5.3.1用移项法解一元一次方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
5.3.1用移项法解一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
5.2 一元一次方程
—— 最基础的整式方程
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在前面我们学习了方程的概念，知道含有未知数的等式是方程。方程的种类有很多，其中最为基础且应用广泛的就是一元一次方程。比如 “某数的 3 倍与 5 的差等于 10，求这个数”，这样的问题就可以用一元一次方程来解决。本节课我们将深入学习一元一次方程的定义、标准形式、判断方法以及解一元一次方程的基本思路，为解决更复杂的实际问题打下坚实基础。
第三页：一元一次方程的定义
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
关键词解析：
只含有一个未知数：例如，方程\(3x + 5 = 8\)中只含有未知数\(x\)，符合 “一元” 的要求；而方程\(x + y = 6\)中含有两个未知数\(x\)和\(y\)，不是一元一次方程。
未知数的次数都是 1：指未知数的最高次数是 1。例如，方程\(2x - 1 = 5\)中\(x\)的次数是 1，符合要求；而方程\(x^2 + 3 = 7\)中\(x\)的次数是 2，不是一元一次方程。
等号两边都是整式：即方程的两边都是单项式或多项式，不含分式等。例如，方程\(\frac{x}{2} + 3 = 5\)（可化为\(\frac{1}{2}x + 3 = 5\)，是整式）是一元一次方程；而方程\(\frac{1}{x} + 2 = 5\)（左边含有分式）不是一元一次方程。
实例：
是一元一次方程的有：\(5x = 10\)、\(3(x - 2) = 4\)、\(2y - 7 = 3y + 1\)。
不是一元一次方程的有：\(x + y = 3\)（含两个未知数）、\(x^3 - 1 = 0\)（未知数次数是 3）、\(\frac{2}{x} = 5\)（含分式）。
第四页：一元一次方程的标准形式
一元一次方程的标准形式是：\(ax + b = 0\)（其中\(a\)、\(b\)是常数，且\(a \neq 0\)）。
说明：
在标准形系数化为 1：两边同时除以 - 3，得\(x = \frac{5}{3}\)（依据等式性质 2）。
第七页：例题解析（一）—— 解简单的一元一次方程
例题 2：解下列一元一次方程。
（1）\(5x = 15\)；（2）\(x - 7 = 13\)；（3）\(3x + 4 = 16\)。
解：（1）系数化为 1：两边同时除以 5，得\(x = 3\)。
（2）移项：两边同时加 7，得\(x = 13 + 7 = 20\)。
（3）移项：\(3x = 16 - 4 = 12\)；系数化为 1：\(x = 12 ·3 = 4\)。
例题 3：解方程：\(2(x + 3) = 14 - 2x\)。
解：去括号：\(2x + 6 = 14 - 2x\)。
移项：\(2x + 2x = 14 - 6\)。
合并同类项：\(4x = 8\)。
系数化为 1：\(x = 2\)。
第八页：例题解析（二）—— 含分母的一元一次方程
例题 4：解方程：\(\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 1}{3}\)。
解：去分母（两边同时乘 6，即分母 2 和 3 的最小公倍数）：\(3(x - 1) = 2(2x + 1)\)。
去括号：\(3x - 3 = 4x + 2\)。
移项：\(3x - 4x = 2 + 3\)。
合并同类项：\(-x = 5\)。
系数化为 1：\(x = -5\)。
注意：去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。例如，解方程\(\frac{x}{2} - 1 = 3\)时，去分母应得\(x - 2 = 6\)，而不是\(x - 1 = 6\)（漏乘了 - 1 这一项）。
第九页：易错点分析
在学习一元一次方程时，容易出现以下错误：
判断时忽略 “整式” 条件：例如，认为\(\frac{1}{x} + 3 = 5\)是一元一次方程，而实际上它含有分式，不是整式方程。
去分母时漏乘项：例如，解方程\(\frac{x + 1}{2} = x - 1\)时，去分母误写成\(x + 1 = 2x - 1\)（漏乘右边的 - 1），正确应为\(x + 1 = 2x - 2\)。
去括号时符号错误或漏乘：例如，去括号\(-2(x - 3)\)时，误写成\(-2x - 6\)，正确应为\(-2x + 6\)。
移项时忘记变号：例如，解方程\(3x + 5 = 2x + 7\)时，移项误写成\(3x + 2x = 7 + 5\)，正确应为\(3x - 2x = 7 - 5\)。
例题 5：指出下列解方程过程中的错误，并改正。
解方程：\(\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}\)。
错误解法：
去分母：\(4(2x - 1) = 1 - 3(x + 2)\)。
去括号：\(8x - 4 = 1 - 3x - 6\)。
移项：\(8x - 3x = 1 - 6 + 4\)。
合并同类项：\(5x = -1\)。
系数化为 1：\(x = -\frac{1}{5}\)。
错误分析：去分母时，右边的 “1” 没有乘 12（3 和 4 的最小公倍数），导致错误。
正确解法：
去分母：\(4(2x - 1) = 12 - 3(x + 2)\)。
去括号：\(8x - 4 = 12 - 3x - 6\)。
移项：\(8x + 3x = 12 - 6 + 4\)。
合并同类项：\(11x = 10\)。
系数化为 1：\(x = \frac{10}{11}\)。
第十页：课堂练习
填空题：
下列方程：①\(3x + 5 = 9\)；②\(x^2 + 4x + 4 = 0\)；③\(2x + 3y = 5\)；④\(\frac{x}{4} = 7\)；⑤\(\frac{1}{x} = 2\)。其中是一元一次方程的有______（填序号）。
一元一次方程\(3x - 7 = 0\)的一次项系数是______，常数项是______。
将方程\(2(x - 3) - 4 = 5x\)化为标准形式是______，其中一次项系数是______，常数项是______。
选择题：
下列关于\(x\)的方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. \(x^2 - 4x = 3\) B. \(x = 0\) C. \(x + 2y = 1\) D. \(x - 1 = \frac{1}{x}\)
方程\(\frac{2x - 1}{3} = x - 2\)去分母后正确的是（ ）
A. \(2x - 1 = x - 2\) B. \(2x - 1 = 3x - 2\) C. \(2x - 1 = 3x - 6\) D. \(2x - 3 = 3x - 6\)
解答题：
（1）解下列一元一次方程：
①\(5x - 9 = 7x - 13\)；②\(3(x - 2) = 2 - 5(x - 2)\)；③\(\frac{x + 1}{2} - 1 = 2 + \frac{2 - x}{4}\)。
（2）当\(k\)为何值时，方程\(2(x - 1) = kx + 5\)是关于\(x\)的一元一次方程？
第十一页：课堂小结
一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程。
一元一次方程的标准形式：\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)为常数，\(a \neq 0\)），其中\(ax\)是一次项，\(a\)是一次项系数，\(b\)是常数项。
判断一元一次方程的条件：含一个未知数、未知数次数为 1、两边是整式、化简后系数不为 0。
解一元一次方程的基本思路：通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤转化为\(x = a\)的形式。
易错点：忽略整式条件、去分母漏乘项、去括号错误、移项忘变号等，需特别注意。
第十二页：作业布置
教材第 XX 页习题 5.2 第 1、2、3、4 题。
填空题：
若方程\((k - 1)x + 3 = 0\)是关于\(x\)的一元一次方程，则\(k\)的取值范围是______。
方程\(2x - 1 = 5\)的解是______；方程\(\frac{3x + 1}{2} = 5\)的解是______。
选择题：
下列方程中，解为\(x = 2\)的是（ ）
A. \(3x + 6 = 0\) B. \(3x - 6 = 0\) C. \(\frac{x}{2} + 1 = 0\) D. \(4x = 2\)
对方程\(4x - 5 = 6x - 7 - 3x\)进行变形正确的是（ ）
A. \(4x - 6x + 3x = -7 + 5\) B. \(4x - 6x - 3x = -7 + 5\)
C. \(4x - 6x + 3x = 5 + 7\) D. \(4x - 6x - 3x = 5 + 7\)
解答题：
（1）解下列一元一次方程：
①\(7 - 3(x + 1) = 2(4 - x)\)；②\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} = 1\)；③\(x - \frac{x - 1}{2} = 2 - \frac{x + 2}{3}\)。
（2）已知\(x = 2\)是方程\(2(x - 3) + 1 = x + m\)的解，求\(m\)的值。
（3）
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.会用移项、合并同类项解一元一次方程.
2.理解每一步操作的原理和依据.
3.通过一元一次方程解法及步骤的探究，体会化归思想.
问题：某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买了x台.可以表示出：去年购买计算机_______台，今年购买计算机 台.你能找出问题中的相等关系吗？
2x
4x
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台.
x+2x+4x=140.
思考：怎样解这个方程呢？
课堂导入
x + 2x + 4x = 140
尝试把一元一次方程转化为 x =a的形式.
方程的左边出现几个含x的项，该怎么办？
它们是同类项，可以合并成一项！
分析：解方程，就是把方程变形，化归为 x = a (a为常数)的形式.
合并同类项
系数化为1
依据：乘法对加法的分配律
依据：等式性质2
新知探究
知识点1 通过合并同类项解一元一次方程
例1 解下列方程：
(1) 5x -2x =9;
(2) 7x -4x = 2.5×3-3.
解:(1) 合并同类项，得
3x=9.
将x的系数化为1，得
x=3.
(2) 合并同类项，得
3x=4.5.
将x的系数化为1，得
x=1.5.
新知探究
知识点1 通过合并同类项解一元一次方程
问题 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？
【解析】设这个班有x名学生. 若每人分3本，共分书
3x本，加上剩余20本，这批书共有 本；
（3x+20）
（4x-25）
3x+20=4x-25
新知探究
知识点2 通过移项解一元一次方程
每人分4本，共分出4x本，减去缺的25本这批书共
有 本；
根据题意列方程得 .
想一想：
怎样使得这个方程转化为ax = b的形式？
3x+20=4x-25
等号两边减去4x
3x-4x+20=-25
等号两边减去20
3x-4x=-25-20
合并同类项，化系数为1
x=45
新知探究
知识点2 通过移项解一元一次方程
移项的概念：
在解方程的过程中，等号的两边加上或减去方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫作移项.
新知探究
知识点2 通过移项解一元一次方程
(1)移项的依据是等式的基本性质1.
(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号.
(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数的项)移到方程的右边.
例2 解下列方程：
（1）5x =4x-6； （2）3x -2 = 2x+5.
解：（1） 移项，得
5x-4x=-6.
合并同类项，得
x=-6.
（2） 移项，得
3x-2x=5+2.
合并同类项，得
x=7.
新知探究
知识点2 通过移项解一元一次方程
解：（1） 移项，得5x-2x=-10+2.
合并同类项，得3x=-8.
将x的系数化为1，得
（2） 移项，得
合并同类项，得
将x的系数化为1，得x=-3.
例3 解下列方程：
（1）5x-2 =2x-10； （2）
新知探究
知识点2 通过移项解一元一次方程
利用移项和合并同类项解一元一次方程的步骤是：
移项
合并同类项
未知数的系数化为1
新知探究
知识点2 通过合并同类项解一元一次方程
1. 下列方程合并同类项正确的是 ( )
A. 由 3x－x＝－1＋3，得 2x ＝4
B. 由 2x＋x＝－7－4，得 3x ＝－3
C. 由 15－2＝－2x＋ x，得 3＝x
D. 由 6x－2－4x＋2＝0，得 2x＝0
D
随堂练习
2.解下列方程时，既要移含未知数的项，又要移常数项的是( )
A.3x=4-2x B.2-5x=6x-3
C.8x-1+3x=7 D.2x+4=-5
B
随堂练习
3.解方程4x-2=3-x时，正确的解答顺序是( )
①合并同类项，得5x=5；
②移项，得4x+x=3+2；
③两边都除以5，得x=1.
A.①②③ B.③②① C.②①③ D.③①②
C
随堂练习
4.若 x-5与2x-1的值相等，则 x 的值是 .
解析：根据题意，得 x-5=2x-1.
移项，得 x-2x= -1+5.
合并同类项，得 -x=4.
系数化为1，得 x= -4.
-4
随堂练习
(1)5＋x＝10移项得x＝ 10＋5 ；
(2)6x＝2x＋8移项得 6x＋2x ＝8；
(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；
(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.
×
×
√
√
10－5
6x－2x
5.下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？
随堂练习
解：合并同类项，得
系数化为1，得
解：合并同类项，得
系数化为1，得
6.解方程：
(1)-3x+0.5x=10；
(2)3y-4y=-25-20.
随堂练习
知识点1 合并同类项法解方程
1. 补全下列解方程的过程：
(1)6 x － x ＝4.
解：合并同类项，得 ＝4.
系数化为1，得 x ＝ .
5 x 　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)－4 x ＋6 x －0.5 x ＝－0.3.
解：合并同类项，得 ＝－0.3.
系数化为1，得 x ＝ .
1.5 x 　
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 下列各方程合并同类项不正确的是(　C　)
A. 由4 x －2 x ＝4，得2 x ＝4
B. 由2 x －3 x ＝3，得－ x ＝3
C. 由5 x －2 x ＋3 x ＝12，得 x ＝12
D. 由－7 x ＋2 x ＝5，得－5 x ＝5
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. [新视角·新定义题] 对于任意四个有理数 a ， b ， c ， d ，
定义一种新运算： ＝ ad － bc .若 ＝6，则
x 的值为(　D　)
A. 2 B. 3
C. 6 D. －6
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 若关于 x 的方程3 x ＋6 x ＝－3与2 mx ＋3 m ＝－1的解相
同，则 m 的值为(　B　)
【点拨】
由3 x ＋6 x ＝－3，得 x ＝－ .依题意可知， x ＝－
也是方程2 mx ＋3 m ＝－1的解，所以－ m ＋3 m ＝－1，
解得 m ＝－ .故选B.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知识点2 移项法解方程
5. 下列方程中，解方程时，既需要移含未知数的项，又需要
移常数项的是(　D　)
A. x －6 x ＝－18－12 B. x ＝－15－6 x
C. x －6＝－18 D. 2 x ＋7＝ x －18
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 下列方程移项正确的是(　D　)
A. 由4 x －2＝－5，得4 x ＝5－2
B. 由4 x －2＝－5，得4 x ＝－5－2
C. 由3 x ＋2＝4 x ，得3 x －4 x ＝2
D. 由3 x ＋2＝4 x ，得4 x －3 x ＝2
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. [新考法·过程辨析法]解方程： x ＋5＝－ x －1.
佳佳的解答过程如下：
解：移项，得 x ＋ x ＝5－1.①
合并同类项，得3 x ＝4.②
系数化为1，得 x ＝ .③
请问佳佳的解答过程有误吗？如果有误，从第几步开始出
错的？请将正确的解答过程写出来.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
【解】有误，从第①步开始出错的，正确的解答过程
如下：
移项，得 x ＋ x ＝－5－1.
合并同类项，得3 x ＝－6.
系数化为1，得 x ＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
易错点 系数化为1时，易出现混淆被除数与除数而致错
8. [2024·山东实验中学模拟]方程－ x －3 x ＝ －1的解为
(　B　)
A. x ＝－3
C. x ＝3
【点拨】
－ x －3 x ＝ －1，合并同类项，得－ x ＝ ，两
边同时除以－ ，得 x ＝－ .故选B.
B
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利用解方程的方法解错解中字母的值
9. 王丽在解关于 x 的方程3 a －2 x ＝15时，误将减2 x 看成加
2 x ，得到方程的解为 x ＝－3.
(1)求 a 的值；
【解】把 x ＝－3代入方程3 a ＋2 x ＝15，得3 a －6＝
15，解得 a ＝7.
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(2)求此方程正确的解；
【解】把 a ＝7代入方程3 a －2 x ＝15，得21－2 x ＝
15，解得 x ＝3.
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(3)当 y ＝ a 时，整式 my3＋ ny ＋1的值为5，求当 y ＝－ a
时，整式 my3＋ ny ＋1的值.
【解】把 y ＝ a ＝7代入 my3＋ ny ＋1＝5，得73 m ＋7
n ＋1＝5，即73 m ＋7 n ＝4.
所以当 y ＝－ a ＝－7时， my3＋ ny ＋1＝(－7)3 m ＋(－
7)× n ＋1＝－(73 m ＋7 n )＋1＝－4＋1＝－3.
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课堂小结
利用移项与合并同类项解一元一次方程
利用合并同类项解方程
利用移项解方程
移项
合并同类项
未知数系数化1
谢谢观看！