说明理由.
解: =1 000a + 100b+10c+d
= (999a + 99b +9c) +(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+ (a+b+c+d),
因为111a+11b+c是整数，所以9(111a+11b+c)可以被9整除.
因此，若a+b+c+d可以被9整除，则可以被9整除.
像这样，利用代数运算的定义、法则、运算律和性质等，从条件出发推导数学结论的推理过程称为代数推理.
利用整式加减解决实际问题时，先要把具体量用代数式表示出来，然后根据整式加减运算的步骤进行计算．
注意最后结果是几个单项式的和的形式，且要带单位时，要整体加括号．
方法归纳：
新知探究
知识点 整式的加减
2.长方形的一边长等于3a+2b,另一边比它大a-b,那么这个长方形的周长是（ ）
A.14a+6b B.7a+3b 　 C.10a+10b　 D.12a+8b
1.已知一个多项式与 的和等于 ，则这个多项式是（ ）
A
A
随堂练习
3.若M-(-3x)=2x2-3x-3，则M应该是( )
A.2x2-3 B.2x2-3x-3
C.2x2-6x-3 D.2x2-6x-3
C
4.若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B－A一定是（　 ）
A.二次多项式 B.三次多项式　　
C.五次三项式 D. 五次多项式
D
随堂练习
5.若A=x2-2xy+y2，B=x2+2xy+y2，则结果为4xy的式子是( )
A.A+B B.B-A C.A-B D.2A-2B
B
6.已知 则
-9a2+5a-4
7.若mn=m+3，则2mn+3m-5mn+10=______.
1
随堂练习
8. 先化简，再求值：
其中a=4.
解：
原式
当a=4时，
原式
随堂练习
知识点1 整式加减的运算
1. 计算3( a ＋ b )－2( a － b )，应先 ，得
；再 ，得 .
去括号　
3 a ＋3 b
－2 a ＋2 b 　
合并同类项　
a ＋5 b 　
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10
2. 当 x ＝2 025时，( x2－ x )－( x2－2 x ＋1)的值是 .
【点拨】
先将整式化简，得 x －1，再把 x ＝2 025代入求值.
2 024　
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10
3. 多项式3 a － a2与单项式2 a2的和等于(　B　)
A. 3 a B. 3 a ＋ a2
C. 3 a ＋2 a2 D. 4 a2
B
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10
4. 化简5(2 x －3)＋4(3－2 x )的结果为(　A　)
A. 2 x －3 B. 2 x ＋9
C. 8 x －3 D. 18 x －3
【点拨】
5(2 x －3)＋4(3－2 x )＝10 x －15＋12－8 x ＝2 x －3.
A
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10
5. 已知 A ＝5 a －3 b ， B ＝－6 a ＋4 b ，则 A － B ＝(　C　)
A. － a ＋ b B. 11 a ＋ b
C. 11 a －7 b D. a －7 b
【点拨】
A － B ＝(5 a －3 b )－(－6 a ＋4 b )＝5 a －3 b ＋6 a －4
b ＝11 a －7 b .
C
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知识点2 整式加减的应用
6. 若2 x3－8 x2＋ x －1与3 x3＋2 mx2－5 x ＋3的差不含 x 的二
次项，则 m 等于 .
－4　
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10
7. [2024·重庆一中期中]如果 M 和 N 都是三次多项式，那么
M ＋ N 一定是(　D　)
A. 三次多项式
B. 六次多项式
C. 次数不低于3的多项式或单项式
D. 次数不高于3的多项式或单项式
D
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易错点 两个多项式相减时，因忽视括号的作用而出错
8. 一个多项式与 x2－2 x ＋1的和是3 x －2，则这个多项式为
(　C　)
A. x2－5 x ＋3 B. － x2＋ x －1
C. － x2＋5 x －3 D. x2－5 x －3
【点拨】
设这个多项式为 A ，由题意得 A ＋( x2－2 x ＋1)＝3 x
－2，求解即可.
C
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利用整式的加减求值
9. (1)当 x ＝1时，多项式 px3＋ qx ＋1的值为2 025，求当 x ＝
－1时，多项式 px3＋ qx ＋1的值；
【解】因为当 x ＝1时，多项式 px3＋ qx ＋1的值为2 025，
所以 p ×13＋ q ×1＋1＝2 025，则 p ＋ q ＝2 024.所以当 x
＝－1时， px3＋ qx ＋1＝ p ×(－1)3＋ q ×(－1)＋1＝－ p
－ q ＋1＝－( p ＋ q )＋1＝－2 024＋1＝－2 023.
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(2)当式子(2 x ＋4)2＋5取最小值时，求式子5 x －[－2 x2－
(－5 x ＋2)]的值.
【解】因为(2 x ＋4)2＋5取得最小值时，(2 x ＋4)2＝0，
所以2 x ＋4＝0，解得 x ＝－2.
则5 x －[－2 x2－(－5 x ＋2)]＝5 x －(－2 x2＋5 x －2)＝5
x ＋2 x2－5 x ＋2＝2 x2＋2.
当 x ＝－2时，原式＝2×(－2)2＋2＝10.
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利用整式加减探求月历问题
10. [新考法·特征数表示法]如图是2024年5月的月历.
(1)带阴影的十字框中的5个数之和与十字框中心的数有
什么关系？
【解】带阴影的十字框中的5个数
之和是十字框中心的数的5倍.
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(2)不改变十字框的大小，如果将带阴影的十字框移至其
他几个位置，你能得出什么结论？你知道为什么吗？
【解】结论：带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.理由如下：设十字框中心的数为 x ，则其余4个数分别为 x －7， x －1， x ＋1， x ＋7，所以带阴影的十字框中的5个数之和为( x －7)＋( x －1)＋ x ＋( x ＋1)＋( x ＋7)＝5 x .所以带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
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(3)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
【解】这个结论对于任何一个月
的月历都成立.
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整式的加减
整式的加减运算
整式加减的应用
比较复杂的式子求值，先化简，再把数值代入计算.
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，我们就可以完成整式的加减运算.
列整式解决实际问题：先要把具体量用代数式表示出来，然后根据整式加减运算的步骤进行计算．
课堂小结
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