5.2 一元一次方程 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
5.2 一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
5.2 一元一次方程
—— 最基础的整式方程
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在前面我们学习了方程的概念，知道含有未知数的等式是方程。方程的种类有很多，其中最为基础且应用广泛的就是一元一次方程。比如 “某数的 3 倍与 5 的差等于 10，求这个数”，这样的问题就可以用一元一次方程来解决。本节课我们将深入学习一元一次方程的定义、标准形式、判断方法以及解一元一次方程的基本思路，为解决更复杂的实际问题打下坚实基础。
第三页：一元一次方程的定义
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
关键词解析：
只含有一个未知数：例如，方程\(3x + 5 = 8\)中只含有未知数\(x\)，符合 “一元” 的要求；而方程\(x + y = 6\)中含有两个未知数\(x\)和\(y\)，不是一元一次方程。
未知数的次数都是 1：指未知数的最高次数是 1。例如，方程\(2x - 1 = 5\)中\(x\)的次数是 1，符合要求；而方程\(x^2 + 3 = 7\)中\(x\)的次数是 2，不是一元一次方程。
等号两边都是整式：即方程的两边都是单项式或多项式，不含分式等。例如，方程\(\frac{x}{2} + 3 = 5\)（可化为\(\frac{1}{2}x + 3 = 5\)，是整式）是一元一次方程；而方程\(\frac{1}{x} + 2 = 5\)（左边含有分式）不是一元一次方程。
实例：
是一元一次方程的有：\(5x = 10\)、\(3(x - 2) = 4\)、\(2y - 7 = 3y + 1\)。
不是一元一次方程的有：\(x + y = 3\)（含两个未知数）、\(x^3 - 1 = 0\)（未知数次数是 3）、\(\frac{2}{x} = 5\)（含分式）。
第四页：一元一次方程的标准形式
一元一次方程的标准形式是：\(ax + b = 0\)（其中\(a\)、\(b\)是常数，且\(a \neq 0\)）。
说明：
在标准形系数化为 1：两边同时除以 - 3，得\(x = \frac{5}{3}\)（依据等式性质 2）。
第七页：例题解析（一）—— 解简单的一元一次方程
例题 2：解下列一元一次方程。
（1）\(5x = 15\)；（2）\(x - 7 = 13\)；（3）\(3x + 4 = 16\)。
解：（1）系数化为 1：两边同时除以 5，得\(x = 3\)。
（2）移项：两边同时加 7，得\(x = 13 + 7 = 20\)。
（3）移项：\(3x = 16 - 4 = 12\)；系数化为 1：\(x = 12 ·3 = 4\)。
例题 3：解方程：\(2(x + 3) = 14 - 2x\)。
解：去括号：\(2x + 6 = 14 - 2x\)。
移项：\(2x + 2x = 14 - 6\)。
合并同类项：\(4x = 8\)。
系数化为 1：\(x = 2\)。
第八页：例题解析（二）—— 含分母的一元一次方程
例题 4：解方程：\(\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 1}{3}\)。
解：去分母（两边同时乘 6，即分母 2 和 3 的最小公倍数）：\(3(x - 1) = 2(2x + 1)\)。
去括号：\(3x - 3 = 4x + 2\)。
移项：\(3x - 4x = 2 + 3\)。
合并同类项：\(-x = 5\)。
系数化为 1：\(x = -5\)。
注意：去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。例如，解方程\(\frac{x}{2} - 1 = 3\)时，去分母应得\(x - 2 = 6\)，而不是\(x - 1 = 6\)（漏乘了 - 1 这一项）。
第九页：易错点分析
在学习一元一次方程时，容易出现以下错误：
判断时忽略 “整式” 条件：例如，认为\(\frac{1}{x} + 3 = 5\)是一元一次方程，而实际上它含有分式，不是整式方程。
去分母时漏乘项：例如，解方程\(\frac{x + 1}{2} = x - 1\)时，去分母误写成\(x + 1 = 2x - 1\)（漏乘右边的 - 1），正确应为\(x + 1 = 2x - 2\)。
去括号时符号错误或漏乘：例如，去括号\(-2(x - 3)\)时，误写成\(-2x - 6\)，正确应为\(-2x + 6\)。
移项时忘记变号：例如，解方程\(3x + 5 = 2x + 7\)时，移项误写成\(3x + 2x = 7 + 5\)，正确应为\(3x - 2x = 7 - 5\)。
例题 5：指出下列解方程过程中的错误，并改正。
解方程：\(\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}\)。
错误解法：
去分母：\(4(2x - 1) = 1 - 3(x + 2)\)。
去括号：\(8x - 4 = 1 - 3x - 6\)。
移项：\(8x - 3x = 1 - 6 + 4\)。
合并同类项：\(5x = -1\)。
系数化为 1：\(x = -\frac{1}{5}\)。
错误分析：去分母时，右边的 “1” 没有乘 12（3 和 4 的最小公倍数），导致错误。
正确解法：
去分母：\(4(2x - 1) = 12 - 3(x + 2)\)。
去括号：\(8x - 4 = 12 - 3x - 6\)。
移项：\(8x + 3x = 12 - 6 + 4\)。
合并同类项：\(11x = 10\)。
系数化为 1：\(x = \frac{10}{11}\)。
第十页：课堂练习
填空题：
下列方程：①\(3x + 5 = 9\)；②\(x^2 + 4x + 4 = 0\)；③\(2x + 3y = 5\)；④\(\frac{x}{4} = 7\)；⑤\(\frac{1}{x} = 2\)。其中是一元一次方程的有______（填序号）。
一元一次方程\(3x - 7 = 0\)的一次项系数是______，常数项是______。
将方程\(2(x - 3) - 4 = 5x\)化为标准形式是______，其中一次项系数是______，常数项是______。
选择题：
下列关于\(x\)的方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. \(x^2 - 4x = 3\) B. \(x = 0\) C. \(x + 2y = 1\) D. \(x - 1 = \frac{1}{x}\)
方程\(\frac{2x - 1}{3} = x - 2\)去分母后正确的是（ ）
A. \(2x - 1 = x - 2\) B. \(2x - 1 = 3x - 2\) C. \(2x - 1 = 3x - 6\) D. \(2x - 3 = 3x - 6\)
解答题：
（1）解下列一元一次方程：
①\(5x - 9 = 7x - 13\)；②\(3(x - 2) = 2 - 5(x - 2)\)；③\(\frac{x + 1}{2} - 1 = 2 + \frac{2 - x}{4}\)。
（2）当\(k\)为何值时，方程\(2(x - 1) = kx + 5\)是关于\(x\)的一元一次方程？
第十一页：课堂小结
一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程。
一元一次方程的标准形式：\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)为常数，\(a \neq 0\)），其中\(ax\)是一次项，\(a\)是一次项系数，\(b\)是常数项。
判断一元一次方程的条件：含一个未知数、未知数次数为 1、两边是整式、化简后系数不为 0。
解一元一次方程的基本思路：通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤转化为\(x = a\)的形式。
易错点：忽略整式条件、去分母漏乘项、去括号错误、移项忘变号等，需特别注意。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 5.2 第 1、2、3、4 题。
填空题：
若方程\((k - 1)x + 3 = 0\)是关于\(x\)的一元一次方程，则\(k\)的取值范围是______。
方程\(2x - 1 = 5\)的解是______；方程\(\frac{3x + 1}{2} = 5\)的解是______。
选择题：
下列方程中，解为\(x = 2\)的是（ ）
A. \(3x + 6 = 0\) B. \(3x - 6 = 0\) C. \(\frac{x}{2} + 1 = 0\) D. \(4x = 2\)
对方程\(4x - 5 = 6x - 7 - 3x\)进行变形正确的是（ ）
A. \(4x - 6x + 3x = -7 + 5\) B. \(4x - 6x - 3x = -7 + 5\)
C. \(4x - 6x + 3x = 5 + 7\) D. \(4x - 6x - 3x = 5 + 7\)
解答题：
（1）解下列一元一次方程：
①\(7 - 3(x + 1) = 2(4 - x)\)；②\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} = 1\)；③\(x - \frac{x - 1}{2} = 2 - \frac{x + 2}{3}\)。
（2）已知\(x = 2\)是方程\(2(x - 3) + 1 = x + m\)的解，求\(m\)的值。
（3）
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.通过对现实情境中数量关系的分析,感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，初步形成模型观念.
学习目标
2.理解方程的解的意义，会检验一个数是不是方程的解.
3.通过观察与思考,归纳出一元一次方程的概念，发展抽象能力.
《孙子算经》是我国古代著名的数学著作，其中有一个经典的数学问题——“秦王暗点兵”.原文为：“今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？”
这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件.如果三件、三件地数，就会剩下两件；如果五件、五件地数，就会剩下三件；如果七件、七件地数，也会剩下两件.问：这批物品共有多少件？
课堂导入
小树苗高40厘米，每周长高约5厘米，几周后长高到1米
原高+长高=1米
40+5x=100
为美化我们的校园，园丁们种植了一批树苗，其中一棵小树苗高为40厘米.栽种后每周树苗长高约5厘米，小树苗想知道大约几周后它可以长高到1米呢？
设x周后树苗长高到1米，则
等量关系
符号表达
文字叙述
新知探究
知识点1 根据实际问题列方程
本次数学测验，优秀的同学有12人，比上次测验优秀的人数增加了20％
等量关系
上次测验人数+上次测验人数的20％=12
符号表达
(1+20%)x=12
文字叙述
本次数学测验，优秀的同学有12人，比上次测验优秀的人数增加了20％，那么上次测验获得优秀的同学有多少人呢？
设上次测验获得优秀的同学有x人，
新知探究
知识点1 根据实际问题列方程
思考
想一想列方程的过程？
设字母表示未知数
找出问题中的等量关系
写出含有未知数的等式
方程
新知探究
知识点1 根据实际问题列方程
(1)40+5x=100 (2)(1+20%)x=12
观察下列方程，它们有什么共同点？
问题1:每个方程中，各含有几个未知数？
1个
问题2:说一说每个方程中未知数的次数.
1次
问题3:等号两边的式子有什么共同点？
都是整式
新知探究
知识点2 一元一次方程
只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
一元一次方程的概念
√
下列哪些是一元一次方程？
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ；（5） ； （6） ；
（7） .
练一练
√
判断一元一次方程的三个条件
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是1；
等号两边都是整式.
新知探究
知识点2 一元一次方程
例1 若关于x的方程 是一元一次方程，则n 的值为 .
【变式练习】方程 是关于x的一元一次方程，则 m=_____.
2或－2
1
【点睛】一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件：①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.

新知探究
知识点2 一元一次方程
Page把x=9代入方程的左边：9-2=7x-2=7当x=9时，方程左右两边相等吗？左边=右边x=9叫做方程x-2=7的解使方程两边相等的未知数的值叫方程的解定义新知探究知识点3方程的解 例2 检验下列x的值是否是方程2.5x+318=1 068的解.
（1） x = 300 （2） x = 330.
解:(1)把 x = 300 代入原方程得，
左边= 2.5×300+318=1 068，
左边=右边，
所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解.
(2)把 x =330 代入原方程得，
左边= 2.5×330+318=1 143，
左边≠右边，
所以x=330不是方程2.5x+318=1 068的解.
新知探究
知识点3 方程的解
1.下列方程中是一元一次方程的是( )
A.x+y=3 B.
C.2x-1=0 D.4x-1
2.已知3是关于x的方程2x-a=1的解，则a的值是( )
A.-5 B.5 C.7 D.2
B
C
随堂练习
3.小敏买书需要用48元，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张.根据题意，下列所列方程正确的是( )
A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48
C.x+12(x-5)=48 D.5x+(12-x)=48
A
随堂练习
4.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.若设铅笔卖出x支，则可列方程为： .
1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87
随堂练习
5.检验 x = 3是不是方程 2x－3 = 5x－15的解.
解：把 x =3分别代入方程的左边和右边，得
左边＝2×3－3=3，
右边＝5×3－15=0.
因为左边≠右边，
所以 x =3不是方程的解.
随堂练习
6. 已知方程 是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．
随堂练习
解：因为方程 是关于x的一元一次方程，
所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，
得m = －2.
所以原方程为－4x+3 = －7.
7. 根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.
（1）环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？
解：设沿跑道跑x周.根据题意列方程,得
400x=3 000.
【分析】等量关系：一周长×周数=总路程.
是一元一次方程.
随堂练习
知识点1 方程的解
1. 方程3 x ＝2 x ＋7的解是(　C　)
A. x ＝4 B. x ＝－4
C. x ＝7 D. x ＝－7
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. [2024·重庆一中模拟]若关于 x 的方程 ＋ a ＝4的解是 x
＝2，则 a 的值为 .
【点拨】
因为 x ＝2是原方程的解，所以 ＋ a ＝4，即1＋ a
＝4，解得 a ＝3.
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
知识点2一元一次方程
3. 下列各方程中，是一元一次方程的是(　B　)
A. x ＋ y ＝2 B. x ＋2＝3
C. x ＋2 y ＋ z ＝0 D. 4 x2＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
【点拨】
B
对于A，方程中含有两个未知数，故不符合题意；对
于B，满足一元一次方程的定义，故符合题意；对于C，
方程中含有三个未知数，故不符合题意；对于D，方程中
未知数的最高次数为2，故不符合题意.故选B.
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 已知关于 x 的方程( m －2) x｜ m－1｜－3＝0是一元一次方
程，则 m 的值是(　B　)
A. 2 B. 0
C. 1 D. 0或2
【点拨】
根据一元一次方程的定义，得｜ m －1｜＝1且 m －
2≠0，解得 m ＝0.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
知识点3 利用等式的基本性质解简单的方程
5. 根据等式的基本性质解方程：
(1)4＋2 x ＝8；
(2)4 x －2＝3－ x ；
【解】两边都减去4，得4＋2 x －4＝8－4，
所以2 x ＝4，两边都除以2，得 x ＝2.
【解】两边都加 x ＋2，得4 x －2＋ x ＋2＝3－ x ＋ x ＋2，
所以5 x ＝5，两边都除以5，得 x ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
(3)6＋2 x ＝3 x －4；
(4)2 x － ＝－ x ＋2.
【解】两边都加4－2 x ，得6＋2 x ＋4－2 x ＝3 x －4＋4－2 x ，所以 x ＝10.
【解】两边都加 x ＋ ，得2 x － ＋ x ＋ ＝－ x ＋2＋ x ＋ ，所以 x ＝ ，
两边同时除以 (或同时乘 )，得 x ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
知识点4 列一元一次方程
6. 下列所给条件中，不能列出方程的是(　C　)
A. 某数比它的平方小6
B. 某数加上3，再乘以2等于14
D. 某数的3倍与7的和等于29
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. [新考向·2023·贵州·数学文化传承]《孙子算经》中有这样
一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有
剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有
多少户人家？若设有 x 户人家，则下列方程正确的是
(　C　)
B. 3 x ＋1＝100
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
易错点 列方程时因单位未统一而致错
8. [新考法·建立方程模型法]两辆汽车从相距72 km的两地同
时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20 km/h，
20 min后两车相遇，求甲车速度.设甲车的速度为 x
km/h，列出的方程为(　D　)
A. 20 x ＋20( x ＋20)＝72 B. 20 x ＋20( x －20)＝72
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利用方程的解的定义验证方程的解
9. 检验下列各题后面括号内的值是不是相应方程的解.
(1)2 x －3＝5( x －3)；( x ＝6， x ＝4)
【解】当 x ＝6时，左边＝9，右边＝15，左边≠右
边，故 x ＝6不是原方程的解；
当 x ＝4时，左边＝右边＝5，故 x ＝4是原方程的解.
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(2)4 x ＋5＝8 x －3.( x ＝3， x ＝2)
【解】当 x ＝3时，左边＝17，右边＝21，左边≠右
边，故 x ＝3不是原方程的解；
当 x ＝2时，左边＝右边＝13，故 x ＝2是原方程的解.
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课堂小结
一元一次方程
方程及有关概念
根据实际问题列一元一次方程
一元一次方程：只含有一个未知数（也称元），并且所含未知数的项的次数是1的方程叫作一元一次方程．
方程的解:能使方程两边相等的未知数的值.
设字母表示数
把其他相关的量也用字母表示出来
找等量关系，列出方程
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