5.1等式与方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
5.1等式与方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
5.1 等式与方程
—— 探索数量之间的相等关系
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在我们的日常生活中，存在着许多数量之间的相等关系。例如，“一个苹果的重量加上一个梨的重量等于 500 克”“小明的年龄加上 5 岁等于 15 岁”。这些相等关系可以用数学式子来表示，这就涉及到等式的概念。而当等式中含有未知数时，它就变成了方程。方程是解决实际问题的重要工具，本节课我们将学习等式和方程的相关知识，为后续解方程打下基础。
第三页：等式的概念
定义：用等号 “=” 来表示相等关系的式子叫做等式。
实例：
\(3 + 2 = 5\)（表示 3 与 2 的和等于 5）
\(a + b = b + a\)（表示加法交换律的相等关系）
\(S = ab\)（表示长方形面积等于长乘宽）
\(4x = 12\)（表示 4 与 x 的积等于 12）
注意：
等式必须含有等号，这是区分等式与代数式的重要标志。例如，\(3x + 5\)是代数式，而\(3x + 5 = 8\)是等式。
等式可以表示已知数之间的相等关系，也可以表示已知数与未知数之间的相等关系。
第四页：等式的性质
等式具有以下基本性质，这些性质是解方程的依据：
性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式。
用字母表示：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)（\(c\)为任意数或式子）。
实例：如果\(x - 3 = 5\)，那么在等式两边同时加上 3，可得\(x - 3 + 3 = 5 + 3\)，即\(x = 8\)。
性质 2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式。
用字母表示：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c \neq 0\)），那么\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)。
实例：如果\(2x = 6\)，那么在等式两边同时除以 2，可得\(\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}\)，即\(x = 3\)；如果\(\frac{x}{4} = 2\)，两边同时乘 4，可得\(x = 8\)。
注意：
运用性质 2 时，除数不能为 0，因为 0 不能作除数。
等式两边进行运算时，必须是 “同时” 进行，且运算对象 “同一个数（或式子）” 保持一致。
第五页：方程的C. 若\(\frac{a}{3} = \frac{b}{3}\)，则\(a = b\) D. 若\(a = b\)，则\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)
下列关于\(x\)的方程中，解为\(x = 2\)的是（ ）
A. \(3x + 6 = 0\) B. \(2x - 4 = 0\) C. \(x + 2 = 0\) D. \(5x + 10 = 0\)
解答题：
（1）检验\(x = 5\)是不是方程\(3x - 2 = 2x + 3\)的解。
（2）利用等式的性质解下列方程：
①\(x - 5 = 7\)；②\(4x = 3x + 9\)；③\(\frac{x}{2} = 6\)；④\(3x + 5 = 14\)。
（3）已知\(2a - 3 = 5\)，利用等式性质求\(a + 2\)的值。
第十二页：课堂小结
等式的定义：用等号表示相等关系的式子，含有等号是其重要特征。
等式的性质：
性质 1：两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式。
性质 2：两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍是等式。
方程的定义：含有未知数的等式，必须同时满足 “等式” 和 “含未知数” 两个条件。
方程的解与解方程：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值；解方程是求方程的解的过程。
易错点：混淆等式与代数式、忽略等式性质 2 中除数不为 0 的条件、混淆方程的解与解方程等。
第十三页：作业布置
教材第 XX 页习题 5.1 第 1、2、3、4 题。
填空题：
若\(3x + 1 = 7\)，则\(3x = 6\)，这是根据等式性质______，在等式两边同时______。
写出一个解为\(x = 3\)的方程：______。
选择题：
下列各式中，是方程的是（ ）
A. \(2x + 5\) B. \(3x - 1 > 0\) C. \(4 + 6 = 10\) D. \(3x - 2 = 7\)
若等式\(ax = ay\)成立，则下列说法正确的是（ ）
A. \(x = y\) B. \(x = y\)（\(a \neq 0\)） C. \(x = y\)（\(a = 0\)） D. 以上都不对
解答题：
（1）利用等式性质解下列方程：
①\(5x - 3 = 7\)；②\(2x + 4 = x + 5\)；③\(\frac{x}{3} - 1 = 2\)；④\(6 - 2x = 1\)。
（2）已知\(x = 1\)是方程\(2x + m = 5\)的解，求\(m^2 - 2m + 1\)的值。
（3）当\(k\)为何值时，\(x = 2\)是方程\(2x - k = 4 + x\)的解？
思考：如何用等式的性质解释 “在方程两边同时加上或减去同一个含有未知数的式子，方程的解不变”？
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形.
2.能根据等式的基本性质将方程化为x=a的形式.
思考：要让天平平衡应该满足什么条件？
课堂导入
问题1 对比天平与等式，你有什么发现？
等号成立就可看作是天平保持两边平衡！
等式左边
等式右边
等号
新知探究
知识点1 等式的基本性质
问题2 观察天平有什么特性？
天平两边同时加入相同质量的砝码
天平仍然平衡
天平两边同时拿去相同质量的砝码
天平仍然平衡
新知探究
知识点1 等式的基本性质
天平两边同时
天平仍然平衡
加入
拿去
相同质量的砝码
相同的数 (或式子)
等式两边同时
加上
减去
等式仍然成立
等式的两边加 (或减去) 同一个数 或同一个整式，结果仍是等式，
即如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的基本性质1
新知探究
知识点1 等式的基本性质
问题2 根据下图展示的过程，你能从中发现什么规律？
×3
÷3
新知探究
知识点1 等式的基本性质
等式的基本性质
等式的基本性质2：
等式的两边乘(或除以) 同一个数(除数不等于0)，结果仍是等式.
即如果a=b，那么ac=bc
新知探究
知识点1 等式的基本性质
(2) 怎样从等式 3+x=1 得到等式 x =－2
(3) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x =3
依据等式的性质1两边同时减3.
依据等式的性质2两边同时除以4或同乘 .
依据等式的性质2两边同时除以 或同乘100.
例1 (1) 怎样从等式 x－5= y－5 得到等式 x = y
依据等式的基本性质1两边同时加5.
(4) 怎样从等式 得到等式 a = b
新知探究
知识点2 根据等式的基本性质将方程化为x=a
2x+1=5
2x=4
x=2
两边都减去1
小球的质量x克，一个立方体的质量为1克.
观察探索:
两边都除以2 (或都乘以 )
新知探究
知识点2 根据等式的基本性质将方程化为x=a
解：两边都减去3，得
x+3-3=8-3.
所以
x=8-3，
即
x=5.
例2 (1) x+3=8.
利用等式的基本性质,把下列方程化为x=a的形式：
等式的基本性质1
新知探究
知识点2 根据等式的基本性质将方程化为x=a
(2)4x－15=9.
解:两边都加上15,得
4x-15+15=9+15．
合并同类项，得
4x=24.．
两边都除以4，得
x=6．
新知探究
知识点2 根据等式的基本性质将方程化为x=a
1.下列等式变形中，错误的是（ ）
A.由a=b，得a+4=b+4
B.由a=b，得a-3=b-3
C.由x+1=y+1，得x=y
D.由-2x=-2y，得x=-y
D
随堂练习
2.下列方程的变形，符合等式的基本性质的是( )
A.由2x-3=7，得2x=7-3
B.由3x-2=x+1，得3x-x=1-2
C.由-2x=5，得x=5+2
D.由-0.5x=1，得x=-2
D
随堂练习
3.如果ac=ab，那么下列等式中不一定成立的是( )
A.ac-1=ab-1 B.ac+a=ab+a
C.-3ac=-3ab D.c=b
D
随堂练习
4. 填空:
(1) 将等式x－3=5 的两边都_____得到x =8 ，这是根据等式的基本性质__；
(2) 将等式 的两边都乘以___或除以 ___得到 x = －2，这是根据等式的基本性质 ___;
加3
1
2
2
(3) 将等式x + y =0的两边都_____得到x = －y，这是根据等式的基本性质___；
(4) 将等式 xy =1的两边都______得到 ，这是根据等 式的性质___．
减y
1
除以x
2
随堂练习
5.（1）如果等式7(x+2)=13(x+2)成立，那么x+2= ，即x= ；
（2）若x-1=2023-y，则x+y= .
2 024
0
-2
随堂练习
1. 已知 m ＋ a ＝ n ＋ b ，如果根据等式的性质可变形为 m ＝
n ，那么 a ， b 必须符合的条件是(　C　)
A. a ＝2 b B. － a ＝ b
C. a ＝ b D. a ， b 可以是任意数或式子
C
1
2
3
4
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15
知识点1 等式的性质1
2. [2023·海南]若代数式 x ＋2的值为7，则 x 等于(　C　)
A. 9 B. －9
C. 5 D. －5
C
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知识点2 等式的性质2
3. 若等式 x ＝ y 可以变形为 ＝ ，则有(　C　)
A. a ＞0 B. a ＜0
C. a ≠0 D. a 为任意有理数
C
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4. [母题 教材P158练习T1]如果 a ＝ b ，那么下列等式不一定
成立的是(　D　)
A. a ＋ c ＝ b ＋ c B. a － c ＝ b － c
C. ac ＝ bc
D
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5. 下列等式变形正确的是(　B　)
C. 若5 x －6＝2 x ＋8，则5 x ＋2 x ＝8＋6
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A选项，等式两边同时除以－2，得 x ＝－2，故A选
项错误；B选项，等式两边同时乘3，得 x ＋6＝3 x －3，
故B选项正确；C选项，等式两边同时加－2 x ＋6，得5 x
－2 x ＝8＋6，故C选项错误；D选项，等式两边同时乘
6，得3 x ＋2(2 x －1)＝12，故D选项错误.
【点拨】
【点拨】
B
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2
3
4
5
6
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6. [新趋势·学科综合]在物理学中，导体中的电流 I 跟导体两
端的电压 U 、导体的电阻 R 之间有以下关系： I ＝ ，去
分母得 IR ＝ U ，那么其变形的依据是 .
等式的性质2　
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知识点3 方程的定义
7. [新考法·定义辨析法]下列各式中，不是方程的是(　D　)
A. 2 x ＋3 y ＝1 B. － x ＋ y ＝4
C. x ＝8 D. 3π＋5≠7
【点拨】
含有未知数的等式是方程，D选项中的式子既不含未
知数也不是等式，故不是方程，故选D.
D
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2
3
4
5
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8. [新考向·传承数学文化]“方程”二字最早见于我国《九章
算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.
如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中
未知数 x ， y 的系数与相应的常数项，即可表示方程 x ＋4
y ＝23，则 表示的方程是 .
x ＋2 y ＝32　
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知识点4 用等式的性质化简方程
9. [2024·衡水志臻中学月考]下列利用等式的性质解方程中，
正确的是(　D　)
A. 由 x －5＝6，得 x ＝1
C. 由－5 x ＝10，得 x ＝2
D. 由 x ＋3＝4，得 x ＝1
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对于A， x －5＝6，解得 x ＝11，故错误；对于B，5
x ＝6，解得 x ＝ ，故错误；对于C，－5 x ＝10，解得 x
＝－2，故错误；对于D， x ＋3＝4，解得 x ＝1，故正确.
故选D.
【点拨】
D
【答案】
1
2
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5
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10. 如图，两个天平都平衡，则6个球的质量等于 个正
方体的质量.
10　
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利用等式的性质辨析等式的变形
12. [新考法·过程辨析法]阅读理解题：
下面是小明将等式 x －4＝3 x －4进行变形的过程.
x －4＋4＝3 x －4＋4，①
x ＝3 x ，②
1＝3.③
(1)①的依据是 ；
(2)小明出错的步骤是 (填序号)，错误的原因
是 ；
等式的性质1　
③　
没有确定 x 是否为0，就在等式的两边除以 x 　
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课堂小结
等式与方程
等式的基本性质1，2
等式的基本性质1：等式的两边加上(或减去) 同一个数或同一个整式，结果仍是等式.
即如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的基本性质2：等式的两边乘(或除以) 同一个数(除数不等于0)，结果仍是等式.
即如果a=b，那么ac=bc
利用等式的基本性质解方程
谢谢观看！